Le rang de la matrice est égal au nombre d'inconnues. Notion de rang matriciel

Définition. Par le rang de la matrice est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes considérées comme vecteurs.

Théorème 1 sur le rang d'une matrice. Par le rang de la matrice est l'ordre maximum d'un mineur non nul de la matrice.

Nous avons déjà analysé le concept de tonalité mineure dans la leçon en fonction des déterminants, et maintenant nous allons le généraliser. Prenons dans la matrice des lignes et des colonnes, et ce "certain" doit être inférieur au nombre de lignes et de colonnes de la matrice, et pour les lignes et colonnes ce "certain" doit être le même nombre. Ensuite, à l'intersection de quelques lignes et du nombre de colonnes, il y aura une matrice d'ordre inférieur à notre matrice d'origine. Le déterminant de cette matrice sera un mineur d'ordre k si le "quelque" mentionné (le nombre de lignes et de colonnes) est noté k.

Définition. Mineur ( r+1) ème ordre, dans lequel se trouve le mineur sélectionné r-ème ordre est appelé bordant pour un mineur donné.

Les deux plus couramment utilisés sont trouver le rang de la matrice... ce manière de limitrophes des mineurs et méthode des transformations élémentaires(par la méthode de Gauss).

Pour la méthode des mineurs limitrophes, le théorème suivant est utilisé.

Théorème 2 sur le rang d'une matrice. Si à partir des éléments de la matrice il est possible de composer un mineur r-ième ordre, non égal à zéro, alors le rang de la matrice est r.

Dans la méthode des transformations élémentaires, la propriété suivante est utilisée :

Si, par transformations élémentaires, on obtient une matrice trapézoïdale équivalente à celle d'origine, alors le rang de cette matrice est le nombre de lignes qu'il contient, à l'exception des lignes entièrement composées de zéros.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

Un mineur limitrophe est un mineur d'ordre supérieur par rapport à un mineur donné, si ce mineur d'ordre supérieur contient ce mineur.

Par exemple, étant donné la matrice

Prenons un mineur

limitrophes seront les mineurs suivants :

Algorithme pour trouver le rang d'une matrice Suivant.

1. Trouvez des mineurs non nuls du second ordre. Si tous les mineurs de second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice sera égal à un ( r =1 ).

2. S'il y a au moins un mineur du deuxième ordre qui n'est pas égal à zéro, alors nous composons les mineurs limitrophes du troisième ordre. Si tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à deux ( r =2 ).

3. Si au moins un des mineurs limitrophes du troisième ordre n'est pas égal à zéro, alors nous composons les mineurs limitrophes. Si tous les mineurs limitrophes du quatrième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est de trois ( r =2 ).

4. Continuez aussi longtemps que la taille de la matrice le permet.

Exemple 1. Trouver le rang d'une matrice

.

Solution. Mineur du second ordre .

Nous l'encadrons. Il y aura quatre mineurs riverains :

,

,

Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, par conséquent, le rang de cette matrice est égal à deux ( r =2 ).

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 1, puisque tous les mineurs de second ordre de cette matrice sont égaux à zéro (en cela, comme dans les cas des mineurs limitrophes dans les deux exemples suivants, les chers étudiants sont invités à vérifier par eux-mêmes, en utilisant éventuellement les règles de calcul des déterminants), et parmi les mineurs du premier ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice, il n'y en a pas égal à zéro.

Exemple 3. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Mineur du deuxième ordre de cette matrice, dans tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro. Par conséquent, le rang de cette matrice est deux.

Exemple 4. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 3, puisque le seul mineur de troisième ordre de cette matrice est 3.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires (méthode de Gauss)

Déjà dans l'exemple 1, on voit que le problème de la détermination du rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes nécessite le calcul d'un grand nombre de déterminants. Il existe cependant un moyen de réduire au minimum la quantité de calcul. Cette méthode est basée sur l'utilisation de transformations matricielles élémentaires et est également appelée méthode de Gauss.

Les transformations matricielles élémentaires sont comprises comme les opérations suivantes :

1) multiplication d'une ligne ou d'une colonne de la matrice par un nombre différent de zéro ;

2) ajouter aux éléments de n'importe quelle ligne ou n'importe quelle colonne de la matrice les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, multipliés par le même nombre ;

3) permutation de deux lignes ou colonnes de la matrice ;

4) suppression des lignes "zéro", c'est-à-dire celles dont tous les éléments sont égaux à zéro;

5) suppression de toutes les lignes proportionnelles sauf une.

Théorème. Une transformation élémentaire ne change pas le rang de la matrice. En d'autres termes, si nous utilisons des transformations élémentaires de la matrice UNE est allé à la matrice B, alors .

Pour calculer le rang de la matrice, vous pouvez appliquer la méthode des mineurs limitrophes ou la méthode de Gauss. Considérons la méthode gaussienne ou la méthode des transformations élémentaires.

Le rang d'une matrice est l'ordre maximum de ses mineurs, parmi lesquels il y en a au moins un qui n'est pas égal à zéro.

Le rang d'un système de lignes (colonnes) est le nombre maximum de lignes (colonnes) linéairement indépendantes de ce système.

Algorithme pour trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes :

1. Mineur M k-ième l'ordre n'est pas nul.
2. Si les mineurs limitrophes pour le mineur M (k + 1) ème ordre, il est impossible de composer (c'est-à-dire que la matrice contient k lignes ou k colonnes), alors le rang de la matrice est k... S'il existe des mineurs limitrophes et qu'ils sont tous nuls, alors le rang est k. Si parmi les mineurs limitrophes il y en a au moins un non égal à zéro, alors on essaie de composer un nouveau mineur k + 2 etc.

Analysons l'algorithme plus en détail. Tout d'abord, considérons les mineurs du premier ordre (éléments de la matrice) de la matrice UNE... S'ils sont tous égaux à zéro, alors rangA = 0... S'il y a des mineurs de premier ordre (éléments matriciels) différents de zéro M 1 0 puis classer rangA ≥ 1.

M1... S'il y a de tels mineurs, ce seront alors des mineurs de second ordre. Si tous les mineurs voisins du mineur M1 sont égaux à zéro, alors rangA = 1... S'il y a au moins un mineur du second ordre différent de zéro M 2 0 puis classer rangA ≥ 2.

Vérifions s'il y a des mineurs limitrophes pour le mineur M2... S'il y a de tels mineurs, ce seront alors des mineurs du troisième ordre. Si tous les mineurs voisins du mineur M2 sont égaux à zéro, alors rangA = 2... S'il y a au moins un mineur du troisième ordre différent de zéro M 3 0 puis classer rangA ≥ 3.

Vérifions s'il y a des mineurs limitrophes pour le mineur M3... S'il y a de tels mineurs, ce seront des mineurs du quatrième ordre. Si tous les mineurs voisins du mineur M3 sont égaux à zéro, alors rangA = 3... S'il y a au moins un mineur de quatrième ordre différent de zéro M 4 0 puis classer rangA ≥ 4.

Vérifier s'il y a un mineur limitrophe pour un mineur M4, etc. L'algorithme s'arrête si à un certain stade les mineurs limitrophes sont égaux à zéro ou si le mineur limitrophe ne peut pas être obtenu (il n'y a pas de lignes ou de colonnes dans la matrice). L'ordre d'un mineur non nul, qu'il s'est avéré être, sera le rang de la matrice.

Exemple

Considérons cette méthode avec un exemple. Matrices données 4x5 :

Cette matrice a un rang d'au plus 4. De plus, cette matrice a des éléments non nuls (mineur de premier ordre), donc le rang de la matrice est ≥ 1.

Faisons un mineur 2e ordre. Commençons par le coin.

Puisque le déterminant est égal à zéro, nous allons composer un autre mineur.

Trouvons le déterminant de ce mineur.

Déterminer le mineur donné égal à -2 ... D'où le rang de la matrice ≥ 2 .

Si le mineur donné était égal à 0, alors d'autres mineurs seraient créés. Jusqu'à la fin, ils auraient composé tous les mineurs par 1 et la deuxième ligne. Puis 1 et 3 lignes, 2 et 3 lignes, 2 et 4 lignes, jusqu'à ce qu'ils trouvent un mineur différent de 0, par exemple :

Si tous les mineurs de second ordre sont 0, alors le rang de la matrice serait 1. La solution pourrait être arrêtée.

3e ordre.

Le mineur s'est avéré non nul. signifie le rang de la matrice ≥ 3 .

Si ce mineur était égal à zéro, alors d'autres mineurs devraient être composés. Par exemple:

Si tous les mineurs du troisième ordre sont égaux à 0, alors le rang de la matrice serait égal à 2. La solution pourrait être arrêtée.

Continuons la recherche du rang de la matrice. Faisons un mineur 4e ordre.

Trouvons le déterminant de ce mineur.

Le déterminant du mineur s'est avéré être égal 0 ... Construisons un autre mineur.

Trouvons le déterminant de ce mineur.

Mineur s'est avéré être égal 0 .

Construire mineur 5e l'ordre ne fonctionnera pas, pour cela il n'y a pas de ligne dans cette matrice. Le dernier mineur non égal à zéro était 3e ordre, donc le rang de la matrice est 3 .

Soit une matrice :

.

On sélectionne dans cette matrice lignes arbitraires et colonnes arbitraires
... Alors le déterminant ème ordre, composé d'éléments matriciels
situé à l'intersection des lignes et des colonnes sélectionnées est appelé un mineur -matrice d'ordre
.

Définition 1.13. Par le rang de la matrice
est appelé le plus grand ordre du mineur de cette matrice, autre que zéro.

Pour calculer le rang d'une matrice, il faut considérer tous ses mineurs d'ordre le plus petit et, si au moins l'un d'entre eux est différent de zéro, procéder à considérer les mineurs d'ordre le plus élevé. Cette approche pour déterminer le rang d'une matrice s'appelle la méthode du bordage (ou la méthode des mineurs limitrophes).

Tâche 1.4. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, déterminer le rang de la matrice
.

.

Considérons une bordure de premier ordre, par exemple
... Ensuite, nous passons à l'examen de certaines bordures de second ordre.

Par exemple,
.

Enfin, analysons la bordure de troisième ordre.

.

Ainsi, l'ordre le plus élevé d'un mineur non nul est 2, d'où
.

Lors de la résolution du problème 1.4, on peut remarquer qu'un nombre de mineurs limitrophes de second ordre sont non nuls. À cet égard, le concept suivant a lieu.

Définition 1.14. Un mineur de base d'une matrice est tout mineur non nul dont l'ordre est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.2.(théorème mineur de base). Les lignes de référence (colonnes de référence) sont linéairement indépendantes.

Notez que les lignes (colonnes) d'une matrice sont linéairement dépendantes si et seulement si au moins l'une d'entre elles peut être représentée comme une combinaison linéaire des autres.

Théorème 1.3. Le nombre de lignes linéairement indépendantes de la matrice est égal au nombre de colonnes linéairement indépendantes de la matrice et est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.4.(Une condition nécessaire et suffisante pour la disparition du déterminant). Pour que le déterminant -ème ordre était égal à zéro, il est nécessaire et suffisant que ses lignes (colonnes) soient linéairement dépendantes.

Le calcul du rang d'une matrice basé sur l'utilisation de sa définition est trop lourd. Cela devient particulièrement important pour les matrices d'ordres supérieurs. À cet égard, en pratique, le rang d'une matrice est calculé sur la base de l'application des théorèmes 10.2 - 10.4, ainsi que de l'utilisation des concepts d'équivalence de matrices et de transformations élémentaires.

Définition 1.15. Deux matrices
et sont dits équivalents si leurs rangs sont égaux, c'est-à-dire
.

Si les matrices
et sont équivalents, alors notez
 .

Théorème 1.5. Le rang de la matrice ne change pas par rapport aux transformations élémentaires.

Nous appellerons transformations élémentaires de la matrice
l'une des actions suivantes sur la matrice :

Remplacement des lignes par des colonnes et des colonnes par des lignes correspondantes ;

Permutation des lignes de la matrice ;

Supprimer une ligne dont tous les éléments sont égaux à zéro ;

Multiplication d'une chaîne par un nombre différent de zéro ;

Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligne multipliés par le même nombre
.

Corollaire du théorème 1.5. Si la matrice
obtenu à partir de la matrice utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, puis les matrices
et sont équivalents.

Lors du calcul du rang d'une matrice, celle-ci doit être réduite à une forme trapézoïdale en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires.

Définition 1.16. Nous appellerons une forme trapézoïdale de représentation d'une matrice lorsque dans le mineur limitrophe de l'ordre le plus élevé non nul tous les éléments en dessous des diagonaux s'évanouissent. Par exemple:

.

Ici
, éléments matriciels
disparaître. Alors la forme de représentation d'une telle matrice sera trapézoïdale.

En règle générale, les matrices sont réduites à une forme trapézoïdale en utilisant l'algorithme de Gauss. L'idée de l'algorithme de Gauss est qu'en multipliant les éléments de la première ligne de la matrice par les facteurs correspondants, ils parviennent à ce que tous les éléments de la première colonne situés en dessous de l'élément
, disparaîtrait. Ensuite, en multipliant les éléments de la deuxième colonne par les facteurs correspondants, on obtient que tous les éléments de la deuxième colonne situés en dessous de l'élément
, disparaîtrait. Procédez ensuite de la même manière.

Tâche 1.5. Déterminer le rang de la matrice en la réduisant à une forme trapézoïdale.

.

Pour faciliter l'utilisation de l'algorithme gaussien, vous pouvez permuter les première et troisième lignes.








.

evidemment ici
... Cependant, pour donner au résultat une forme plus élégante, vous pouvez continuer les transformations sur les colonnes.










.

Soit A une matrice de taille m \ fois n, et k un entier naturel n'excédant pas m et n : k\leqslant\min\(m;n\). Mineur du kième ordre de la matrice A est appelé le déterminant de la matrice d'ordre k formée par les éléments se trouvant à l'intersection de k lignes et k colonnes arbitrairement choisies de la matrice A. Lorsqu'ils désignent des mineurs, les numéros des lignes sélectionnées seront indiqués par des exposants et les colonnes sélectionnées - par des colonnes inférieures, en les plaçant dans l'ordre croissant.

Exemple 3.4.Écrire des mineurs de différents ordres matriciels

A = \ début (pmatrice) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ fin (pmatrice) \ !.

Solution. La matrice A a des dimensions 3 \ times4. Il a : 12 mineurs du 1er ordre, par exemple, un mineur M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; 18 mineurs du 2e ordre, par exemple, M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ end (vmatrix) = 2; 4 3ème ordre mineur, par exemple,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ begin (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ end (vmatrix) = 0.

Dans une matrice A de taille m \ fois n, le mineur d'ordre r est appelé de base s'il est différent de zéro et que tous les mineurs d'ordre (r + 1) -ro sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout.

Par le rang de la matrice l'ordre du mineur de base est appelé. Il n'y a pas de mineur de base dans la matrice zéro. Par conséquent, le rang de la matrice zéro, par définition, est supposé être zéro. Le rang de la matrice A est noté \ nom d'opérateur (rg) A.

Exemple 3.5. Trouver tous les mineurs de base et le rang d'une matrice

A = \ début (pmatrice) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ fin (pmatrice) \ !.

Solution. Tous les mineurs de troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque ces déterminants ont une troisième rangée nulle. Par conséquent, seul le mineur de second ordre situé dans les deux premières lignes de la matrice peut être basique. En passant par 6 mineurs possibles, nous sélectionnons non nul

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end ( vmatrix) \!, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12 )) = \ begin (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ end (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ fin (vmatrice) \ !.

Chacun de ces cinq mineurs est basique. Par conséquent, le rang de la matrice est 2.

Remarques 3.2

1. Si dans la matrice tous les mineurs d'ordre k sont égaux à zéro, alors les mineurs d'ordre supérieur sont également égaux à zéro. En effet, en développant le (k + 1) -ro ordre mineur dans n'importe quelle ligne, on obtient la somme des produits des éléments de cette ligne par les mineurs d'ordre k, et ils sont égaux à zéro.

2. Le rang d'une matrice est égal à l'ordre le plus élevé d'un mineur non nul de cette matrice.

3. Si une matrice carrée est non dégénérée, alors son rang est égal à son ordre. Si la matrice carrée est dégénérée, alors son rang est inférieur à son ordre.

4. Les désignations sont également utilisées pour le grade \ nom_opérateur (Rg) A, ~ \ nom_opérateur (rang) A, ~ \ nom_opérateur (rang) A.

5. Rang de la matrice de blocs est défini comme le rang d'une matrice ordinaire (numérique), c'est-à-dire ne pas prêter attention à sa structure de bloc. De plus, le rang d'une matrice de blocs n'est pas inférieur aux rangs de ses blocs : \ nom_opérateur (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ nom_opérateur (rg) A et \ nom_opérateur (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ nom_opérateur (rg) B puisque tous les mineurs de la matrice A (ou B) sont aussi des mineurs de la matrice bloc (A \ mid B).

Théorèmes de base des rangs mineurs et matriciels

Considérons les principaux théorèmes exprimant les propriétés de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des colonnes (lignes) d'une matrice.

Théorème 3.1 sur la mineure fondamentale. Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve le mineur de base.

En effet, sans perte de généralité, on suppose que dans une matrice A de taille m\ fois n, la base mineure se situe dans les r premières lignes et les r premières colonnes. Considérez le déterminant

D = \ begin (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ end (vmatrix),

qui est obtenu en affectant les éléments correspondants de la s-ième ligne et de la k-ième colonne au mineur de base de la matrice A. Notez que pour tout 1 \ leqslant s \ leqslant m et ce déterminant est nul. Si s\leqslant r ou k\leqslant r, alors le déterminant D contient deux lignes identiques ou deux colonnes identiques. Si s> r et k> r, alors le déterminant de D est égal à zéro, puisque c'est un mineur de l'ordre (r + l) -ro. En développant le déterminant le long de la dernière ligne, on obtient

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

où D_ (r + 1 \, j) sont les compléments algébriques des éléments de la dernière ligne. Notez que D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, puisqu'il s'agit d'une base mineure. C'est pourquoi

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), où \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

\ begin (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ end (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ end (pmatrix) \ !.

celles. k -ième colonne (pour tout 1 \ leqslant k \ leqslant n) est une combinaison linéaire des colonnes de la mineure de base, au besoin.

Le théorème mineur de base sert à prouver les théorèmes importants suivants.

La condition d'égalité à zéro du déterminant

Théorème 3.2 (condition nécessaire et suffisante pour l'annulation du déterminant). Pour que le déterminant soit égal à zéro, il est nécessaire et suffisant qu'une de ses colonnes (une de ses lignes) soit une combinaison linéaire des colonnes (lignes) restantes.

En effet, la nécessité découle du théorème mineur de base. Si le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n est égal à zéro, alors son rang est inférieur à n, c'est-à-dire au moins une colonne n'est pas incluse dans la mineure de base. Alors cette colonne sélectionnée, par le théorème 3.1, est une combinaison linéaire des colonnes dans lesquelles se trouve le mineur de base. En ajoutant, si nécessaire, à cette combinaison d'autres colonnes à coefficients nuls, on obtient que la colonne sélectionnée est une combinaison linéaire des colonnes restantes de la matrice. La suffisance découle des propriétés du déterminant. Si, par exemple, la dernière colonne A_n du déterminant \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n) exprimé linéairement par rapport au reste

A_n =\lambda_1\cdot A_1 +\lambda_2\cdot A_2 +\ldots+\lambda_ (n-1)\cdot A_ (n-1),

puis en ajoutant à A_n la colonne A_1 multipliée par (-\lambda_1), puis la colonne A_2 multipliée par (-\lambda_2), etc. colonne A_(n-1) multipliée par (-\lambda_(n-1)), on obtient le déterminant \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o) avec une colonne zéro qui est zéro (propriété 2 du déterminant).

Invariance de rang matriciel sous transformations élémentaires

Théorème 3.3 (sur l'invariance de rang sous transformations élémentaires). Les transformations élémentaires des colonnes (lignes) de la matrice ne changent pas son rang.

En effet, qu'il en soit ainsi. Supposons qu'à la suite d'une transformation élémentaire des colonnes de la matrice A, on obtient la matrice A". Si la transformation de type I (permutation de deux colonnes) a été effectuée, alors tout mineur (r + l) -ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur correspondant (r + l ) -ro de l'ordre de la matrice A, soit en diffère de signe (propriété 3 du déterminant). Si une transformation de type II a été effectuée (multiplication d'une colonne par le nombre \lambda\ne0), alors tout mineur (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur correspondant (r+l ) -ro de l'ordre de la matrice A, ou en diffère facteur \lambda\ne0 (propriété 6 du déterminant).Si une transformation de type III a été effectuée (addition à une colonne d'une autre colonne multipliée par le nombre \Lambda) , alors tout mineur du (r + 1) ième ordre de la matrice A" est soit égal au mineur correspondant (r + 1) -ième ordre de la matrice A (propriété 9 du déterminant), soit égal au somme de deux mineurs d'ordre (r + l) -ro de la matrice A (propriété 8 du déterminant). Par conséquent, sous une transformation élémentaire de tout type, tous les mineurs de l'ordre (r + l) -ro de la matrice A" sont égaux à zéro, puisque tous les mineurs de l'ordre (r + l) -ro de la matrice A sont égaux à 0. Puisque les transformations inverses aux élémentaires sont élémentaires, le rang d'une matrice sous les transformations élémentaires des colonnes ne peut pas et décroît, c'est-à-dire qu'il ne change pas.

Corollaire 1. Si une ligne (colonne) de la matrice est une combinaison linéaire de ses autres lignes (colonnes), alors cette ligne (colonne) peut être supprimée de la matrice sans changer son rang.

En effet, une telle chaîne peut être mise à zéro à l'aide de transformations élémentaires, et la chaîne zéro ne peut pas être incluse dans le mineur de base.

Corollaire 2. Si la matrice est réduite à la forme la plus simple (1.7), alors

\ nom_opérateur (rg) A = \ nom_opérateur (rg) \ Lambda = r \ ,.

En effet, la matrice la plus simple (1.7) a une base mineure d'ordre r.

Corollaire 3. Toute matrice carrée non dégénérée est élémentaire, c'est-à-dire que toute matrice carrée non dégénérée est équivalente à la matrice identité du même ordre.

En effet, si A est une matrice carrée non dégénérée d'ordre n, alors \ nom d'opérateur (rg) A = n(voir point 3 des remarques 3.2). Donc, en réduisant la matrice A à la forme la plus simple (1.7) par transformations élémentaires, on obtient la matrice unitaire \ Lambda = E_n, puisque \ nom_opérateur (rg) A = \ nom_opérateur (rg) \ Lambda = n(voir corollaire 2). Par conséquent, la matrice A est équivalente à la matrice identité E_n et peut être obtenue à partir d'un nombre fini de transformations élémentaires. Cela signifie que la matrice A est élémentaire.

Théorème 3.4 (sur le rang d'une matrice). Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de cette matrice.

En effet, laissez \ nom d'opérateur (rg) A = r... Alors la matrice A contient r lignes linéairement indépendantes. Ce sont les lignes dans lesquelles se trouve la base mineure. S'ils étaient linéairement dépendants, alors ce mineur serait égal à zéro d'après le théorème 3.2, et le rang de la matrice A ne serait pas égal à r. Montrons que r est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes, c'est-à-dire toutes les lignes p sont linéairement dépendantes pour p> r. En effet, on forme une matrice B à partir de ces p lignes. Puisque la matrice B fait partie de la matrice A, alors \ nom_opérateur (rg) B \ leqslant \ nom_opérateur (rg) A = r

Ainsi, au moins une ligne de la matrice B n'est pas incluse dans le mineur de base de cette matrice. Ensuite, par le théorème mineur de base, il est égal à la combinaison linéaire des lignes dans lesquelles se trouve le mineur de base. Par conséquent, les lignes de la matrice B sont linéairement dépendantes. Ainsi, la matrice A contient au plus r lignes linéairement indépendantes.

Corollaire 1. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes dans une matrice est égal au nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes :

\ nom_opérateur (rg) A = \ nom_opérateur (rg) A ^ T.

Cette affirmation découle du théorème 3.4 si nous l'appliquons aux lignes de la matrice transposée et prenons en compte que les mineurs ne changent pas lors de la transposition (propriété 1 du déterminant).

Corollaire 2. Sous transformations élémentaires des lignes d'une matrice, la dépendance linéaire (ou indépendance linéaire) de tout système de colonnes de cette matrice est conservée.

En effet, choisissons n'importe quelles k colonnes de la matrice A donnée et composons la matrice B à partir d'elles. Soit, à la suite de transformations élémentaires des lignes de la matrice A, la matrice A" a été obtenue, et à la suite des mêmes transformations des lignes de la matrice B, la matrice B" a été obtenue. Par le théorème 3.3 \ nom_opérateur (rg) B "= \ nom_opérateur (rg) B... Donc, si les colonnes de la matrice B étaient linéairement indépendantes, c'est-à-dire k = \ nom_opérateur (rg) B(voir corollaire 1), alors les colonnes de la matrice B" sont aussi linéairement indépendantes, puisque k = \ nom_opérateur (rg) B "... Si les colonnes de la matrice B étaient linéairement dépendantes (k> \ nom d'opérateur (rg) B), alors les colonnes de la matrice B" sont aussi linéairement dépendantes (k> \ nom d'opérateur (rg) B ")... Par conséquent, pour toutes les colonnes de la matrice A, la dépendance linéaire ou l'indépendance linéaire est conservée sous les transformations élémentaires de lignes.

Remarques 3.3

1. En vertu du corollaire 1 du théorème 3.4, la propriété des colonnes indiquée dans le corollaire 2 est également valable pour tout système de lignes d'une matrice si les transformations élémentaires ne sont effectuées que sur ses colonnes.

2. Le corollaire 3 du théorème 3.3 peut être raffiné comme suit : toute matrice carrée non dégénérée, utilisant des transformations élémentaires de ses seules lignes (ou uniquement de ses colonnes), peut être réduite à la matrice identité du même ordre.

En effet, en n'utilisant que des transformations élémentaires de lignes, toute matrice A peut être réduite à une forme simplifiée \ Lambda (Fig. 1.5) (voir Théorème 1.1). La matrice A étant non dégénérée (\det(A)\ne0), ses colonnes sont linéairement indépendantes. Ainsi, les colonnes de la matrice \ Lambda sont aussi linéairement indépendantes (Corollaire 2 du Théorème 3.4). Par conséquent, la forme simplifiée \ Lambda de la matrice non dégénérée A coïncide avec sa forme la plus simple (Fig. 1.6) et est la matrice identité \ Lambda = E (voir le corollaire 3 du théorème 3.3). Ainsi, en ne transformant que les lignes d'une matrice non dégénérée, elle peut être réduite à l'identité. Un raisonnement similaire est valable pour les transformations élémentaires des colonnes d'une matrice non dégénérée.

Le rang du produit et la somme des matrices

Théorème 3.5 (sur le rang d'un produit de matrices). Le rang du produit matriciel ne dépasse pas le rang des facteurs :

\ nom d'opérateur (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ nom d'opérateur (rg) A, \ nom d'opérateur (rg) B \).

En effet, soit les matrices A et B de dimensions m \ fois p et p \ fois n. On affecte à la matrice A la matrice C = AB \ deux-points \, (A \ milieu C)... Il va sans dire que \ nom_opérateur (rg) C \ leqslant \ nom_opérateur (rg) (A \ mid C), puisque C fait partie de la matrice (A \ mid C) (voir le point 5 de la remarque 3.2). Notez que chaque colonne C_j, selon l'opération de multiplication matricielle, est une combinaison linéaire de colonnes A_1, A_2, \ ldots, A_p matrices A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

Une telle colonne peut être supprimée de la matrice (A \ mid C) sans changer son rang (Corollaire 1 du Théorème 3.3). En barrant toutes les colonnes de la matrice C, on obtient : \ nom_opérateur (rg) (A \ mid C) = \ nom_opérateur (rg) A... D'où, \ nom_opérateur (rg) C \ leqslant \ nom_opérateur (rg) (A \ mid C) = \ nom_opérateur (rg) A... De même, on peut prouver que la condition \ nom_opérateur (rg) C \ leqslant \ nom_opérateur (rg) B, et tirer une conclusion sur la validité du théorème.

Conséquence. Si A est une matrice carrée non dégénérée, alors \ nom_opérateur (rg) (AB) = \ nom_opérateur (rg) B et \ nom_opérateur (rg) (CA) = \ nom_opérateur (rg) C, c'est à dire. le rang de la matrice ne change pas si elle est multipliée à gauche ou à droite par une matrice carrée non dégénérée.

Théorème 3.6 sur le rang de la somme des matrices. Le rang de la somme des matrices ne dépasse pas la somme des rangs des termes :

\ nom_opérateur (rg) (A + B) \ leqslant \ nom_opérateur (rg) A + \ nom_opérateur (rg) B.

En effet, on compose la matrice (A + B \ milieu A \ milieu B)... Notez que chaque colonne de la matrice A + B est une combinaison linéaire des colonnes des matrices A et B. C'est pourquoi \ nom_opérateur (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ nom_opérateur (rg) (A \ mid B)... Considérant que le nombre de colonnes linéairement indépendantes dans la matrice (A \ mid B) ne dépasse pas \ nom_opérateur (rg) A + \ nom_opérateur (rg) B, une \ nom_opérateur (rg) (A + B) \ leqslant \ nom_opérateur (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(voir point 5 de la remarque 3.2), on obtient l'inégalité recherchée.