График функции у косинус х 2. Свойства функции y=cos(x). Ее график

Урок и презентация на тему: "Функция y=cos(x). Определение и график функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

Запишем свойства нашей функции:
• Область определения – множество действительных чисел.
• Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
• Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
• Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
• Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
• Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
• Функция Y=cos(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x - 2π) 2 + 1 - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по "кусочкам". Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба "кусочка" на одном графике.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.

4. Построить график функции y=cos(π/3 - x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Задачи для самостоятельного решения

1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график

Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).

Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.

Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции

Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x на влево (рис.2).

Свойства функции

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция четная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции: .

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Видеоурок «Функция у = cos х, ее свойства и график» представляет наглядный материал для изучения данной темы. В пособии представлены особенности функции, ее свойства, а также описания решения задач, в которых применяются знания о свойства косинуса. С помощью видеоурока учителю легче предоставить требуемые знания и сформировать умения учеников. Наглядное пособие может помочь повысить эффективность урока, обеспечив более глубокое понимание материала и лучшее запоминание, а также освободив время урока для проведения индивидуальной работы.

Использование видеоурока дает учителю преимущество для более эффективной подачи материала. Пособие может применяться только для наглядности, сопровождая объяснение учителя или в качестве самостоятельной части урока, давая возможность учителю улучшить индивидуальную работу с учениками. Демонстрируемые построения графиков, преобразования в помощью анимационных эффектов становятся более понятными для учеников, помогают освоить навыки решения задач с использованием данного материала. Выделение и озвучивание свойств функции инструментами видеоурока помогает лучше их запомнить.

Демонстрация начинается с представления названия темы. Для построения графика функции у = cos х ученикам напоминается формула приведения cos х= sin (х+π/2), которая свидетельствует о том, что графики функций у= cos х и у= sin (х+π/2) являются тождественно равными. Для построения графика функции у= sin (х+π/2) стоится координатная плоскость, на оси абсцисс которой отмечается точка -π/2. Если взять эту точку за начало координат для построения графика sin х, то этот график является и графиком функции у= sin (х+π/2) для начала координат. То есть график функции у = cos х является на π/2 сдвинутым по оси абсцисс графика функции у= sin х. очевидно, что графиком функции у = cos х также является синусоида. Ее расположение позволяет сделать выводы о свойствах функции.

Первое свойство функции - об области определения. Очевидно, что областью определения функции будет вся числовая прямая, то есть D(f)=(- ∞;+∞).

Во втором свойстве функции отмечается четность функции. Ученикам напоминается изученный в 9 классе материал, в котором было указано условие четности функции. Для четной функции является справедливым равенство f(-x)=f(x). Говоря о четности функции косинуса, нужно отметить, что график этой функции симметричен относительно оси ординат. Продемонстрировать свойства функции можно на рисунке, где изображена на координатной плоскости единичная окружность. В первой и четвертой четвертях отмечены точки, симметричные относительно оси абсцисс. Косинус определяется абсциссой точки, поэтому для двух точек L(t) и N(-t) абсциссы одинаковые. Поэтому cos (-t)= cos t.

Третье свойство отмечает промежутки убывания и возрастания функции. В свойстве указано, что функция убывает на отрезке , а на отрезке [π;2π] косинус возрастает. На рисунке продемонстрирован график функции, на котором хорошо видно область убывания и возрастания функции.

Очевидно, что функция у = cos х возрастает на каждом отрезке [π+2πk;2π+2πk]. Отрезки убывания в общем виде выглядят так , где k - целое число.

В четвертом свойстве отмечается ограниченность функции косинуса сверху и снизу. Аналогично синусу, можно отметить ограниченность значений косинуса -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

В пятом свойстве указано наименьшее и наибольшее значения функции. При этом наименьшее значение -1 достигается в любой точке х= π+2πk, а наибольшее значение 1 достигается в любой точке х=2πk.

Шестое свойство указывает на непрерывность функции у = cos х. На рисунке, где изображен график, видно, что данная функция не имеет разрывов на всей области определения.

В седьмом свойстве функции указано, множество значений у = cos х располагается на отрезке [-1;1].

Далее рассматриваются примеры, в которых необходимо использовать знания о свойствах функции у = cos х. В первом примере необходимо решить уравнение cos х=1-х 2 . Решением данного уравнения будут точки пересечения графиков функций, которые представлены выражениями правой и левой части уравнения, то есть у = cos х и у=1-х 2 . Очевидно, что график первого уравнения - синусоида, продемонстрированная в теме ранее. График второй функции - парабола, вершина которой располагается в точке (0;1). Построив графики каждой функции, на рисунке к данной задаче видно, что единственной точкой пересечения двух графиков будет точка В(0;1).

Во втором примере необходимо построить и прочитать график функции, которая определяется на отрезке х<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 выражением cosx. На рисунке, сопровождающем решение примера, строится график функции у=sinx на отрезке [-3π/2; π/2]. При этом в точке π/2 функция не принимает значение. На отрезке [π/2; 3π/2] строится фрагмент функции у = cos х. Очевидно, построенные фрагменты будут повторяться по всей области определения. Далее описывается, как читается функция. Отмечается, что это означает описать ее свойства. Перечисляются свойства данной функции - область определения (-∞;+∞), отсутствие признаков четности или нечетности для всей области определения, ограниченность функции и сверху, и снизу. Наибольшим значением функции будет 1, а наименьшим -1. Также отмечается наличие разрыва в точке х=π/2, множество значений функции (-1;1).

Видеоурок «Функция у = cos х, ее свойства и график» применяется на уроке математики по данной теме в качестве наглядного материала. Также данное видео может быть полезным для формирования необходимых умений у учеников учителю, который проводит обучение дистанционно. Материал может быть рекомендован для самостоятельного рассмотрения ученикам, которые недостаточно хорошо освоили тему и требуют дополнительных занятий.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Прежде чем построить график функции у = cos x, вспомним формулу приведения, по которой cos x = sin(x + 14ПЂ2)"> (косинус аргумента икс равен синусу аргумента икс плюс пи на два). Это значит, что функции у = cos x и

у = sin(x + 14ПЂ2)"> тождественно равны, следовательно их графики совпадают.

Для построения графика функции у = sin(x + 14ПЂ2)"> нам понадобится вспомогательная система координат с началом в точке В(- 14ПЂ2"> ; 0) (в точке бэ с координатами минус пи на два, ноль).Если в новой системе координат построить график функции у = sin x, то получим график функции

у = sin(x + 14ПЂ2)"> или же график функции у = cos x, так как их графики совпадают(смотри рис.1).

Поскольку график функции у = cos x получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние 14ПЂ2"> в отрицательном направлении, то график этой функции также является синусоидой.

Изображение графика функции у = cos x дает наглядное представление о свойствах этой функции.

СВОЙСТВО 1. Область определения - множество всех действительных чисел или D (f) = (- 14в€ћ"> ; + 14в€ћ">) (дэ от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).

СВОЙСТВО 2. Функция у = cos x четная.

На уроках в 9 классе мы изучили, что функция у = f (x), х ϵХ (игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс большое) называется четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

f (- x) = f (x)(эф от минус икс равно эф от икс).

СВОЙСТВО 3.На отрезке [ 0 ; π ](от нуля до пи) функция убывает, возрастает на отрезке [ π ; 2π ] (от пи до двух пи) и так далее.

Можно сделать общий вывод: функция у = cos x возрастает на отрезке

[π 14+2ПЂk "> ; 142ПЂ+2ПЂk"> ] (от пи плюс два пи ка до двух пи плюс два пи ка), а убывает на отрезке [ 14 2ПЂk"> ; 14ПЂ+2ПЂk]"> (от двух пи ка до пи плюс два пи ка), где (ка принадлежит множеству целых чисел).

СВОЙСТВО 4.Функция ограничена сверху и снизу.

СВОЙСТВО 5. Наименьшее значение функции равно минус единице и достигается в любой точке вида х = 14ПЂ+2ПЂk"> (или можно записать у наим. = - 1); наибольшее значение равно 1 и достигается в любой точке вида х = 142ПЂk">

(или можно записать у наиб. = 1).

СВОЙСТВО 6.Функция у = cos x является непрерывной.

СВОЙСТВО 7. Множество значений функции - отрезок от минус одного до одного(или можно записать Е(f) = [ - 1; 1]).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Решить уравнение cos x= 1 - х 2 (косинус икс равно один минус икс в квадрате).

Решение. Решим это уравнение графически. В одной системе координат построим два графика функций: у = cos x и у = 1 - х 2 . Графиком функции

у = 1 - х 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при икс в квадрате отрицателен. (см. рис.2) У построенных графиков только одна общая точка - это точка В(0; 1)(бэ с координатами ноль, один).

Решение. Строить график будем «по кусочкам». Сначала построим часть графика функции у = sin x на открытом луче (- 14в€ћ"> ; 14ПЂ2">) , затем в этой же системе координат на луче [ 14 ПЂ2"> ; + 14в€ћ">) построим часть графика функции у = cos x. Получим график функции у = f(x).

Прочитаем график этой функции (это значит перечислим свойства функции):

1. Область определения - множество всех действительных чисел, т.е.

D(f) = (- 14в€ћ ; + в€ћ)"> (т.е. дэ от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).

1. Функция не является ни четной, ни нечетной.
2. Функция и снизу, и сверху ограничена.
3. Наименьшее значение функции равно минус один (таких точек бесконечно много) , наибольшее значение функции равно единице(таких точек тоже бесконечно много) .
4. Функция имеет разрыв в точке х = 14ПЂ 2"> .
5. Множеством значений функции является отрезок от минус единицы до единицы.

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график

Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).

Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.

Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции

Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x на влево (рис.2).

Свойства функции

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция четная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции: .

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().