Движение вверх физика. Свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх
Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его движению применимы формулы равноускоренного движения без начальной скорости с ускорением. Обозначим начальную высоту тела над землей через, время его свободного падения с этой высоты до земли - через и скорость, достигнутую телом в момент падения на землю, - через . Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соотношениями
(54.1)
(54.2)
В зависимости от характера задачи удобно пользоваться тем или другим из этих соотношений.
Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена некоторая начальная скорость , направленная вертикально вверх. В этой задаче удобно считать положительным направление кверху. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением и с положительной начальной скоростью. Скорость этого движения в момент временивыразится формулой
а высота подъема в этот момент над исходной точкой - формулой
(54.5)
Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент, для которого
После этого момента скорость станет отрицательной и тело начнет падать вниз. Значит, время подъема тела
Подставляя в формулу (54.5) время подъема, найдем высоту подъема тела:
(54.8)
Дальнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в начале этого параграфа) с высоты. Подставляя эту высоту в формулу (54.3), найдем, что скорость, которой тело достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна начальной скорости тела (но, конечно, будет направлена противоположно - вниз). Наконец, из формулы (54.2) заключим, что время падения тела с высшей точки равно времени поднятия тела в эту точку.
5 4.1. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 20 м. На какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на землю?
54.2. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и тон же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.
54.3. Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты : а) без начальной скорости; б) с начальной скоростью , направленной вертикально вверх; в) с начальной скоростью , направленной вертикально вниз.
54.4. Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.
54.5. При вертикальной стрельбе по воздушным целям снаряд, выпущенный из зенитного орудия, достиг только половины расстояния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг цели. Во сколько раз начальная скорость снаряда второго орудия больше, чем скорость первого?
54.6. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое?
Само по себе тело вверх, как известно, не движется. Его нужно «бросить», т. е. сообщить ему некоторую начальную скорость направленную по вертикали вверх.
Брошенное вверх тело движется, как показывает опыт, с таким же ускорением, как и свободно падающее тело. Это ускорение равно и направлено вертикально вниз. Движение тела, брошенного вверх, - это тоже прямолинейное равноускоренное движение, и формулы, которые были написаны для свободного падения тела, годны и для описания движения тела, брошенного вверх. Но при написании формул надо учесть, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости: скорость тела по абсолютному значению не увеличивается, а уменьшается. Поэтому, если ось координат направить вверх, проекция начальной скорости будет положительна, а проекция ускорения - отрицательна, и формулы примут вид:
Так как тело, брошенное вверх, движется с уменьшающейся скоростью, то наступит такой момент, когда скорость станет равной нулю. В этот момент тело будет находиться на максимальной высоте. Подставив в формулу (1) значение получим:
Отсюда можно найти время, которое требуется для того, чтобы тело поднялось до максимальной высоты:
Максимальную высоту определяем из формулы (2).
Подставив в формулу получим
После того как тело достигнет высоты оно начнет падать вниз; проекция его скорости станет отрицательной, а по абсолютной величине будет возрастать (см. формулу 1), высота же будет уменьшаться со временем согласно формуле (2) при
Пользуясь формулами (1) и (2), легко убедиться в том, что скорость тела в момент его падения на землю или вообще туда, откуда оно было брошено (при h = 0), равна по абсолютной величине начальной скорости а время падения тела равно времени его подъема.
Падение тела можно рассматривать и отдельно как свободное падение тела с высоты Тогда мы можем воспользоваться формулами, приведенными в предыдущем параграфе.
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время? Решение. Скорость тела вычисляется по формуле
К исходу четвертой секунды
Знак означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, т. е. в конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема.
Величину перемещения тела найдем по формуле
Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути равна максимальной высоте подъема плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз:
Значение вычислим по формуле
Подставив значения получаем: сек
Упражнение 13
1. Стрела выпущена из лука вертикально вверх со скоростью 30 м/сек. На какую высоту она поднимется?
2. Тело, брошенное с земли вертикально вверх, упало через 8 сек. Найдите, на какую высоту оно поднялось и какова была его начальная скорость?
3. Из пружинного пистолета, находящегося на высоте 2 м над землей, вылетает вертикально вверх шарик со скоростью 5 м/сек. Определите, на какую максимальную высоту он поднимется и какую скорость шарик будет иметь в момент падения на землю. Сколько времени шарик находился в полете? Каково его перемещение за первые 0,2 сек полета?
4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/сек. На какой высоте оно окажется через 3 и 5 сек и какие при этом у него будут скорости? Принять
5 Два тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями. Одно из них достигло вчетверо большей высоты, чем другое. Во сколько раз его начальная скорость была больше начальной скорости другого тела?
6. Брошенное вверх тело пролетает мимо окна со скоростью 12 м/сек. С какой скоростью оно будет пролетать мимо того же окна вниз?
Вопросы.
1. Действует ли сила тяжести на подброшенное вверх тело во время его подъема?
Сила тяжести действует на все тела, независимо от того, подброшено оно вверх или находится в состоянии покоя.
2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?
3. От чего зависит наибольшая высота подъема брошенного вверх тела в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь?
Высота подъема зависит от начальной скорости. (Вычисления см. предыдущий вопрос).
4. Что можно сказать о знаках проекций векторов мгновенной скорости тела и ускорения свободного падения при свободном движении этого тела вверх?
При свободном движении тела вверх знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны.
5. Как ставились опыты, изображенные на рисунке 30, и какой вывод из них следует?
Описание опытов см. стр. 58-59. Вывод: Если на тело действует только сила тяжести, то его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.
Упражнения.
1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?
Закономерности падения тел открыл Галилео Галилей.
Знаменитый опыт с бросанием шаров с наклонной Пизанской башни (рис. 7.1, а) подтвердил его предположение, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то все тела падают одинаково. Когда с этой башни бросили одновременно пулю и пушечное ядро, они упали практически одновременно (рис. 7.1, б).
Падение тел в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, называют свободным падением.
Поставим опыт
Свободное падение тел можно наблюдать с помощью так называемой трубки Ньютона. Положим в стеклянную трубку металлический шарик и перышко. Перевернув трубку, мы увидим, что перышко падает медленнее, чем шарик (рис. 7.2, а). Но если откачать из трубки воздух, то шарик и перышко будут падать с одинаковой скоростью (рис. 7.2, б).
Значит, различие в их падении в трубке с воздухом обусловлено только тем, что сопротивление воздуха для перышка играет большую роль.
Галилей установил, что при свободном падении тело движется с постоянным ускорением, Его называют ускорением свободного падения и обозначают . Оно направлено вниз и, как показывают измерения, равно по модулю примерно 9,8 м/с 2 . (В разных точках земной поверхности значения g немного различаются (в пределах 0,5%).)
Из курса физики основной школы вы уже знаете, что ускорение тел при падении обусловлено действием силы тяжести.
При решении задач школьного курса физики (в том числе заданий ЕГЭ) для упрощения принимают g = 10 м/с 2 . Далее мы тоже будем поступать так же, не оговаривая этого особо.
Рассмотрим сначала свободное падение тела без начальной скорости.
В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать также движение тела, брошенного вертикально вверх и под углом к горизонту. Поэтому введем сразу систему координат, подходящую для всех этих случаев.
Направим ось x по горизонтали вправо (в этом параграфе она нам пока не понадобится), а ось y – вертикально вверх (рис. 7.3). Начало координат выберем на поверхности земли. Обозначим h начальную высоту тела.
Свободно падающее тело движется с ускорением , и поэтому при равной нулю начальной скорости скорость тела в момент времени t выражается формулой
1. Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой
Из этой формулы следует, что скорость свободно падающего тела ежесекундно увеличивается примерно на 10 м/с.
2. Начертите графики зависимости v y (t) и v(t) для первых четырех секунд падения тела.
3. Свободно падающее без начальной скорости тело упало на землю со скоростью 40 м/с. Сколько времени длилось падение?
Из формул для равноускоренного движения без начальной скорости следует, что
s y = g y t 2 /2. (3)
Отсюда для модуля перемещения получаем:
s = gt 2 /2. (4)
4. Как связан пройденный телом путь с модулем перемещения, если тело свободно падает без начальной скорости?
5. Найдите, чему равен путь, пройденный свободно падающим без начальной скорости телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с. Запомните эти значения пути: они помогут вам устно решать многие задачи.
6. Используя результаты предыдущего задания, найдите пути, проходимые свободно падающим телом за первую, вторую, третью и четвертую секунды падения. Разделите значения найденных путей на пять. Заметите ли вы простую закономерность?
7. Докажите, что зависимость координаты y тела от времени выражается формулой
y = h – gt 2 /2. (5)
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении и тем, что начальная координата тела равна h, а начальная скорость тела равна нулю.
На рисунке 7.4 изображен пример графика зависимости y(t) для свободно падающего тела до момента его падения на землю.
8. С помощью рисунка 7.4 проверьте полученные вами ответы на задания 5 и 6.
9. Докажите, что время падения тела выражается формулой
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела равна нулю.
10. Докажите, что модуль конечной скорости тела vк (непосредственно перед падением на землю)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (2) и (6).
11. Чему была бы равна скорость капель, падающих с высоты 2 км, если бы сопротивлением воздуха для них можно было бы пренебречь, то есть они падали бы свободно?
Ответ на этот вопрос удивит вас. Дождь из таких «капелек» был бы губительным, а не живительным. К счастью, атмосфера спасает нас всех: вследствие сопротивления воздуха скорость дождевых капель у поверхности земли не превышает 7–8 м/с.
2. Движение тела, брошенного вертикально вверх
Пусть тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 0 (рис. 7.5).
Скорость v_vec тела в момент времени t в векторном виде выражается формулой
В проекциях на ось y:
v y = v 0 – gt. (9)
На рисунке 7.6 изображен пример графика зависимости v y (t) до момента падения тела на землю.
12. Определите по графику 7.6, в какой момент времени тело находилось в верхней точке траектории. Какую еще информацию можно извлечь из этого графика?
13. Докажите, что время подъема тела до верхней точки траектории можно выразить формулой
t под = v 0 /g. (10)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю.
14. Докажите, что зависимость координаты у тела от времени выражается формулой
y = v 0 t – gt 2 /2. (11)
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.
15.На рисунке 7.7 изображен график зависимости y(t). Найдите два разных момента времени, когда тело находилось на одной и той же высоте, и момент времени, когда тело находилось в верхней точке траектории. Заметили ли вы какую-то закономерность?
16. Докажите, что максимальная высота подъема h выражается формулой
h = v 0 2 /2g (12)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (10) и (11) или формулой (9) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.
17. Докажите, что конечная скорость тела, брошенного вертикально вверх (то есть скорость тела непосредственно перед падением на землю), равна но модулю его начальной скорости:
v к = v 0 . (13)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (7) и (12).
18. Докажите, что время всего полета
t пол = 2v 0 /g. (14)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела становится равной нулю.
19. Докажите, что
t пол = 2t под. (15)
Подсказка. Сравните формулы (10) и (14).
Следовательно, подъем тела до верхней точки траектории занимает такое же время, какое занимает последующее падение.
Итак, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то полет тела, брошенного вертикально вверх, естественно разбивается на два этапа, занимающие одинаковое время, – движение вверх и последующее падение вниз в начальную точку.
Каждый из этих этапов представляет собой как бы «обращенный во времени» другой этап. Поэтому если мы снимем на видеокамеру подъем брошенного вверх тела до верхней точки, а потом будем показывать кадры этой видеосъемки в обратном порядке, то зрители будут уверены, что они наблюдают падение тела. И наоборот: показанное в обратном порядке падение тела будет выглядеть в точности как подъем тела, брошенного вертикально вверх.
Этот прием используют в кино: снимают, например, артиста, который спрыгивает с высоты 2–3 м, а потом показывают эту съемку в обратном порядке. И мы восхищаемся героем, легко взлетающим на высоту, недостижимую для рекордсменов.
Используя описанную симметрию между подъемом и спуском тела, брошенного вертикально вверх, вы сможете выполнить следующие задания устно. Полезно также вспомнить, чему равны пути, проходимые свободно падающим телом (задание 4).
20. Чему равен путь, который проходит брошенное вертикально вверх тело за последнюю секунду подъема?
21. Брошенное вертикально вверх тело побывало на высоте 40 м дважды с интервалом 2 с.
а) Чему равна максимальная высота подъема тела?
б) Чему равна начальная скорость тела?
Дополнительные вопросы и задания
(Во всех заданиях этого параграфа предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.)
22. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м.
а) Сколько времени длится падение?
б) Какое расстояние пролетает тело за вторую секунду?
в) Какое расстояние пролетает тело за последнюю секунду движения?
г) Чему равна конечная скорость тела?
23. Тело падает без начальной скорости с некоторой высоты в течение 2,5 с.
а) Чему равна конечная скорость тела?
б) С какой высоты падало тело?
в) Какое расстояние пролетело тело за последнюю секунду движения?
24. С крыши высокого дома с интервалом 1 с упали две капли.
а) Чему равна скорость первой капли в момент, когда оторвалась вторая капля?
б) Чему равно в этот момент расстояние между каплями?
в) Чему равно расстояние между каплями через 2 с после начала падения второй капли?
25. За последние τ секунд падения без начальной скорости тело пролетело расстояние l. Обозначим начальную высоту тела h, время падения t.
а) Выразите h через g и t.
б) Выразите h – l через g и t – τ.
в) Из полученной системы уравнений выразите h через l, g и τ.
г) Найдите значение h при l = 30 м, τ = 1 с.
26. Синий шарик бросили вертикально вверх с начальной скоростью v0. В момент, когда он достиг высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью бросили красный шарик.
а) Сколько времени продолжался подъем синего шарика?
б) Чему равна максимальная высота подъема синего шарика?
в) Через какое время после бросания красного шарика он столкнулся с движущимся синим?
г) На какой высоте шарики столкнулись?
27. С потолка лифта, поднимающегося равномерно со скоростью vл, оторвался болт. Высота кабины лифта h.
а) В какой системе отсчета удобнее рассматривать движение болта?
б) Сколько времени будет падать болт?
в) Чему равна скорость болта непосредственно перед касанием пола: относительно лифта? относительно земли?
Данный видеоурок предназначается для самостоятельного изучения темы «Движение тела, брошенного вертикально вверх». В ходе этого занятия учащиеся получат представление о движении тела, находящегося в свободном падении. Учитель расскажет о движении тела, брошенного вертикально вверх.
На предыдущем уроке мы рассмотрели вопрос движения тела, которое находилось в свободном падении. Напомним, что свободным падением (рис. 1) мы называем такое движение, которое происходит под действием силы тяжести. Направлена сила тяжести вертикально вниз по радиусу к центру Земли, ускорение свободного падения при этом равно .
Рис. 1. Свободное падение
Чем же будет отличаться движение тела, брошенного вертикально вверх? Отличаться будет тем, что начальная скорость будет направлена вертикально вверх, т. е. тоже можно считать по радиусу, но не к центру Земли, а, наоборот, от центра Земли вверх (рис. 2). А вот ускорение свободного падения, как вы знаете, направлено вертикально вниз. Значит, можно сказать следующее: движение тела по вертикали вверх в первой части пути будет движением замедленным, причем это замедленное движение будет происходить тоже с ускорением свободного падения и тоже под действием силы тяжести.
Рис. 2 Движение тела, брошенного вертикально вверх
Давайте обратимся к рисунку и посмотрим, как направлены вектора и как это сочетается с системой отсчета.
Рис. 3. Движение тела, брошенного вертикально вверх
В данном случае система отсчета связана с землей. Ось Oy направлена вертикально вверх, так же как и вектор начальной скорости. На тело действует сила тяжести, направленная вниз, которая сообщает телу ускорение свободного падения, которое тоже будет направлено вниз.
Можно отметить следующую вещь: тело будет двигаться замедлено , поднимется до некоторой высоты , а потом начнет ускоренно падать вниз.
Максимальную высоту мы обозначили , при этом .
Движение тела, брошенного вертикально вверх, происходит вблизи поверхности Земли, когда ускорение свободного падения можно считать постоянным (рис. 4).
Рис. 4. Вблизи поверхности Земли
Обратимся к уравнениям, которые дают возможность определить скорость, мгновенную скорость и пройденное расстояние при рассматриваемом движении. Первое уравнение - это уравнение скорости: . Второе уравнение - уравнение движения при равноускоренном движении: .
Рис. 5. Ось Oy направлена вверх
Рассмотрим первую систему отсчета - систему отсчета, связанную с Землей, ось Oy направлена вертикально вверх (рис. 5). Начальная скорость тоже направлена вертикально вверх. На предыдущем уроке мы уже говорили, что ускорение свободного падения направлено вниз по радиусу к центру Земли. Итак, если теперь уравнение скорости привести к данной системе отсчета, то мы получим следующее: .
Это проекция скорости в определенный момент времени. Уравнение движения в этом случае имеет вид: 
.
Рис. 6. Ось Oy направлена вниз
Рассмотрим другую систему отсчета, когда ось Oy направлена вертикально вниз (рис. 6). Что от этого изменится?
. Проекция начальной скорости будет со знаком минус, так как ее вектор направлен вверх, а ось выбранной системы отсчета направлена вниз. В этом случае ускорение свободного падения будет со знаком плюс, потому что направлено вниз. Уравнение движения: 
.
Еще одно очень важное понятие, которое нужно рассмотреть, – понятие невесомости.
Определение. Невесомость – состояние, при котором тело движется только под действием силы тяжести.
Определение . Вес – сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие притяжения к Земле.
Рис. 7 Иллюстрация к определению веса
Если тело вблизи Земли или на небольшом расстоянии от поверхности Земли будет двигаться только под действием силы тяжести, то оно не подействует на опору или подвес. Такое состояние и называется невесомостью. Очень часто невесомость путают с понятием отсутствия силы тяжести. В данном случае необходимо помнить, что вес – это действие на опору, а невесомость – это когда на опору действие не оказывают. Сила тяжести – это сила, которая всегда действует вблизи поверхности Земли. Эта сила – результат гравитационного взаимодействия с Землей.
Обратим внимание на еще один важный момент, связанный со свободным падением тел и движением вертикально вверх. Когда тело движется вверх и движется с ускорением (рис. 8), возникает действие, приводящее к тому, что сила , с которой тело действует на опору, превосходит силу тяжести . Если такое происходит, это состояние тела называется перегрузкой, или говорят, что само тело испытывает перегрузку.
Рис. 8. Перегрузка
Заключение
Состояние невесомости, состояние перегрузки - это экстремальные случаи. В основном, когда тело движется по горизонтальной поверхности, вес тела и сила тяжести чаще всего остаются равными друг другу.
Список литературы
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.
- Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Государственное издательство технико-
- теоретической литературы, 2005. - Т. 1. Механика. - С. 372.
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание, передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
- Интернет-портал «eduspb.com» ()
- Интернет-портал «physbook.ru» ()
- Интернет-портал «phscs.ru» ()
Домашнее задание