Основные свойства числовых неравенств. Числовые неравенства
Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.
Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.
Навигация по странице.
Числовые неравенства: определение, примеры
Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:
Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .
А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .
Свойства числовых неравенств
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
Определение.
- число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
- число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
- число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
- число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
- число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
Основные свойства
Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:
Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.
Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:
- рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
- антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
- транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .
Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.
Другие важные свойства числовых неравенств
Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a
Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!
Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a
Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a
На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .
Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.
Доказательство. Начнем со случая, когда c>0
. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c
. Так как по условию a0
, то произведение (a−b)·c
будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b
на положительное число c
(что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0
, откуда a·c На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c
. Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий. Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей. Если для чисел a
, b
, c
и d
справедливы неравенства a
Докажем, что (a+c)−(b+d)
– отрицательное число, этим будет доказано, что a+c По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a
Для доказательства можно умножить обе части неравенста a
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
– положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n . Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств
:
Список литературы.
- Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Урок и презентация на тему: "Основные свойства числовых неравенств и способы их решения."
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Введение в числовые неравенства
Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда начинали знакомиться с понятием корня квадратного . Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить, какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше.Запись выражения $a>b$ на математическом языка означает, что число $a$ больше числа $b$. В свою очередь, это значит, что $a-b$ - положительное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства. Изучением этих свойств мы и займемся на этом уроке. Свойство 1.
Доказательство. Более наглядно данное свойство можно показать, используя числовую прямую. Если $a>b$, то число $a$ на числовой прямой будет лежать правее $b$. Соответственно, если $b>c$, то число $b$ будет лежать правее числа $с$.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Доказательство. Свойство 5.
Доказательство. Определение. Тогда свойство 5 можно перефразировать. При умножение неравенств одного смысла, у которых левые и правые части положительные, получается неравенство того же смысла.
Свойство 6.
Свойство 7.
Доказательство. Мы знаем, что $a-b$ - положительное число, и произведение двух положительных чисел - тоже положительное число, т.е. $ab>0$. Свойство 8.
Доказательство. Свойство 9.
Неравенство Коши (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического). Доказательство. Решение. Б) Воспользуемся свойством 3. Умножим на отрицательное число, значит знак неравенства меняется. Г) Умножим все части неравенства $3.1 Д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат, получим неравенство того же смысла. Е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак. Ж) Воспользуемся свойством 7. Пример 2. Решение. § 1 Универсальный способ сравнения чисел
Познакомимся с основными свойствами числовых неравенств, а также рассмотрим универсальный способ сравнения чисел. Результат сравнения чисел можно записать с помощью равенства или неравенства. Неравенство может быть строгим и нестрогим. Например, а>3 - это строгое неравенство; а≥3 - это нестрогое неравенство. Способ сравнения чисел зависит от вида сравниваемых чисел. Например, если надо сравнить десятичные дроби, то мы сравниваем их поразрядно; если необходимо сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, то надо привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Но существует универсальный способ сравнения чисел. Он состоит в следующем: находят разность чисел a и b; если a - b > 0, то есть положительное число, то a > b; если a - b < 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство: 2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3) Воспользуемся универсальным способом сравнения. Найдем разность выражений 2b2 - 6b + 1и 2b(b - 3); 2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; приведем подобные слагаемые и получим 1. Так как 1 больше нуля, положительное число, то 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3). § 2 Cвойства числовых неравенств
Свойство 1. Если a> b, b > c, то a> c. Доказательство. Если a > b, то значит, разность a - b > 0, то есть положительное число. Если b >c, значит, разность b - c > 0, положительное число. Сложим положительные числа a - b и b - c, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a - b) +(b - c) = a- b +b - c= a - c. Так как сумма положительных чисел - число положительное, значит, a - c положительное число. Следовательно, a > c, что и требовалось доказать. Свойство 2. Если a < b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится». Доказательство. Найдем разность выражений a + с и b+ с, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a + с) - (b+ с) = a + с - b - с = a - b. По условию a < b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать. Свойство 3. Если a < b, c - положительное число, то aс < bс. Если a < b, c- отрицательное число, то aс > bс. Доказательство. Найдем разность выражений aс и bс, вынесем за скобки с, тогда имеем aс-bс = с(a-b). Но так как a Если отрицательное число a-b умножим на положительное число с, то произведение с(a-b) отрицательно, следовательно, разность aс-bс отрицательна, а значит, aс Если же отрицательное число a-b умножить на отрицательное число с, то произведение с(a-b) будет положительно, следовательно, и разность aс-bс будет положительна, значит, aс>bс. Что и требовалось доказать. Например, a Так как деление можно заменить умножением на число обратное, = n∙, то доказанное свойство можно применить и для деления. Таким образом, смысл этого свойства в следующем: «Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Обе части неравенства можно умножить или разделить на отрицательное число, при этом необходимо поменять знак неравенства на противоположный знак». Рассмотрим следствие к свойству 3. Следствие. Если a Доказательство. Разделим обе части неравенства a
сократим дроби и получим Утверждение доказано. Действительно, например, 2 < 3, но Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d. Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+(c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-(b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-(b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d. Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d- положительные числа. Доказательство. Так как a>b и с - положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b- положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла» Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Свойство 6. Если a < b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Применение свойств
Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств. Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) Оценим разность a - b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a - b заменим суммой a +(-b). Сначала оценим (- b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получим -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака Числовые неравенства и их свойства В презентации подробно изложены содержание тем ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА и СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ, приведены примеры на доказательство числовых неравенств. (Алгебра 8 класс, автор Макарычев Ю.Н.) Числовые неравенства
и их свойства
учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»
Оршанского района Республики Марий Эл
(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8
Числовые неравенства
Результат сравнения двух и более чисел записывают в виде неравенств, используя знаки
,
, =
Сравнение чисел мы осуществляем, пользуясь различными
правилами (способами). Удобно иметь обобщенный
способ сравнения, который охватывает все случаи. Определение:
Число
а
больше числа b, если разность ( a
– b) – положительное число.
Число
а
меньше числа b, если разность ( a
– b) – отрицательное число.
Число
а
равно числу b, если разность ( a
– b) – равна нулю
Обобщенный способ сравнения чисел
Пример 1.
Применение обобщенного способа сравнения чисел для доказательства неравенств
Пример 2. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Р = 3а
Умножим на 3 обе части каждого из неравенств
54,2 ∙ 3 а ∙ 3 162,6
Применение свойств числовых неравенств
Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств. Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств. 1)
| a ± b | ≤ |a| + |b|
;
| a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤
|a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2)
|a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
4)
Неравенство Коши - Буняковского
5)
Неравенство Минковского
, при p ≥ 1
Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин. 1)
Неравенство Бернулли:
2)
3)
Неравенство Чебышева
4)
Обобщенные неравенства Чебышева
Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4)
,
принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу. 1)
При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный. 2)
Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака. 3)
Свойство транзитивности 4)
К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число. 5)
Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить. 6)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число. 7)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный. 8)
Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга. 9)
Пусть f(x)
- монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) > f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится. 10)
Пусть f(x)
- монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) < f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный. Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x
,
и оно имеет вид: Метод интервалов заключается в следующем. 1)
Находим область определения функции f(x)
и отмечаем ее интервалами на числовой оси. 2)
Находим точки разрыва функции f(x)
.
Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси. 3)
Решаем уравнение 4)
В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“
.
Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“
.
5)
Если неравенство имеет вид: f(x) > 0
,
то выбираем интервалы с знаком „+“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы. Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств. Использованная литература:
Запись выражения $a
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Очевидно, что $10>5$, и $5>2$, и конечно $10>2$. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая.
Если $a>b$, то $a-b$ - положительное число. Если $b>c$, то $b-c$ - положительное число. Давайте сложим два полученных положительных числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда $a-c$ также положительное число. Из чего следует, что $a>c$. Свойство доказано.
Как видно из рисунка точка $a$ в нашем случае находится правее точки $c$, а это означает, что $a>c$.
Если $a>b$, то $a+c>b+c$.
Иначе говоря, если число $a$ больше числа $b$, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко. Нужно выполнить вычитание. Та переменная, которую прибавляли, исчезнет и получится верное исходное неравенство.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если $a>b$ и $c>0$, тогда $ac>bc$.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если $a>b$ и $c
Если $a
При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число - знак сохраняется, делим на отрицательно число - знак меняется).
Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$.
Из условия: $a-b$ - положительное число и $c-d$ - положительное число.
Тогда сумма $(a-b)+(c-d)$ - тоже положительное число.
Поменяем местами некоторые слагаемые $(a+с)-(b+d)$.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
Значит $(a+с)-(b+d)$ - положительное число и $a+c>b+d$.
Свойство доказано.
Если $a, b ,c, d$ - положительные числа и $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Так как $a>b$ и $c>0$, то, используя свойство 3, имеем $ac>bc$.
Так как $c>d$ и $b>0$, то, используя свойство 3, имеем $cb>bd$.
Итак, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Тогда, используя свойство 1, получаем $ac>bd$. Что и требовалось доказать.
Неравенства вида $a>b$ и $c>d$ ($a
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $a^n>b^n$, где $n$ – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если $n$ – нечетное число, то для любых по знаку чисел $a$ и $b$ свойство 6 выполняется.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{a}
Чтобы доказать данное свойство, необходимо при вычитании $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ получить отрицательное число.
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$.
Тогда $\frac{-(a-b)}{ab}$ - отрицательное число. Свойство доказано.
Если $a>0$, то выполняется неравенство: $a+\frac{1}{a}≥2$.
Рассмотрим разность.
$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.
Если $a$ и $b$ - неотрицательные числа, то выполняется неравенство: $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$.
Рассмотрим разность:
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.Примеры решения неравенств
Пример 1.
Известно, что $-1.5
б) $-2b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
а) Воспользуемся свойством 3. Умножим на положительное число, значит знак неравенства не меняется.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Сложив неравенства одинакового смысла, получим неравенство того же смысла.
$-1.5+3.1
Теперь выполним операцию сложения.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac{1}{5.3}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac{10}{53}<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Сравните числа:
а) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{8}$.
б) $π+\sqrt{8}$ и $4+\sqrt{10}$.
а) Возведем каждое из чисел в квадрат.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=5+2\sqrt{35}+7=12+\sqrt{140}$.
$(2+\sqrt{8})^2=4+4\sqrt{8}+8=12+\sqrt{128}$.
Вычислим разность квадратов этих квадратов.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2-(2+\sqrt{8})^2=12+\sqrt{140}-12-\sqrt{128}=\sqrt{140}-\sqrt{128}$.
Очевидно, получили положительное число, что означает:
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2>(2+\sqrt{8})^2$.
Так как оба числа положительных, то:
$\sqrt{5}+\sqrt{7}>2+\sqrt{8}$.Задачи для самостоятельного решения
1. Известно, что $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
2. Сравните числа:
а) $\sqrt{6}+\sqrt{10}$ и $3+\sqrt{7}$.
б) $π+\sqrt{5}$ и $2+\sqrt{3}$.
Просмотр содержимого документа
«Числовые неравенства и их свойства»
Формулы основных неравенств
Формулы универсальных неравенств
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n
.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k
для всех k = 1, 2, ..., n
и некоторых α, β, |α| + |β| > 0
.
Формулы выполнимых неравенств
.
В более общем виде:
,
где ,
числа одного знака и больше, чем -1
:
.
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n)
.
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
и k
натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Свойства неравенств
Если x 1 < x 2
,
то x 2 > x 1
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 2 ≥ x 1
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 2 ≤ x 1
.
Если x 1 > x 2
,
то x 2 < x 1
.
Если x 1 = x 2
,
то x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
,
то x 1 = x 2
.
Если x 1 < x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 < x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 ≤ x 3
.
Если x 1 < x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 1 + A ≤ x 2 + A
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 1 + A ≥ x 2 + A
.
Если x 1 > x 2
,
то x 1 + A > x 2 + A
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.
Если x 1 < x 2
и A > 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A > 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
Если x 1 < x 2
и A < 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A < 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Методы решения неравенств
Решение неравенств методом интервалов
f(x) > 0
где f(x)
- непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤
.
f(x) = 0
.
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
Решение неравенств, применяя их свойства
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.