Тест 6 скалярное произведение векторов вариант 1. Скалярное произведение векторов. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Скалярным произведением a  b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

где  – угол между векторами a и b .

Скалярное произведение векторов a , b обозначается также при помощи символов ab .

Знак скалярного произведения определяется величиной :

если 0    тоa  b  0,

если же    , то a  b  0.

Скалярное произведение определяется только для двух векторов.

Операции над векторами в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны векторы a = (x 1 ; y 1) = x 1 i + y 1 j и b = (x 2 ; y 2) = x 2 i + y 2 j .

1. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых, т. е. a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т. е. a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Каждая координата произведения вектора на число  равна произведению соответствующей координаты этого вектора на , т. е.  а = ( х 1 ;  у 1).

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. a  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Следствие. Длина вектора а = (x ; y ) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т. е.

=
(5)

Пример 4. Даны векторы
b = 3i – j .

Требуется:

1. Найти

2. Найти скалярное произведение векторов с , d .

3. Найти длину вектора с .

Решение

1. По свойству 3 находим координаты векторов 2а , –а , 3b , 2b : 2а = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –а = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

По свойствам 2, 1 находим координаты векторов с , d : с = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. По свойству 4 сd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. По следствию из свойства 4 | с | =
=
.

Тест 3 . Определить координаты вектора а + b , если а = (–3; 4), b = = (5; –2):

Тест 4. Определить координаты вектора а – b , если а = (2; –1), b = = (3; –4):

Тест 5 . Найти координаты вектора 3а , если а = (2; –1):

Тест 6 . Найти скалярное произведение a , b векторов а = (1; –4), b = (–2; 3):

Тест 7 . Найти длину вектора а = (–12; 5):

3)
;

Ответы на тестовые задания

1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке (начало координат 0) и имеющих направление, а также единицы масштаба по каждой оси (рисунок 17).

Рисунок 17

Положение точки М на плоскости определяется единственным образом тремя числами – ее координатами M (х т ; у т ; z т ), где х т – абсцисса, у т – ордината, z т – аппликата.

Каждая из них дает расстояние от точки М до одной из плоскостей координат со знаком, учитывающим, по какую сторону от этой плоскости расположена точка: взята ли она в сторону положительного или отрицательного направления третьей оси.

Три координатные плоскости делят пространство на 8 частей (октантов).

Расстояние между двумя точками A (х А ; у А ; z А ) и B (х В ; у В ; z В ) вычисляется по формуле

Пусть даны точки A (х 1 ; у 1 ; z 1) и B (х 2 ; у 2 ; z 2). Тогда координаты точки С (х ; у ; z ), делящей отрезок
в отношении, выражаются следующими формулами:

Пример 1 . Найти расстояние АВ , если А (3; 2; –10) и В (–1; 4; –5).

Решение

Расстояние АВ вычисляется по формуле

Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению с тремя переменными, составляет некоторую поверхность.

Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум уравнениям, составляет некоторую линию – линию пересечения соответствующих двух поверхностей.

Всякое уравнение первой степени изображает плоскость, и, обратно, всякая плоскость может быть представлена уравнениями первой степени.

Параметры A , B , C являются координатами нормального вектора, перпендикулярного плоскости, т. е. n = (A ; B ; C ).

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях: a – по оси ОX , b – по оси ОY , с – по оси ОZ :

Пусть даны две плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Условие параллельности плоскостей:
.

Условие перпендикулярности плоскостей:

Угол между плоскостями определяется по следующей формуле:

.

Пусть плоскость проходит через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Тогда ее уравнение имеет вид:

Расстояние от точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле

.

Тест 1. Плоскость
проходит через точку:

1) A (–1; 6; 3);

2) B (3; –2; –5);

3) C (0; 4; –1);

4) D (2; 0; 5).

Тест 2 . Уравнение плоскости ОXY следующее:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Пример 2 . Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости ОXY и проходящей через точку (2; –5; 3).

Решение

Так как плоскость параллельна плоскости ОXY , ее уравнение имеет вид Cz + D = 0 (вектор  = (0; 0; С )  ОХ Y ).

Так как плоскость проходит через точку (2; –5; 3), то C  3 + D = 0 или как D = –3C .

Таким образом, CZ – 3C = 0. Так как С ≠ 0, то z – 3 = 0.

Ответ: z – 3 = 0.

Тест 3 . Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору (3; –1; –4), имеет вид:

1)

2)

3)

4)

Тест 4 . Величина отрезка, отсекаемого по оси ОY плоскостью
равна:

Пример 3 . Написать уравнение плоскости:

1. Параллельной плоскости
и проходящей через точкуA (2; 0; –1).

2. Перпендикулярной плоскости
и проходящей через точкуB (0; 2; 0).

Решение

Уравнения плоскостей будем искать в виде A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Так как плоскости параллельны, то
ОтсюдаA = 3t ,B = –t ,C = 2t , гдеt R . Пустьt = 1. Тогда A = 3, B = –1, C = 2. Поэтому уравнение принимает вид
Координаты точкиА , принадлежащей плоскости, обращают уравнение в истинное равенство. Следовательно, 32 – 10 + 2(–1) +D = 0. ОткудаD = 4.

Ответ:

2. Поскольку плоскости перпендикулярны, то 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Так как переменных три, а уравнение одно, то две переменные принимаютпроизвольные одновременно не равные нулю значения. Пусть A = 1, B = 3. ТогдаC = 0. Уравнение принимает вид
D = –6.

Ответ:

Тест 5 . Указать плоскость, параллельную плоскости x – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 6 . Указать плоскость, перпендикулярную плоскостиx – 2y + + 6z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 7 . Косинус угла между плоскостями 3x + y – z – 1 = 0 и x – 4y – – 5z + 3 = 0определяется по формуле:

1)

2)

3)

Тест 8 . Расстояние от точки (3; 1; –1) до плоскости 3 x – y + 5z + 1 = 0определяется по формуле:

1)

2)

2. Упростим уравнение, умножив обе его части на 7. Получим 7y 2 -9y+2=0. По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 равна –b/a. Значит:

3. Всего 880 пассажиров. Из них 35% мужчин, значит, женщин и детей 100%-35%=65%. Найдем 65% от 880. Чтобы найти процент от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на данное число.

65%=0,65; умножаем 880 на 0,65, получаем 572. Столько женщин и детей, причем 75% от них составляют женщины, остальные 25% от 572 — это дети. Опять находим процент от числа. 25% от 572. Обращаем 25% в десятичную дробь (будет 0,25) и умножаем на 572. Считаем: 572·0,25=143. Это дети. Женщин: 572-143=429 .

А короче?

25% — это четверть от 100%, поэтому, рассуждаем так: 572 делим на 4, получаем 143 (разделить на 4 проще, чем умножать на 0,25)- это дети, а женщин 75% — это три четверти, поэтому, 143 умножаем на 3 и получаем 429.

4. По условию составляем неравенство:

11x+3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:

6x<-9; делим обе части неравенства на 6:

x<-1,5. Ответ: Е).

5. 990° запишем в виде 2·360°+270°. Тогда cos 990° =cos(2·360°+270°)=cos 270°=0.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения tg t=a.

t=arctg a +πn, nєZ. У нас t=4x.

7. Имеем: первый член арифметической прогрессии a 1 =25 . Разность арифметической прогрессии d =a 2 -a 1 =30-25=5. Применим формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии и подставим в нее наши значения a 1 =25, d=5 и n=22 , так как требуется найти сумму 22 членов прогрессии.

8. Графиком данной квадратичной функции y=x 2 -x-6 служит парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина параболы находится в точке O’(m; n) . Это самая нижняя точка графика, поэтому, свое наименьшее значение n функция будет иметь при x=m=-b/(2a)=1/2. Ответ: D).

9. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны между собой. Обозначим основание через х . Тогда каждая боковая сторона будет равна (х+3) . Зная, что периметр треугольника равен 15,6 см , составим уравнение:

х+(х+3)+(х+3)=15,6;

3х=9,6 → х=3,2 — это основание треугольника, а каждая боковая сторона будет равна 3,2+3=6,2 . Ответ: стороны треугольника равны 6,2 см; 6,2 см и 3,2 см .

10. С первым неравенством системы все ясно. Решаем второе неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 4x 2 +5x-6 и разложим его на линейные множители.

11. Cправа по основному логарифмическому тождеству получается 7 . Опускаем основания степеней (7) в левой и в правой частях равенства. Остается: x 2 =1 , отсюда х=±1. Ответ: С).

12. Возведем обе части равенства в квадрат. Применив формулы логарифма степени и логарифма произведения, получим квадратное уравнение относительно логарифма числа 5 по основанию х . Введем переменную у , решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х . Найдем значения х и проанализируем ответы.

13. Задание: решить систему. Не будем решать — сделаем проверку. Подставим предложенные ответы во второе уравнение системы, так как оно проще: х+у=35 . Из всех предложенных пар решений системы подходит только ответ D) .

8+27=35 и 27+8=35 . Подставлять эти пары в первое уравнение системы не стоит, а вот если бы ко второму уравнению подошел бы еще один из ответов, то пришлось бы делать подстановку и в первое равенство системы.

14. Область определения функции — это множество значений аргумента х, при которых правая часть равенства имеет смысл. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 6+2х≥0 , отсюда следует, что 2х≥-6 или х≥-3. Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то запишем: х≠5 . Получается, что можно брать все числа, большие или равные -3 , но не равные 5 . Ответ: [-3; 5)U(5; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

16 . Рассмотрим круг, вписанный в правильный шестиугольник и вспомним, как выражается радиус вписанной окружности r через сторону правильного шестиугольника а . Найдем радиус, затем сторону и периметр шестиугольника.

17 . Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку О - пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды, ведь точка О должна быть равноудалена от всех вершин основания пирамиды.

Находим диагональ AC прямоугольника ABCD. AC 2 =AD 2 +CD 2 ;

AC 2 =32 2 +24 2 =1024+576=1600 → AC=40см. Тогда ОС=20см. Так как Δ МОС – прямоугольный и равнобедренный (/ ОСМ=45°), то МО=ОС=20см. Применим формулу объема пирамиды, подставив нужные значения.

18. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Пусть круг с центром в точке О 1 и радиусом ОА перпендикулярен радиусу шара ОВ и проходит через его середину О 1 . Тогда в прямоугольном треугольнике АО 1 О гипотенуза ОА=10 см (радиус шара), катет ОО 1 =5см. По теореме Пифагора О 1 А 2 =ОА 2 -ОО 1 2 . Отсюда О 1 А 2 =10 2 -5 2 =100-25=75. Площадь сечения – это площадь нашего круга, найдем по формуле S=πr 2 =π∙O 1 A 2 =75π см 2 .

19. Пусть а 1 и а 2 – искомые координаты вектора. Так как векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Запишем: 2а 1 +7а 2 =0. Выразим а 1 через а 2 . Тогда а 1 =-3,5а 2 . Так как длины векторов равны, то имеем равенство: а 1 2 +а 2 2 =2 2 +7 2 . Подставим в это равенство значение а 1 . Получаем: (3,5а 2) 2 +а 2 2 =4+49; упрощаем: 12,25а 2 2 +а 2 2 =53;

13,25а 2 2 =53, отсюда а 2 2 =53:13,25=4. Получается два значения а 2 =±2. Если а 2 =-2, то а 1 =-3,5∙(-2)=7. Если а 2 =2, то а 1 =-7. Искомые координаты (7; -2) или (-7; 2) . Ответ: В).

20. Упростим знаменатель дроби. Для этого раскроем скобки и приведем дроби под знаком корня к общему знаменателю.

21. Выражение в скобках приведем к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю. Применяем формулы квадрата разности двух выражений и разности квадратов двух выражений. Сократим дробь.

22. Чтобы решить данную систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение двух неравенств. Решаем 1-ое неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть, вынесем общий множитель за скобку.

x 2 ∙4 x -4 x +1 >0;

x 2 ∙4 x -4 x ∙4>0;

4 x (x 2 -4)>0. Так как показательная функция при любом показателе принимает только положительные значения, то 4 х >0, следовательно, и x 2 -4>0.

(x-2)(x+2)>0.

Решаем 2-ое неравенство.

Представляем левую и правую части в виде степеней с основанием 2.

2 - x ≥2 3 . Так как показательная функция с основанием большим единицы, возрастает на R , опускаем основания, сохраняя знак неравенства.

X≥3 → x≤-3.

Находим общее решение.

Ответ: (-∞; -3].

23. По формуле приведения косинус преобразуется в синус 3х . После приведения подобных слагаемых и деления обеих частей неравенства на 2 , получим простейшее неравенство вида: sin t > a . Решение этого неравенства находим по формуле:

arcsin a+2πnУ нас t=3x.