Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций. Числовая окружность Как найти отрицательные п на числовой окружности

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный – оси y .

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k , то получим новое выражение:
t = t + 2πk .

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

x 2 + y 2 = 1

Глава 2
3) числу

поставим в соответствие точку.

Единичную окружность с установленным соответствием назовем

числовой окружностью .

Это вторая геометрическая модель для множества действительных

чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть

аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке)

почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник

основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая

точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если

окружности соответствует числу, то она соответствует и всем

числам вида

Где – длина единичной окружности, а – целое

Рис. 1

число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную

сторону.

Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для

понимания сути дела реальную задачу:

Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м

от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то

пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (

Два круга – () ; если успел пробежать

кругов, то путь составит (

) . Вот теперь можно сопоставить

полученный результат с выражением

Пример 1. Каким числам соответствует точка

числовой окружности

Решение. Так как длина всей окружности

То длина ее четверти

А потому – всем числам вида

Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки

называют соответственно первой, второй, третьей,

четвертой четвертями числовой окружности.

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой

окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком

поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать

надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не

нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих

пяти различных типов задач с числовой окружностью.

Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа

Пример 2.

числам

Решение. Разделим дугу

пополам точкой на три равные части –

точками

(рис.2). Тогда

Значит, числу

Соответствует точка

Числу
Пример

3.
на

числовой

окружности

точки,

соответствующие числам:

Решение. Построения будем проводить

а) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз

от точки

в отрицательном направлении,

получим точку

б) Отложив дугу

(ее длина

) семь раз от

в положительном направлении, получим точку, отделяющую

третью часть дуги

Она и будет соответствовать числу

в) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз от точки

в положительном

направлении, получим точку

Отделяющую третью часть дуги. Она и

будет соответствовать числу

(опыт показывает, что лучше откладывать не

пять раз по

А 10 раз по

После этого примера уместно привести два главных макета числовой

окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на

втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете

математики.

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по

каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном

направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить

другие «имена»: соответственно

и т. д.; на втором макете:

Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа

Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие

числам 1; 2; 3; -5.

Решение.

Здесь придется опираться на то, что

Поэтому точка 1

располагается на дуге

ближе к точке

Точки 2 и 3 – на дуге, первая –

Вторая – ближе к (рис.5).

Несколько подробнее остановимся

на отыскании точки, соответствующей числу – 5.

Двигаться надо из точки

в отрицательном направлении, т.е. по часовой

Рис. 5

стрелке. Если пройти в этом направлении до точки

Получим

Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена

чуть правее точки

(см. рис.5).

Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных

неравенств) для дуг числовой окружности.

Фактически мы действуем по тому

же плану, который использовался в 5-8

классах для изучения числовой прямой:

сначала по числу находят точку, затем по

точке – число, потом используют двойные

неравенства для записи промежутков на

числовой прямой.

Рассмотрим для примера открытую

Где – середина первой

четверти числовой окружности, а

– середина ее

второй четверти (рис.6).

Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой

аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом

этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует

научить школьников); для заданной дуги

На втором

этапе составляют общую запись:

Если же речь идет о дуге

То при записи ядра нужно учесть, что

() лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться

в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги

имеет вид

Рис. 6

Термины «ядро аналитической

записи дуги», «аналитическая запись

дуги» не являются общепринятыми,

соображений.

Четвертый

задач.

Отыскание

декартовых

координат

точек числовой окружности, центр

которой совмещен с началом системы

координат.

Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор

практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках.

Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной

плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут

здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной

модели от школьников требуется достаточно высокий уровень

математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в

двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о

положении точки снимается по окружности (числу

соответствует на

окружности точка

(); – «криволинейная координата» точки), и в

декартовой прямоугольной системе координат (у точки

Как у всякой точки

координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь

школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению,

обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых

первых уроков используют записи

Не учитывая, что буква в

сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой

прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой

окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует

использовать символы

Рис. 7

Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи

записи

(), т.е. от криволинейных координат к декартовым.

Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой

координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки

будут иметь

следующие координаты:

() () () (). Очень важно

научить школьников определять координаты всех тех точек, которые

отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки

Все сводится к

рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой

Его катеты равны

Значит, координаты

). Аналогично обстоит дело с точками

Но разница лишь в том, что надо учитывать

знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:

Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и

ординаты у середин всех четвертей равны

А знаки они должны уметь

определять для каждой точки непосредственно по чертежу.

Для точки

Все сводится к рассмотрению прямоугольного

треугольника с гипотенузой 1 и углом

(рис.9). Тогда катет,

противолежащий углу

Будет равен

прилежащий

√

Значит,

координаты точки

Аналогично обстоит дело с точкой

только катеты «меняются местами», а потому

Рис. 8

Рис. 9

получаем

). Именно значения

(с точностью до знаков) и будут

«обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек

качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче,

; где длиннее, там

Пример 5. Найти координаты точки

(см. рис.4).

Решение. Точка

Расположена ближе к вертикальной оси, чем к

горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты.

Значит, модуль абсциссы равен

Модуль ординаты равен

Знаки в обоих

случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка

Имеет координаты

В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех

точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось

Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к

вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет

отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции

(ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем

Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки

найти знаки декартовых координат

Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу

соответствует точка

Четвертой четверти, значит, .

Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по

заданным координатам.

Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая

Пересекает числовую окружность в точках
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка

соответствует числу

Значит, она

соответствует всем числам вида
соответствует числу

А значит, и

всем числам вида

Ответ:

Пример 7. Найти на числовой

окружности точки с абсциссой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая
√

пересекает числовую окружность в точках

– серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого

макета устанавливаем, что точка

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

Ответ:

Надо обязательно показать второй вариант

записи ответа к примеру 7. Ведь точка

соответствует и числу

Т.е. всем числам вида

получаем:

Рис. 10

Рис.11

Подчеркнем неоспоримую важность

пятого типа задач. Фактически мы приучаем

школьников

решению

простейших

тригонометрических уравнений: в примере 6

речь идет об уравнении

А в примере

– об уравнении

понимания сути дела важно научить

школьников решать уравнения видов

по числовой окружности,

не торопясь переходить к формулам

Опыт показывает, что если первая стадия (работа на

числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия

(работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что,

естественно, надо преодолевать.

Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности

точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами

качестве особых сюжетов уместно выделить следующие:

Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная

работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный

совет : в систему упражнений следует включить задания типа предложенного

ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками

дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками

на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг

(считается, что обход окружности осуществляется в положительном

направлении)?

Рис. 12

Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа

означает,
к

решению

простейших

тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно.

пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и

косинуса как координат точки числовой окружности. При этом

целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с

использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие,

например, задания: вычислить

Решить уравнение

неравенство

и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках

тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

являются не целью обучения, а используются в качестве средства для

усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек

числовой окружности.

Пусть числу

соответствует точка

числовой окружности. Тогда ее абсцисса

называется косинусом числа

и обозначается

А ее ордината называется синусом числа

и обозначается. (рис.13).

Из этого определения сразу можно

установить знаки синуса и косинуса по

четвертям: для синуса

Для косинуса

Посвящать этому целый урок (как это

принято) вряд ли целесообразно. Не следует

заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое

запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся,

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Класс 10

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) / [ А.Г. Мордкович и др. ]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Числовая окружность (2 часа)

Урок №1

Цель : ввести понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи : формировать умение использовать числовую окружность при решении задач.

Планируемые результаты:

Ход урока

Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

II. Устная работа.

1. Поставьте каждому промежутку на числовой прямой в соответствие неравенство и аналитическую запись интервала. Данные занесите в табличку.

А (–  ; –5] Д (–5; 5)

Б [–5; 5] Е (–  ; –5)

В [–5; +  ) Ж [–5; 5)

Г (–5; 5] З (–5; +  )

1 –5 < х < 5 5 –5  х  5

2 х  –5 6 х  –5

3 –5 < х  5 7 5  х < 5

4 х < –5 8 х > –5

а

1. В отличие от изученной числовой прямой числовая окружность является более сложной моделью. Понятие дуги, которое лежит в её основе, не является надежно отработанным в геометрии.

2 . Работа с учебником . Рассматриваем практический пример со с. 23–24 учебника (беговая дорожка стадиона). Можно попросить учащихся привести похожие примеры (движение спутника по орбите, вращение шестерни и т. п.).

3. Обосновываем удобство использования в качестве числовой именно единичной окружности.

4. Работа с учебником. Рассматриваем примеры со с. 25–31 учебника. Авторы подчеркивают, что для успешного овладения моделью числовой окружности и в учебнике, и в задачнике предусмотрена система специальных «дидактических игр». Их шесть, на этом уроке используем первые четыре.

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемози- на, 2010. - 202 с. : ил.)

1-я «игра» – вычисление длины дуги единичной окружности. Учащиеся должны привыкнуть к тому, что длина всей окружности равна 2  , половины окружности –  , четверти окружности – и т. д.

2-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа  например, точек и т. д. («хорошие» числа и точки).

3-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным не в долях числа  например, точек М (1), М (–5) и т. д. («плохие» числа и точки).

4-я «игра» – запись чисел, соответствующих данной «хорошей» точке числовой окружности, например, «хорошей» является середина первой четверти, соответствующие ей числа имеют вид

Динамическая пауза

Упражнения, решаемые на этом занятии, соответствуют четырем обозначенным дидактическим играм. Учащиеся используют макет числовой окружности с диаметрами АС (горизонтальным) и BD (вертикальным).

1. № 4.1, № 4.3.

Решение:

№ 4.3.

2. № 4.5 (а; б) – 4.11 (а; б).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (а; б), № 4.14.

Решение:

№ 4.13.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу:

2. Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Дайте определение числовой окружности.

– Чему равна длина единичной окружности? Длины половины единичной окружности? Её четверти?

– Каким способом можно отыскать на числовой окружности точку, соответствующую числу Числу 5?

Домашнее задание:, стр. 23. № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г), № 4.15.

Урок № 2

Цели : закрепить понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи : продолжить формирование умения находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным «хорошим» и «плохим» числам; записывать число, соответствующее точке на числовой окружности; формировать умение составлять аналитическую запись дуги числовой окружности в виде двойного неравенства.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать, понимать: - числовая окружность.

Уметь: - находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемози- на, 2010. - 202 с. : ил

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г),

№ 4.15. Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

Устная работа.

(на слайде)

1. Сопоставьте точки на числовой окружности и заданные числа:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Найдите на числовой окружности точки.

–2; 4; –8; 13  .

III. Объяснение нового материала.

Как уже отмечали, учащиеся осваивают систему шести дидактических «игр», обеспечивающих умение решать задачи четырех основных типов, связанных с числовой окружностью (от числа к точке; от точки к числу; от дуги к двойному неравенству; от двойного неравенства к дуге).

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемозина, 2010. - 202 с. : ил.)

На этом занятии используем последние две игры:

5-я «игра» – составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности. Например, если дана дуга, соединяющая середину первой четверти (начало дуги) и нижнюю точку из тех двух, что делят вторую четверть на три равных части (конец дуги), то соответствующая аналитическая запись имеет вид:

Если у той же дуги поменять местами начало и конец, то соответствующая аналитическая запись дуги будет иметь вид:

Авторы учебника отмечают, что термины «ядро аналитической записи дуги», «аналитическая запись дуги» не являются общепризнанными, они введены из чисто методических соображений, и использовать их или нет – дело учителя.

6-я «игра» – от данной аналитической записи дуги (двойного неравенства) перейти к её геометрическому изображению.

Объяснение следует проводить с помощью приема аналогии. Можно использовать подвижную модель числовой прямой, которую можно «свернуть» в числовую окружность.

Работа с учебником .

Рассматриваем пример 8 со с. 33 учебника.

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

При выполнении заданий учащиеся должны следить, чтобы при аналитической записи дуги левая часть двойного неравенства была меньше правой части. Для этого необходимо при записи двигаться в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

1-я группа . Упражнения на отыскание на числовой окружности «плохих» точек.

№ 4.16, № 4.17 (а; б).

2-я группа . Упражнения на аналитическую запись дуги и построение дуги по её аналитической записи.

№ 4.18 (а; б), № 4.19 (а; б), № 4.20 (а; б).

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

3. По аналитической модели запишите обозначение числовой дуги и постройте её геометрическую модель.

Вариант 2

1. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите аналитическую модель в виде двойного неравенства.

2. По заданному обозначению дуги числовой окружности укажите её геометрическую и аналитическую модели.

3. По аналитической модели запишите обозначение дуги числовой окружности и постройте её геометрическую модель.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какими способами можно записать аналитически дугу числовой окружности?

– Что называется ядром аналитической записи дуги?

– Каким условиям должны отвечать числа, стоящие слева и справа в записи двойного неравенства?

Домашнее задание:

1. , стр. 23. № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).

2. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите её аналитическую модель в виде двойного неравенства.

3. По заданному обозначению дуги числовой окружности укажите её геометрическую и аналитическую модели.