Множество действительных корней уравнения. Алгебраическое уравнение, корни уравнения, число действительных корней уравнения, теорема штурма, метод лобачевского–греффе. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера

И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.

Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.

Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .

Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака:

и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ) :

Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению.

Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре .

Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:

И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)

А теперь немного о

графическом методе решения

Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции с графиком линейной функции (осью абсцисс) :

Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :

При этом, пожалуйста, не путайте два понятия : уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение , алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул . И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора , то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!

А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму :

, значит, уравнение имеет два различных действительных корня:

Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:

Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу , выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще) . Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты их точек пересечения, как на ладони!


Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.

Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.

И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!

И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .

Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два») :

НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: .

Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!

Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :


после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:

Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел ) .

И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс) :

или, если короче:

А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .

Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !

Разминаемся:

Задание 1

Решить графически следующие тригонометрические уравнения:

Ответы в конце урока

Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.

Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и . С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)

Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:

Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .

Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера

А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало статьи:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми , в том числе нулевыми коэффициентами :
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:

Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть) , при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка) , и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Решение : поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны или все неположительны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Или «зеркально»: коэффициенты при нечётных степенях неположительны, и при всёх чётных – положительны.

Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера) .

Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки» . Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные) .

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:


К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.

Примеры (количество корней алгебраического уравнения)

1) x 2 – 4x + 5 = 0 - алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение) 
2
= 2 i - два корня;

2) x 3 + 1 = 0 - алгебраическое уравнение третьей степени (двучленное уравнение) 

;

3) P 3 (x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 – алгебраическое уравнение третьей степени;

число x 1 = 1 является его корнем, так как P 3 (1) 0, поэтому по теореме Безу
; разделим многочленP 3 (x ) на двучлен (x – 1) «в столбик»:

x 2 + 2x +1

исходное уравнение P 3 (x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0  (x – 1)(x 2 + 2x + 1) = 0  (x – 1)(x + 1) 2 = 0  x 1 = 1 - простой корень, x 2 = –1 - двукратный корень.

Свойство 2 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти корни всегда парные комплексно сопряженные, то есть если число является корнем уравнения , то число также является корнем этого уравнения.

 Для доказательства нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если
, то
и справедливы равенства:

,
,
,
,

если
– действительное число, то
.

Так как
является корнем уравнения
, то

Где
-- действительные числа при
.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число
также удовлетворяет уравнению
, следовательно, является его корнем

Примеры (комплексные корни алгебр. уравнения с действительными коэф.)

В качестве следствия из доказанного свойства о парности комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами получается ещё одно свойство многочленов.

 Будем исходить из разложения (6) многочлена
на линейные множители:

Пусть число x 0 = a + bi - комплексный корень многочлена P n (x ), то есть это одно из чисел
. Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то число
тоже является его корнем, то есть среди чисел
есть также число
.

Вычислим произведение двучленов
:

Получился квадратный трехчлен с действительными коэф.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. 

Примеры (разложение многочлена на множители с действительными коэф.)

1) P 3 (x ) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2) P 4 (x ) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Свойство 3 (о целых и рациональных корнях алгебраического уравнения с действительными целыми коэффициентами)

Пусть дано алгебраическое уравнение , все коэффициенты которого являются действительными целыми числами,

1. Пусть целое число является корнем уравнения

Так как целое чиисло
представлено произведением целого числаи выажения, имеющего целое значение.

2. Пусть алгебраическое уравнение
имеет рациональный корень

, причем, числаp иq являются взаимно простыми

.

Это тождество можно записать в двух вариантах:

Из первого варианта записи следует, что
, а из второго – что
, так как числаp иq являются взаимно простыми.

Примеры (подбор целых или рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами)

В проекте рассмотрен способ приближенного нахождения корней алгебраического уравнения – метод Лобачевского–Греффе. В работе определена идея метода, его вычислительная схема, найдены условия применимости метода. Приведена реализация метода Лобачевского–Греффе

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6

1.1 Постановка задачи 6

1.2 Алгебраических уравнений 7

1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении 7

1.2.2Корни алгебраического уравнения 7

1.2.3Число действительных корней полинома 9

1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений 11

1.3.1 Идея метода 11

1.3.2 Квадрирование корней 13

2.1 Задание 1 16

2.2 Задание 2 18

2.4 Анализ полученных результатов 20

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 23

ВСТУПЛЕНИЕ

Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.

Численные методы направлены на решение задач, которые возникают на практике. Решение задачи численными методами сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами, что требует применение вычислительной техники, таких как табличные процессоры современных офисных программ для персональных компьютеров.

Целью дисциплины “Численные методы” является поиск наиболее эффективных методом решения конкретной задачи.

Решение уравнений – алгебраических– представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова.

Настоящий курсовой проект посвящен одному из методов решения алгебраических уравнений – методу Лобачевского–Греффе.

Цель работы данной рассмотреть идею метода Лобачевского–Греффе для решения алгебраических, привести вычислительную схему нахождения действительных корней, используя MS Office Excel. В проекте рассмотрены основные теоретические вопросы, связанные нахождением корней алгебраических уравнений, метода Лобачевского–Греффе В практической части данной работы приведены решения алгебраических уравнений методом Лобачевского–Греффе.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

Пусть даны множество X элементов x и множество Y с элементами y. Допустим, кроме того, что на множестве X определен оператор , который ставит в соответствие каждому элементу x из Х некоторый элемент y из Y. Возьмем какой-нибудь элемент
и поставим себе целью найти такие элементы
, для которых является изображением.

Такая задача равносильна решению уравнения

(1.1)

Для него могут быть поставлены следующие проблемы.

1. 
   Условия существования решения уравнения.
2. 
   Условие единственности решения уравнения.
3. 
   Алгоритм решения, следуя которому, можно было бы найти, в зависимости от поставленной цели и условий, точно или приближенно все решения уравнения (1.1), или какое-либо одно решение, заранее указанное, или любое из числа существующих.

Далее будем рассматривать уравнения, в которых x и y будут численными величинами, X, Y – множествами их значений, а оператором
будет некоторая функция. В этом случае уравнение (1.1) можно будет записать в виде

(1.2)

В теории численных методов стремятся построить вычислительный процесс, при помощи которого можно найти решение уравнения (1.2) с наперед заданной точностью. Особенно большое значение имеют сходящиеся процессы, позволяющие решить уравнение с любой, сколь угодно малой погрешностью.

Наша задача – нахождение, вообще говоря, приближенное, элемента . Для этой цели разрабатывается алгоритм, который выдает последовательность приближенных решений

, причем так, что имеет место соотношение

1.2 Алгебраических уравнений

1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении

Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени

где коэффициенты
– действительные числа, причем
.

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-й степени (1.3) имеет ровно n корней, действительных и комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

При этом говорят, что корень уравнения (1.3) имеет кратность s, если
,
.

Комплексные корни уравнения (1.3) обладают свойством парной сопряженности.

Теорема 1.2. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.3) – действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если
(
– действительные числа) есть корень уравнения (1.3), кратности s, то число
также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.

1.2.2Корни алгебраического уравнения

Если
– корни уравнения (1.3), то для левой части справедливо разложение
. (1.6)
Произведя перемножение биномов в формуле (1.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства (1.6), получим соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (1.3):

(1.7)
Если учитывать кратности корней, то разложение (1.6) принимает вид
,
где
–различные корни уравнения (1) и
– их кратности, причем
.

Производная
выражается следующим образом:

где Q(x) – полином такой, что

при k=1,2,…,m

Поэтому полином

является наибольшим общим делителем полинома
и его производной
, и может быть найден с помощью алгоритма Евклида . Составим частное

,
и получим полином

с действительными коэффициентами
, А 1 , A 2 ,…, A m , корни которого
различны.

Таким образом, решение алгебраического уравнения с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкого порядка с различными корнями.

1.2.3Число действительных корней полинома

Общее представление о числе действительных корней уравнения (1.3) на интервале (a,b) дает график функции
, где корнями
являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Отметим некоторые свойства полинома P(x):

1. 
   Если P(a)P(b)
2. 
   Если P(a)P(b)>0, то на интервале (a, b) существует четное число или не существует вообще корней полинома P(x).

Вопрос о числе действительных корней алгебраического уравнения на данном промежутке решается методом Штурма.

Определение. Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля:

,,…,
(1.9)
Говорят, что для пары рядом стоящих элементов ,
системы (1.9) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т.е.

,
и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т.е.

.
Определение. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов ,
системы (1.9) называется числом перемен знаков в системе (1.9).

Определение. Для данного полинома P(x) системой Штурма называется система полиномов

,
,
,
,…,
,

где
, – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на , – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на и т.д.

Замечание 1. Если полином не имеет кратных корней, то последний элемент системы Штурма есть отличное от нуля действительное число.

Замечание 2. Элементы системы Штурма можно вычислять с точностью до положительного числового множителя.

Обозначим через N(c) число перемен знаков в системе Штурма при x=c, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

Теорема 1.5. (теорема Штурма). Если полином P(x) не имеет кратных коней и
,
, то число его действительных корней
на интервале
в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома
при переходе от
до
, т.е.

.
Следствие 1. Если
, то число
положительных и число
отрицательных корней полинома соответственно равны

,

.
Следствие 2. Для того чтобы все корни полинома P(x) степени n, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Таким образом в уравнении (1.3) все корни будут действительными тогда и только тогда, когда:


С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраического уравнения, разбивая интервал (a,b), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов
таких, что

.

1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений

1.3.1 Идея метода

Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).

Предположим, что

, (1.15)
т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:

, (1.16)

где
и – малая величина. Такие корни называются отделенными.

(1.17)
где , ,…, – малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами
, будем иметь приближенные соотношения

(1.18)
Откуда находим корни

(1.19)
Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины в соотношениях (1.16)

Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение

, (1.20)
корнями которого , ,…, являются m-e степени корней , ,…, уравнения (1.3).

Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни , ,…, уравнения (1.20) будут отделенными, т.к.

при
.
Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени
.

1.3.2 Квадрирование корней

Многочлен (1.3) запишем в следующем виде

И умножим его на многочлен вида

Тогда получим

Сделав замену
и умножив на
, будет иметь
. (1.21)
Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена (1.3) следующим соотношением

.
Следовательно, интересующее нас уравнение есть
,
коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)


, (1.22)
где предполагается, что
при
.

Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен

, (1.23)
в котором
,
, и т.д.

При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система

(1.24)
Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.

Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен

,
для которого также выполнена система (1.24) при
.

Так как в силу формулы (1.22)

, (1.25)
то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов
должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов
. Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.

Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.

Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле

(1.26)
Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения и
в уравнение (1.3).

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Задание 1

. (2.1)
Сначала установим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.1). Для этого воспользуемся теоремой Штурма.

Система Штурма для уравнения (2.1) будет иметь следующий вид:

Откуда получаем
Таблица 2.1.

Многочлен	Точки на действительной оси
	+	+
	–	+
	–	–
	–	+
	–	–
Число перемен знаков	1	3

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.1) равно
,
т.е. уравнение (2.1) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов производились по следующей формуле

, (2.2)
где

, (2.3)
а
считается равным 0 при
.

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.2

Таблица 2.2.

i	0	1	2	3	4
	0	-3.8000000E+01	3.5400000E+02	3.8760000E+03	0
	1	4.3000000E+01	7.1500000E+02	4.8370000E+03	1.0404000E+04
	0	-1.4300000E+03	-3.9517400E+05	-1.4877720E+07	0
	1	4.1900000E+02	1.1605100E+05	8.5188490E+06	1.0824322E+08
	0	-2.3210200E+05	-6.9223090E+09	-2.5123467E+13	0
	1	-5.6541000E+04	6.5455256E+09	4.7447321E+13	1.1716594E+16
	0	-1.3091051E+10	5.3888712E+18	-1.5338253E+26	0
	1	-9.8941665E+09	4.8232776E+19	2.0978658E+27	1.3727857E+32
	0	-9.6465552E+19	4.1513541E+37	-1.3242653E+52	0
	1	1.4289776E+18	2.3679142E+39	4.3877982E+54	1.8845406E+64
	0	-4.7358285E+39	-1.2540130E+73	-8.9248610+103	0
	1	-4.7337865E+39	5.6070053E+78	1.9252683+109	3.5514932+128
	0	-1.1214011E+79	1.8227619+149	-3.9826483+207	0
	1	1.1194724E+79	3.1438509+157	3.7066582+218	1.2613104+257

Как видно из таблицы 2.2 на 7-м шаге корни , (считая в порядке убывания модулей) можно считать отделенными. Модули корней находим по формуле (1.27) и грубой прикидкой определяем их знак:

Так как преобразованный коэффициент при меняет знак, то данное уравнение имеет комплексные корни, которые определяются из уравнения (1.31) с использованием формул (1.29) и (1.30):

i.

2.2 Задание 2

Методом Лобачевского–Греффе решить уравнение:
. (2.4)
Для начала с помощью теоремы Штурма определим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.2).

Для данного уравнения система Штурма имеет вид

Откуда получаем

Таблица 2.3.

Многочлен	Точки на действительной оси
	+	+
	–	+
	+	+
	–	+
	–	–
Число перемен знаков	3	1

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.2) равно

,
т.е. уравнение (2.2) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для приближенного нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов произведем по формулам (2.2) и (2.3) .

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4.
-1.8886934E+24 4.6649263E+47 i.
Относительная погрешность корней, вычисленная по формуле (1.28) равна
,

.

2.4 Анализ полученных результатов

Из полученных при решении уравнений (2.1) и (2.4) уравнений можно судить о следующих особенностях метода Лобачевского–Греффе.

С помощью рассматриваемого метода можно найти все корни многочлена с достаточно высокой точностью, при не большом количестве итераций.

Величина погрешности полученных корней в высокой степени зависит от отделенности корней в исходном многочлене, так, например, в уравнении (2.1) минимальная разность между различными по модулю корнями равна
и
в уравнении (2.4), что в результате дает погрешности разных порядков (4.52958089E–11 и 4.22229789E-06 соответственно) при одинаковом количестве итераций.

Таким образом, метод Лобачевского–Греффе дает хорошую точность при отделенных корнях, и значительно теряет при кратных или близких по модулю корнях.

ВЫВОД

Метод Лобачевского–Греффе, который был рассмотрен в данном проекте, имеет простую схему вычислений и позволяет с помощью Excel найти с большой точностью модулю всех корней алгебраического уравнения,

Метод Лобачевского–Греффе один из самых эффективных методов вычислений, который при небольшом количестве итераций дает результат с довольно хорошей точностью, поэтому сфера использования этого метода на практике очень широкая. Методом можно пользоваться при построении математических моделей химических и физических процессов, в методах оптимизации.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. В.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики.– М.: Наука, 1966.–664с.

2. В.Л. Загускин. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений.– М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.–216с.

3. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. Вычислительные методы высшей математики.–Минск: Вышэйшая школа, 1972, т. 1.–584с.

4. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры.–М.: Наука,1971,–432с.

5. Ю.И. Рыжиков. Программирование на Фортране PowerStation для инженеров. Практическое руководство.–СПб.: КОРОНА принт, 1999.–160с.

i	0	1	2	3	4
	0	-9.2000000E+00	-3.3300000E+01	1.3800000E+02	0

Формулы корней квадратного уравнения. Рассмотрены случаи действительных, кратных и комплексных корней. Разложение на множители квадратного трехчлена. Геометрическая интерпретация. Примеры определения корней и разложения на множители.

Содержание

См. также: Решение квадратных уравнений онлайн

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках ().
При , график касается оси абсцисс в одной точке ().
При , график не пересекает ось абсцисс ().

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

См. также: