Координаты вершин эллипса. Эллипс: определение, свойства, построение
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где a и b (a > b ) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a , О ) и (- a , О ), а ось ординат - в точках (b , О ) и (- b , О ). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a /b раз вдоль оси Oy .
Пример 1.
Проверить, является ли линия, заданная
общим уравнением 
,
эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
называются фокусами .
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b /a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат - каноническое уравнение эллипса:
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c , нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c , определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a .
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
,
где и - расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.
Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F 1 и F 2 , а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F 1 и F 2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F 1 и F 2 , например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).
Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F 1 и F 2 , а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.
Фиксированные точки F 1 и F 2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса , расстояние между ними, обозначенное через 2c, - фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, - фокальными радиусами .
Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и параметром a, а его положение на плоскости - парой точек F 1 и F 2 .
Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F 1 и F 2 , а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса . Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса , а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) - вершинами эллипса .
Число a называют большой полуосью эллипса , а b = √(a 2 - c 2) - его малой полуосью . Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).
Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F 1 и F 2 , большой осью 2a. Пусть 2c - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 |
Выберем прямоугольную систему координат Oxy на плоскости так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 7.2, б). Такую систему координат называют канонической для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные - каноническими .
В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F 1 (c;0), F 2 (-c;0). Используя формулу расстояния между точками, запишем условие |F 1 M| + |F 2 M| = 2a в координатах:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 - c 2) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Так как a 2 - c 2 = b 2 > 0, то
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) - два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.
Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F 1 и F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F 1 F 2 , принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F 1 F 2 . Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению
т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система
при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:
что после преобразований приводит к уравнению
не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 - c 2) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса .
Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√(1 - x 2 /a 2), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат , то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.
Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b
Эксцентриситет эллипса . Отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси называют эксцентриситетом эллипса и обозначают через ε. Для эллипса, заданного
каноническим уравнением (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Если же в (7.4) параметры a и b связаны неравенством a
При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0
Уравнение (7.3) эквивалентно уравнению (7.4), поскольку эквивалентны уравнения (7.4) и (7.2) . Поэтому уравнением эллипса является и (7.3). Кроме того, соотношение (7.3) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикалов, формулу для длины |F 2 M| одного из фокальных радиусов точки M(x; у) эллипса: |F 2 M| = a + εx.
Аналогичная формула для второго фокального радиуса может быть получена из соображений симметрии либо повторением выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравнения (7.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй. Итак, для любой точки M(x; у) на эллипсе (см. рис. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса.
Пример 7.1. Найдем каноническое уравнение эллипса с большой полуосью 5 и эксцентриситетом 0,8 и построим его.
Зная большую полуось эллипса a = 5 и эксцентриситет ε = 0,8, найдем его малую полуось b. Поскольку b = √(a 2 - с 2), а с = εa = 4, то b = √(5 2 - 4 2) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с
осями эллипса в его вершинах A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F 1,2 (±4; 0) эллипса.
Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Отметим, что величина а/ε - x при а > с положительна, так как фокус F 1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде
|F 1 M|/(а/ε - x) = ε
Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F 1 M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).
У прямой d есть " двойник " - вертикальная прямая d", симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = -а/ε. Относительно d" эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d" называют директрисами эллипса . Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).
Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса . Этот параметр равен
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F 1 M и F 2 M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).
Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F 1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F 1 , сконцентрируются во втором фокусе F 2 , и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса .
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса .
Фокальное свойство эллипса
Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром эллипса, число 2a - длиной большой оси эллипса (соответственно, число a - большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.
Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометрическое определение эллипса , выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр O эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:
\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.
Записывая это равенство в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.
Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.
Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).
Обозначив b=\sqrt{a^2-c^2}>0 , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2\ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Следовательно, выбранная система координат является канонической.
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке O\equiv F_1\equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке O и радиусом, равным a .
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.
Директориальное свойство эллипса
Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии \frac{a^2}{c} от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).
Эллипс с эксцентриситетом 0
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\cdot\!\left(\frac{a^2}{c}-x\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1\colon\frac{r_1}{\rho_1}=e .
Уравнение эллипса в полярной системе координат
Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1r\varphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}
где p=\frac{b^2}{a} фокальный параметр эллипса.
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси - луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_2(2c,0) (см. ):
\begin{aligned}F_2M&=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0)}=\\ &=\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.\end{aligned}
Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид
r+\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}=2\cdot a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac{c}{a}\cdot\cos\varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замену e=\frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=\frac{b^2}{a} :
r=\frac{a^2-c^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса
Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=\pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна 2a . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число a - большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=\pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна 2b . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число b - малой полуосью эллипса.
Действительно, b=\sqrt{a^2-c^2}\leqslant\sqrt{a^2}=a , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение k=\frac{b}{a}\leqslant1 называется коэффициентом сжатия эллипса.
Замечания 3.9
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).
2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.
Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy
уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2
. При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0 \begin{cases}x"=x,\\y"=k\cdot y.\end{cases}
Подставляя в уравнение окружности x=x"
и y=\frac{1}{k}y"
, получаем уравнение для координат образа M"(x",y")
точки M(x,y)
: (x")^2+{\left(\frac{1}{k}\cdot y"\right)\!}^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
поскольку b=k\cdot a
. Это каноническое уравнение эллипса. 3.
Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр - центром симметрии. Действительно, если точка M(x,y)
принадлежит эллипсу . то и точки M"(x,-y)
и M""(-x,y)
, симметричные точке M
относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу. 4.
Из уравнения эллипса в полярной системе координат r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}
(см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси (r=p
при \varphi=\frac{\pi}{2}
). 5.
Эксцентриситет e
характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше e
, тем эллипс более вытянут, а чем ближе e
к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что e=\frac{c}{a}
и c^2=a^2-b^2
, получаем e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{\left(\frac{a}{b}\right)\!}^2=1-k^2,
где k
- коэффициент сжатия эллипса, 0 6.
Уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
при a 7.
Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~a\geqslant b
определяет эллипс с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). При a=b=R
уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
описывает окружность радиуса R
с центром в точке O"(x_0,y_0)
. Параметрическое уравнение эллипса
в канонической системе координат имеет вид \begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.
Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству \cos^2t+\sin^2t=1
. Пример 3.20.
Изобразить эллипс \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис. Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- большая полуось, b=1
- малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2
с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1
в уравнение эллипса, получаем \frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, точки с координатами \left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
- принадлежат эллипсу. Вычисляем коэффициент сжатия k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
; фокусное расстояние 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}
; эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
; фокальный параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}
. Составляем уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}
. 11.1. Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно
текущих координат Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из
чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми)
второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на
плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к
этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых. 11.2. Окружность
Тогда из условия
получаем
уравнение Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки
данной окружности
и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности
В частности, полагая
и
, получим
уравнение окружности с центром в начале координат
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид
. При сравнении
этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко
заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат. Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения
и
, получим Преобразуем это уравнение: Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии
Если же
Ему удовлетворяют координаты единственой точки
Если
11.3. Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
Эллипсом
называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых
фокусами
, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между
фокусами. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат
так, чтобы
фокусы F 1
и F 2
лежали на оси
, а начало
координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2
.
Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:
и
. Пусть -
произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса,
, т. е. Это, по сути, и есть уравнение эллипса. Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим
образом: Так как a
>с
, то
. Положим Тогда последнее уравнение примет вид
или Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно
называется каноническимуравнением эллипса
. Эллипс - кривая второго порядка. Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением. 1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если
точка принадлежит
эллипсу, то ему также принадлежат точки
,,.
Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей
и
, а также
относительно точки ,
которую называют центром эллипса. 3. Из уравнения (11.7) следует, что
каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место
неравенства
и
или
и
. Следовательно,
все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми
. 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых
и
равна
единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет
уменьшаться, т. е. если
возрастает,
то уменьшается
и наоборот. Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50
(овальная замкнутая кривая). Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения
.
При эллипс
превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид
. В качестве
характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением
.
Отношение
половины
расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом
эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»): причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее
сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность. Имеют место формулы Прямые
называются Из равенства (11.6) следует, что
. Если же
, то уравнение
(11.7) определяет эллипс, большая ось которого
лежит на оси Оу,
а малая ось - на
оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках
и
, где
11.4. Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой
называется множество всех точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами
, есть величина постоянная, меньшая, чем
расстояние между фокусами. Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат
так, чтобы
фокусы F 1
и F 2
лежали на оси , а
начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2
(см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты
и
Пусть -
произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы
Гипербола есть линия второго порядка. Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением. 1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях.
Следовательно, гипербола симметрична относительно осей
и
, а также
относительно точки
, которую
называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив
в уравнении
(11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью
:
и
. Положив
в (11.9),
получаем , чего
быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает. Точки и
называются
вершинами
гиперболы, а отрезок
действительной осью
, отрезок
-
действительной полуосью
гиперболы. Отрезок ,
соединяющий точки и
называется
мнимой осью
, число b - мнимой полуосью
.
Прямоугольник со сторонами 2a
и 2b
называется основным
прямоугольником гиперболы
. 3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое
не
меньше единицы т. е. что
или
.
Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой
(правая
ветвь гиперболы) и слева от прямой
(левая ветвь
гиперболы). 4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда
возрастает,
то и
возрастает.
Это следует из того, что разность
сохраняет
постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54
(кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей). Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой
Покажем, что гипербола
имеет
две асимптоты: Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно
координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий,
которые расположены в первой четверти. Возьмем на прямой
точку
N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на
гиперболе
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель
- есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка
При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной
прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через
противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить
вершины и
, гиперболы. Уравнение равносторонней гиперболы.
асимптотами которой служат оси координат
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения
и
и, следовательно,
являются биссектрисами координатных углов. Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат
(см. рис. 58),
полученной из старой поворотом осей координат на угол
.
Используем формулы поворота осей координат: Подставляем значения х и у в уравнение (11.12): Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются
асимптотами, будет иметь вид
. Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом
гиперболы (11.9) называется отношение
расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается
ε: Так как для гиперболы
, то
эксцентриситет гиперболы больше единицы:
. Эксцентриситет
характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует,
что
т.е.
и
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение
- ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
. Действительно, Фокальные радиусы
Прямые
-
называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то
.
Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной
гиперболы, левая - между центром и левой вершиной. Директрисы гиперболы имеют то же свойство
,
что и директрисы эллипса. Кривая, определяемая уравнением
также
есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая
ось 2a
- на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром. Очевидно, что гиперболы
и
имеют
общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными. 11.5. Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых
одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой,
называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется
параметром параболы и обозначается через p (p > 0). 1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит,
парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии
параболы. 2. Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что
. Следовательно,
парабола расположена справа от оси Оу. 3. При имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало
координат. 4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно
возрастает. Парабола
имеет
вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка О(0; 0)
называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом
точки М. Уравнения ,
,
(p>0
)
также определяют параболы, они изображены на рисунке 62 Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена
, где
, B и С любые
действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее
определения. 11.6. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными
координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке
, оси симметрии
которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны
a
и b
. Поместим в центре эллипса O 1 начало новой
системы координат ,
оси которой и полуосями
a
и b
(см. рис. 64): И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие
уравнения. Уравнение
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности
после
преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону,
привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно
записать с помощью единого уравнения вида где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно. Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых
(окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая
теорема. Теорема 11.2
. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при
А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат
(B¹
0). Можно, путем
поворота координатных осей на угол a
,
преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат
отсутствовал. Используя формулы поворота осей выразим старые координаты через новые: Выберем угол a
так, чтобы
коэффициент при х" · у" обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17),
уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14). Вывод
: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на
плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые:
окружность, эллипс, гиперболу, параболу. Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае
cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему
координат следует повернуть на 45°. Лекции
по алгебре и геометрии. Семестр 1. Лекция
15. Эллипс. Глава
15. Эллипс. п.1.
Основные определения. Определение.
Эллипсом называется ГМТ плоскости сумма
расстояний которых до двух фиксированных
точек плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная. Определение.
Расстояние от произвольной точки М
плоскости до фокуса эллипса называется
фокальным радиусом точки М. Обозначения:
По
определению эллипса, точка М является
точкой эллипса тогда и только тогда,
когда
Заметим,
что
По
определению эллипса, его фокусы есть
фиксированные точки, поэтому расстояние
между ними есть также величина постоянная
для данного эллипса. Определение.
Расстояние между фокусами эллипса
называется фокусным расстоянием. Обозначение:
Из
треугольника
Обозначим
через bчисло равное Определение.
Отношение называется
эксцентриситетом эллипса. Введем
на данной плоскости систему координат,
которую мы будем называть канонической
для эллипса. Определение.
Ось, на которой лежат фокусы эллипса,
называется фокальной осью. Построим
каноническую для эллипса ПДСК, см. рис.2. В
качестве оси абсцисс выбираем фокальную
ось, а ось ординат проводим через середину
отрезка
Тогда
фокусы имеют координаты
п.2.
Каноническое уравнение эллипса. Теорема.
В канонической для эллипса системе
координат уравнение эллипса имеет вид: Доказательство.
Доказательство проведем в два этапа.
На первом этапе мы докажем, что координаты
любой точки, лежащей на эллипсе
удовлетворяют уравнению (4). На втором
этапе мы докажем, что любое решение
уравнения (4) дает координаты точки,
лежащей на эллипсе. Отсюда будет
следовать, что уравнению (4) удовлетворяют
те и только те точки координатной
плоскости, которые лежат на эллипсе.
Отсюда и из определения уравнения кривой
будет следовать, что уравнение (4) является
уравнением эллипса. 1)
Пусть точка М(х, у) является точкой
эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов
равна 2а: Воспользуемся
формулой расстояния между двумя точками
на координатной плоскости и найдем по
этой формуле фокальные радиусы данной
точки М: Перенесем
один корень в правую часть равенства и
возведем в квадрат: Сокращая,
получаем: Приводим
подобные, сокращаем на 4 и уединяем
радикал: Возводим
в квадрат Раскрываем
скобки и сокращаем на
откуда
получаем: Используя
равенство (2), получаем: Разделив
последнее равенство на
2)
Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет
уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая
точка на координатной плоскости Оху. Тогда из (4) следует: Подставляем
это равенство в выражение для фокальных
радиусов точки М: Здесь
мы воспользовались равенством (2) и (3). Таким
образом,
Теперь
заметим, что из равенства (4) следует,
что Отсюда,
в свою очередь, следует, что Из
равенств (5) следует, что
Теорема
доказана. Определение.
Уравнение (4) называется каноническим
уравнением эллипса. Определение.
Канонические для эллипса оси координат
называются главными осями эллипса. Определение.
Начало канонической для эллипса системы
координат называется центром эллипса. п.3.
Свойства эллипса. Теорема.
(Свойства эллипса.) 1.
В канонической для эллипса системе
координат, все точки эллипса
находятся в прямоугольнике 2.
Точки
лежат на 3.
Эллипс является кривой, симметричной
относительно своих главных
осей. 4.
Центр эллипса является его центром
симметрии. Доказательство.
1, 2) Сразу же следует из канонического
уравнения эллипса. 3,
4) Пусть М(х, у) – произвольная точка
эллипса. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (4). Но тогда координаты точек
также удовлетворяют уравнению (4), и,
следовательно, являются точками эллипса,
откуда и следуют утверждения теоремы. Теорема
доказана. Определение.
Величина 2а называется большой осью
эллипса, величина а называется большой
полуосью эллипса. Определение.
Величина 2bназывается
малой осью эллипса, величинаbназывается малой полуосью эллипса. Определение.
Точки пересечения эллипса с его главными
осями называются вершинами эллипса. Замечание.
Эллипс можно построить следующим
образом. На плоскости в фокусы "забиваем
по гвоздю" и закрепляем на них нить
длиной
Из
определения эксцентриситета следует,
что Зафиксируем число
а и устремим число с к нулю. Тогда при
Устремим теперь
п.4.
Параметрические уравнения эллипса. Теорема.
Пусть
является
параметрическими уравнениями эллипса
в канонических для эллипса системе
координат. Доказательство.
Достаточно доказать, что система
уравнений (6) равносильна уравнению (4),
т.е. они имеют одно и то же множество
решений. 1)
Пусть (х, у) – произвольное решение
системы (6). Разделим первое уравнение
на а, второе – на b, возводим
оба уравнения в квадрат и складываем: Т.е.
любое решение (х, у) системы (6) удовлетворяет
уравнению (4). 2)
Обратно, пусть пара (х, у) является
решением уравнения (4), т.е. Из
этого равенства следует, что точка с
координатами
Из
определения синуса и косинуса сразу же
следует, что Теорема
доказана. Замечание.
Эллипс можно получить в результате
равномерного "сжатия" окружности
радиуса а к оси абсцисс. Пусть
При
этом преобразовании каждая точка
окружности "переходит" в другую
точку плоскости, имеющую ту же самую
абсциссу, но меньшую ординату. Выразим
старую ординату точки через новую: и
подставим в уравнение окружности: Отсюда
получаем: Отсюда
следует, что если до преобразования
"сжатия" точка М(х, у) лежала на
окружности, т.е. ее координаты удовлетворяли
уравнению окружности, то после
преображования "сжатия" эта точка
"перешла" в точку
п.5.
Касательная к эллипсу. Теорема.
Пусть
Тогда
уравнение касательной к этому эллипсу
в точке
Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай, когда
точка касания лежит в первой или второй
четверти координатной плоскости:
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
где
Подставляем
найденное значение производной в
уравнение касательной (10): откуда
получаем: Отсюда
следует: Разделим
это равенство на
Осталось
заметить, что
Аналогично
доказывается уравнение касательной
(8) в точке касания, лежащей в третьей
или четвертой четверти координатной
плоскости. И,
наконец, легко убеждаемся, что уравнение
(8) дает уравнение касательной в точках
Теорема
доказана. п.6.
Зеркальное свойство эллипса. Теорема.
Касательная к эллипсу имеет равные углы
с фокальными радиусами точки касания. Пусть
Теорема утверждает,
что Это
равенство можно интерпретировать как
равенство углов падения и отражения
луча света от эллипса, выпущенного из
его фокуса. Это свойство получило
название зеркального свойства эллипса: Луч
света, выпущенный из фокуса эллипса,
после отражения от зеркала эллипса
проходит через другой фокус эллипса. Доказательство
теоремы. Для доказательства равенства
углов (11) мы докажем подобие треугольников
Параметрическое уравнение эллипса
Простейшей
кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R
с центром в точке называется
множество всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию
. Пусть точка
в прямоугольной
системе координат имеет
координаты x 0 , y 0 а
- произвольная
точка окружности (см. рис. 48).
(11.2)
.
(11.4)
.
Ее центр находится в точке
,
а радиус
.
,
то уравнение (11.3) имеет вид
.
.
В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).
,
то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не
определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а
левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).
Обозначим
фокусы через F 1
и F 2
, расстояние между ними
через 2c
, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов -
через 2a
(см. рис. 49). По определению 2a
> 2c
, т. е. a
> c
.
(11.6)
(11.7)
2.
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив
, находим две точки
и
, в которых ось
пересекает
эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7)
, находим точки
пересечения эллипса с осью
:
и
. Точки A
1 ,
A 2
, B 1
, B 2
называются
вершинами эллипса
. Отрезки A
1 A 2
и B 1 B 2
,
а также их длины 2a
и 2b
называются соответственно большой и
малой осями
эллипса. Числа a
и b
называются соответственно
большой и малой полуосями
эллипса.
Пусть
М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2
(см. рис. 51). Длины отрезков F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2
называются фокальными радиусами точки Μ. Очевидно,
Теорема
11.1.
Если
- расстояние от
произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение
есть
постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
.
Обозначим
фокусы через F 1
и F 2
расстояние между ними
через 2с
, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до
фокусов через 2a
. По определению 2a
< 2с
, т. е.
a
< c
.
или
, т.е..
После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим
каноническое уравнение гиперболы
(11.9)
(11.10)
неограниченной
кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится
к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат.
На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является
асимптотой для кривой К.
(11.11)
(см.рис.
56), и найдем разность ΜΝ между ординатами прямой и ветви гиперболы:
ΜΝ
стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и
подавно стремится к нулю. Итак, прямые
являются
асимптотами гиперболы (11.9).
Гипербола
(11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны ().
Ее каноническое уравнение
(11.12)
.
и
для точек
правой ветви гиперболы имеют вид
и
, а для левой -
и
.
Для
вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох
проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы
к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см.
рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты
,
а уравнение директрисы имеет вид
,
или
.
– фокусы эллипса,
– фокальные радиусы точки М.
– постоянная величина. Эту постоянную
принято обозначать 2а:
.
(1)
.
.
следует, что
,
т.е.
.
,
т.е.
.
(2)
(3)
перпендикулярно фокальной оси.
,
.
.
(4)
.
,
,
откуда получаем:
.
:
.
,
получаем равенство (4), ч.т.д.
.
.
.
Аналогично,
.
или
и т.к.
,
то отсюда следует неравенство:
.
или
и
,
.
(5)
,
т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса,
ч.т.д.
,
.
.
Затем берем карандаш и с его помощью
натягиваем нить. Затем передвигаем
карандашный грифель по плоскости, следя
за тем, чтобы нить была в натянутом
состоянии.
,
и
.
В пределе мы получаем
или
– уравнение окружности.
.
Тогда
,
и мы видим, что в пределе эллипс вырождается
в отрезок прямой
в обозначениях рисунка 3.
– произвольные действительные числа.
Тогда система уравнения
,
(6)
.
.
лежит на окружности единичного радиуса
с центром в начале координат, т.е. является
точкой тригонометрической окружности,
которой соответствует некоторый угол
:
,
,
где
,
откуда и следует, что пара (х, у) является
решением системы (6), ч.т.д.
– уравнение окружности с центром в
начале координат. "Сжатие" окружности
к оси абсцисс есть ни что иное, как
преобразование координатной плоскости,
осуществляемое по следующему правилу.
Каждой точке М(х, у) поставим в соответствие
точку этой же плоскости
,
где
,
– коэффициент "сжатия".
.
.
(7)
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению эллипса (7). Если мы хотим
получить уравнение эллипса с малой
полуосьюb, то нужно взять
коэффициент сжатия
.
– произвольная точка эллипса
.
имеет вид:
.
(8)
.
Уравнение эллипса в верхней полуплоскости
имеет вид:
.
(9)
в точке
:
– значение производной данной функции
в точке
.
Эллипс в первой четверти можно
рассматривать как график функции (8).
Найдем ее производную и ее значение в
точке касания:
,
.
Здесь мы воспользовались тем, что точка
касания
является точкой эллипса и поэтому ее
координаты удовлетворяют уравнению
эллипса (9), т.е.
.
,
:
.
,
т.к. точка
принадлежит эллипсу и ее координаты
удовлетворяют его уравнению.
,
:
или
,
и
или
.
– точка касания,
,
– фокальные радиусы точки касания, Р иQ– проекции фокусов на
касательную, проведенную к эллипсу в
точке
.
.
(11)
и
,
в которых стороны
и
будут сходственными. Так как треугольники
прямоугольные, то достаточно доказать
равенство