Дроби. Умножение и деление дробей
Умножение обыкновенных дробей
Рассмотрим пример.
Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.
Умножение двух обыкновенных дробей
Правило умножения обыкновенных дробей:
Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Пример 1
Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.
Решение.
Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:
\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]
Ответ: $\frac{15}{77}$
Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.
Пример 2
Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.
Решение.
Используем правило умножения обыкновенных дробей:
\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]
В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:
\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]
Краткое решение:
\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]
Ответ: $\frac{1}{24}.$
При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.
Пример 3
Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.
Решение.
Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:
\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]
Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:
\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]
Ответ: $\frac{1}{20}.$
При умножении дробей можно применять переместительный закон:
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число
Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:
где $\frac{a}{b}$ -- обыкновенная дробь, $n$ -- натуральное число.
Пример 4
Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.
Решение.
Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]
Ответ: $\frac{12}{17}.$
Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.
Пример 5
Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.
Решение.
Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:
\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]
По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:
\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]
В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:
\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]
Краткое решение:
\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]
Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:
\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]
Ответ: $1\frac{2}{5}.$
При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:
Деление обыкновенных дробей
Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.
Деление двух обыкновенных дробей
Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:
\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]
В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:
\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]
Ответ: $1\frac{5}{9}.$
В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.
Навигация по странице.
Умножение смешанных чисел.
Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби.
Запишем правило умножения смешанных чисел :
- Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
- Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.
Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.
Выполните умножение смешанных чисел и .
Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: 
и 
. Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: 
. Применив правило умножения дробей, получаем 
. Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби: .
Запишем все решение в одну строку: .
.
Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.
Выполните умножение .
Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда 
. На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби: заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей.
Умножение смешанного числа и натурального числа
После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.
Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .
Смешанное число равно дроби , тогда 
. Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .
.
Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, 
.
Вычислите произведение .
Заменим смешанное число суммой целой и дробной части, после чего применим распределительное свойство умножения: .
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби удобнее всего свести к умножению обыкновенных дробей, представив умножаемое смешанное число в виде неправильной дроби.
Умножьте смешанное число на обыкновенную дробь 4/15 .
Заменив смешанное число дробью , получаем 
.
www.cleverstudents.ru
Умножение дробных чисел
§ 140. Определения . 1) Умножение дробного числа на целое определяется так же, как и умножение целых чисел, а именно: умножить какое-нибудь число (множимое) на целое число (множитель) – значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых – множителю.
Так умножить на 5 – значит найти сумму:
2) Умножить какое-нибудь число (множимое) на дробь (множитель) значит найти эту дробь множимого.
Таким образом, нахождение дроби от данного числа, рассмотренное нами перед этим, мы будем теперь называть умножением на дробь.
3) Умножить какое-нибудь число (множимое) на смешанное число (множитель) – значит умножить множимое сперва на целое число множителя, потом на дробь множителя, и результаты этих двух умножений сложить между собой.
Например:
Число, получаемое после умножения, во всех этих случаях называется произведением , т. е. так же, как и при умножении целых чисел.
Из этих определений видно, что умножение дробных чисел есть действие всегда возможное и всегда однозначное.
§ 141. Целесообразность этих определений. Чтобы уяснить себе целесообразность введения в арифметику двух последних определений умножения, возьмем такую задачу:
Задача. Поезд, двигаясь равномерно проходит в час 40 км; как узнать, сколько километров пройдет этот поезд в данное число часов?
Если бы мы остались при том одном определении умножения, которое указывается в арифметике целых чисел (сложение равных слагаемых), то наша задача имела бы три различных решения, а именно:
Если данное число часов целое (например 5 часов), то для решения задачи надо 40 км умножить на это число часов.
Если данное число часов выражается дробью (например часа), то придется найти величину этой дроби от 40 км.
Наконец, если данное число часов смешанное (например часа), то надо будет 40 км умножить на целое число, заключающееся в смешанном числе, и к результату добавить еще такую дробь от 40 км, какая есть в смешанном числе.
Данные нами определения позволяют на все эти возможные случаи дать один общий ответ:
надо 40 км умножить на данное число часов, каково бы оно ни было.
Таким образом, если задачу представить в общем виде так:
Поезд, двигаясь равномерно, проходит в час v км. Сколько километров поезд пройдет в t часов?
то, какие бы ни были числа v и t, мы можем высказать один ответ: искомое число выражается формулой v · t.
Примечание. Найти какую-нибудь дробь данного числа, по нашему определению, означает то же самое, что умножить данное число на эту дробь; поэтому, например, найти 5% (т.е. пять сотых) данного числа означает то же самое, что умножить данное число на или на ; найти 125% данного числа означает то же, что умножить это число на или на , и т. д.
§ 142. Замечание о том, когда от умножения число увеличивается и когда оно уменьшается.
От умножения на правильную дробь число уменьшается, а от умножения на неправильную дробь число увеличивается, если эта неправильная дробь больше единицы, и остается без изменения, если она равна единице.
Замечание. При умножении дробных чисел, так же как и целых, произведение принимается равным нулю, если какой-нибудь из сомножителей равен нулю так, .
§ 143. Вывод правил умножения.
1) Умножение дроби на целое число. Пусть требуется дробь умножить на 5. Это значит увеличить в 5 раз. Чтобы увеличить дробь в 5 раз, достаточно увеличить ее числитель или уменьшить ее знаменатель в 5 раз (§ 127).
Поэтому:
Правило 1-е. Чтобы умножить дробь на целое число, надо умножить на это целое число числитель, а знаменатель оставить тот же; вместо этого можно также разделить на данное целое число знаменатель дроби (если это возможно), а числитель оставить тот же.
Замечание. Произведение дроби на ее знаменатель равно ее числителю.
Так:
Правило 2-е. Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.
Правило 3-е. Чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем произведения.
Замечание. Это правило можно применять и к умножению дроби на целое число и целого числа на дробь, если только целое число будем рассматривать как дробь со знаменателем единица. Так:
Таким образом, изложенные сейчас три правила заключаются в одном, которое в общем виде можно выразить так:
4) Умножение смешанных чисел.
Правило 4-е. Чтобы умножить смешанные числа, надо обратить их в неправильные дроби и затем умножить по правилам умножения дробей
. Например:
§ 144. Сокращение при умножении
. При умножении дробей, если это возможно, надо делать предварительное сокращение, как это видно из следующих примеров:
Такое сокращение возможно делать потому, что величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее будут уменьшены в одинаковое число раз.
§ 145. Изменение произведения с изменением сомножителей. Произведение дробных чисел при изменении сомножителей изменится совершенно так же, как и произведение целых чисел (§ 53), а именно: если увеличить (или уменьшить) какой-нибудь сомножитель в несколько раз, то и произведение увеличится (или уменьшится) во столько же раз.
Так, если в примере:
чтобы перемножить несколько дробей, надо перемножить их числители между собой и знаменатели между собой и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем произведения.
Замечание. Это правило можно применять и к таким произведениям, в которых некоторые множители числа целые или смешанные, если только целое число будем рассматривать как дробь, у которой знаменатель единица, а смешанные числа будем обращать в неправильные дроби. Например:
§ 147. Основные свойства умножения.
Те свойства умножения, которые были нами указаны для целых чисел (§ 56, 57, 59), принадлежат и умножению дробных чисел. Укажем эти свойства.
1) Произведение не изменяется от перемены мест сомножителей.
Например:
Действительно, согласно правилу предыдущего параграфа первое произведение равно дроби , а второе равно дроби . Но эти дроби одинаковы, потому что их члены отличаются только порядком целых сомножителей, а произведение целых чисел не изменяется при перемене мест сомножителей.
2) Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.
Например:
Результаты получаются одинаковыми.
Из этого свойства умножения можно вывести такое заключение:
чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число на первый сомножитель, полученное число умножить на второй и т.д.
Например:
3) Распределительный закон умножения (относительно сложения). Чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и результаты сложить.
Закон этот был нами объяснен (§ 59) в применении к целым числам. Он остается верным без всяких изменений и для дробных чисел.
Покажем, в самом деле, что равенство
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(распределительный закон умножения относительно сложения) остается верным и тогда, когда буквы означают дробные числа. Рассмотрим три случая.
1) Предположим сначала, что множитель m есть число целое, например m = 3 (a, b, c – какие угодно числа). Согласно определению умножения на целое число можно написать (ограничиваясь для простоты тремя слагаемыми):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
На основании сочетательного закона сложения мы можем в правой части опустить все скобки; применяя же переместительный закон сложения, а потом снова сочетательный, мы можем, очевидно, переписать правую часть так:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Значит, распределительный закон в этом случае подтверждается.
Умножение и деление дробей
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
Умножение дробей.
Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.
Умножение обыкновенной дроби на дробь.
Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.
Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.
Умножение дроби на число.
Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac \) .
Воспользуемся этим правилом при умножении.
Неправильную дробь \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) перевели в смешанную дробь.
Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:
Умножение смешанных дробей.
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.
Умножение взаимно обратных дробей и чисел.
Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.
Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.
Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.
Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.
Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac \times \frac \) б) \(\frac \times \frac \)
Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac \) б) \(\frac \times 11\)
Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac \)?
Ответ: \(\frac = 3\)
Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac \times \frac \)
Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?
Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac \) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac \) – неправильная дробь. Ответ: нет.
б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac \) , обратная ей дробь равна \(\frac \). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.
в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac \), то обратная ей дробь будет \(\frac \). Дробь \(\frac \) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac = \frac = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.
Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac \) б) \(1\frac \times 3\frac \)
Решение:
а) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
б) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?
Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac \), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac = \frac \) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac \) . Дробь \(\frac \) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Презентация к уроку
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
- В увлекательной форме ввести учащимся правило умножения десятичной дроби на натуральное число, на разрядную единицу и правило выражения десятичной дроби в процентах. Выработать умение применения полученных знаний при решении примеров и задач.
- Развивать и активизировать логическое мышление учащихся, умение выявлять закономерности и обобщать их, укреплять память, умение сотрудничать, оказывать помощь, оценивать свою работу и работу друг друга.
- Воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, умение общаться.
Оборудование: интерактивная доска, плакат с цифрограммой, плакаты с высказываниями математиков.
- Организационный момент.
- Устный счёт – обобщение раннее изученного материала, подготовка к изучению нового материала.
- Объяснение нового материала.
- Задание на дом.
- Математическая физкультминутка.
- Обобщение и систематизация полученных знаний в игровой форме при помощи компьютера.
- Выставление оценок.
2. Ребята, сегодня у нас урок будет несколько необычным, потому что я буду проводить его не одна, а со своим другом. И друг у меня тоже необычный, сейчас вы его увидите. (На экране появляется компьютер-мультяшка). У моего друга есть имя и он умеет разговаривать. Как тебя зовут, дружок? Компоша отвечает: “Меня зовут Компоша”. Ты сегодня готов помогать мне? ДА! Ну тогда давай начнём урок.
Мне сегодня пришла зашифрованная цифрограмма, ребята, которую мы должны вместе решить и расшифровать. (На доске вывешивается плакат с устным счётом на сложение и вычитание десятичных дробей, в результате решения которого ребята получают следующий код 523914687. )
Расшифровать полученный код помогает Компоша. В результате расшифровки получается слово УМНОЖЕНИЕ. Умножение – это ключевое слово темы сегодняшнего урока. На мониторе высвечивается тема урока: “Умножение десятичной дроби на натуральное число”
Ребята, мы знаем, как выполняется умножение натуральных чисел. Сегодня мы с вами рассмотрим умножение десятичных чисел на натуральное число. Умножение десятичной дроби на натуральное число можно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. Например: 5,21 ·3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значит, 5,21 ·3 = 15,63. Представив 5,21 в виде обыкновенной дроби на натуральное число, получим
И в этом случае получили тот же результат 15,63. Теперь, не обращая внимания на запятую, возьмём вместо числа 5,21 число 521 и перемножим на данное натуральное число. Здесь мы должны помнить, что в одном из множителей запятая перенесена на два разряда вправо. При умножении чисел 5, 21 и3 получим произведение равное 15,63. Теперь в этом примере запятую перенесём влево на два разряда. Таким образом, во сколько раз один из множителей увеличили, во столько раз уменьшили произведение. На основании сходных моментов этих способов, сделаем вывод.
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) не обращая внимания на запятую, выполнить умножение натуральных чисел;
2) в полученном произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их в десятичной дроби.
На мониторе высвечиваются следующие примеры, которые мы разбираем вместе с Компошей и ребятами: 5,21 ·3 = 15,63 и 7,624 ·15 = 114,34. После показываю умножение на круглое число 12,6 ·50 = 630 . Далее перехожу на умножение десятичной дроби на разрядную единицу. Показываю следующие примеры: 7,423 ·100 = 742,3 и 5,2 ·1000 = 5200. Итак, ввожу правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу:
Чтобы умножить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной единицы.
Заканчиваю объяснение выражением десятичной дроби в процентах. Ввожу правило:
Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо её умножить на 100 и приписать знак %.
Привожу пример на компьютере 0,5 ·100 = 50 или 0,5 = 50% .
4. По окончании объяснения даю ребятам домашнее задание, которое тоже высвечивается на мониторе компьютера: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Чтобы ребята немного отдохнули, на закрепление темы делаем вместе с Компошей математическую физкультминутку. Все встают, показываю классу решённые примеры и они должны ответить, правильно или не правильно решён пример. Если пример решён правильно, то они поднимают руки над головой и делают хлопок ладонями. Если же пример решён не верно, ребята вытягивают руки в стороны и разминают пальчики.
6. А теперь вы немного отдохнули, можно и решить задания. Откройте учебник на странице 205, № 1029. в этом задании надо вычислить значение выражений:
Задания появляются на компьютере. По мере их решения, появляется картинка с изображением кораблика, который при полной сборке уплывает.
Решая это задание на компьютере, постепенно складывается ракета, решив последний пример, ракета улетает. Учитель делает небольшую информацию учащимся: “ Каждый год с казахстанской земли с космодрома Байконур взлетают к звёздам космические корабли. Рядом с Байконуром Казахстан строит свой новый космодром “Байтерек”.
Какое расстояние пройдёт легковая машина за 4 часа, если скорость легковой машины 74,8 км/ч.
Подарочный сертификат Не знаете, что подарить своей второй половинке, друзьям, сотрудникам, родственникам? Воспользуйтесь нашим специальным предложением: "Подарочный сертификат Дачного отеля "Синяя Осока". Сертификат дает […]
Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.
Умножение обыкновенной дроби на дробь
Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .
Чтобы умножить дробь на дробь , надо:
- числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
- знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.
Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.
Умножение смешанных чисел
Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Другой способ умножения дроби на натуральное число
Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.
Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Действия с дробями
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко - два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью - НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби - число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.
Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей
Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби - число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби - число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок - дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби - число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби - число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби - число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД - это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.
А НОК - это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.
Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:
НОД (20 и 30) = 10
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:
Получили красивый ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
НОД для (105 и 150) равен 15
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂
Умножение и деление дробей.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.
В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!
Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .
Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.
Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Правило 1.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Правило 2.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей
2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.
Правило 3.
Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Правило 4.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.
Пример 1.
Вычислите
Пример 2.
Вычислите
Пример 3.
Вычислите
Пример 4.
Вычислите
Математика. Другие материалы
Возведение числа в рациональную степень. (
Возведение числа в натуральную степень. (
Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Признаки делимости (Лунгу Алена)
Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’
Умножение дробей
Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.
Умножение обыкновенной дроби на дробь
Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .
Чтобы умножить дробь на дробь , надо:
Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.
Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.
Умножение смешанных чисел
Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Другой способ умножения дроби на натуральное число
Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.
Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Деление дроби на число
Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.
Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число - дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель - данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:
Отсюда делаем вывод:
чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:
при делении дроби на число число идет в знаменатель.
Выполнить деление дроби на число:
Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.
При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.
При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.
Умножение и деление дробей
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
Деление дробей.
Деление дроби на натуральное число.
Примеры деления дроби на натуральное число
Деление натурального числа на дробь.
Примеры деления натурального числа на дробь
Деление обыкновенных дробей.
Примеры деления обыкновенных дробей
Деление смешанных чисел.
-
Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
- преобразовать смешанные дроби в неправильные;
- умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
- сократить полученную дробь;
- если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
- Недо- и не до- Переделанная песня "Весеннее танго" (Приходит время - птицы с юга прилетают) - муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
- Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
- Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
- Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
- ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30.12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
- Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины - хором для юбиляра женщины - посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]
Примеры деления смешанных чисел
1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool
.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Дроби. Умножение и деление дробей.
Умножение обыкновенной дроби на дробь.
Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.
Формула деления обыкновенных дробей:
Умножение дроби на натуральное число.
Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.