Как отнимать дроби с целыми. Составление системы уравнений

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

• Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

• Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

§ 87. Сложение дробей.

Сложение дробей имеет много сходства со сложением целых чисел. Сложение дробей есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел (слагаемых) соединяются в одно число (сумму), содержащее в себе все единицы и доли единиц слагаемых.

Мы последовательно рассмотрим три случая:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Сложение дробей с разными знаменателями.
3. Сложение смешанных чисел.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример: 1 / 5 + 2 / 5 .

Возьмём отрезок АВ (рис. 17), примем его за единицу и разделим на 5 равных частей, тогда часть АС этого отрезка будет равна 1 / 5 отрезка АВ, а часть того же отрезка CD будет равна 2 / 5 АВ.

Из чертежа видно, что если взять отрезок AD, то он будет равен 3 / 5 АВ; но отрезок AD как раз и есть сумма отрезков АС и CD. Значит, можно записать:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Рассматривая данные слагаемые и полученную сумму, мы видим, что числитель суммы получился от сложения числителей слагаемых, а знаменатель остался без изменения.

Отсюда получаем следующее правило: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.

Рассмотрим пример:

2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сложим дроби: 3 / 4 + 3 / 8 Предварительно их нужно привести к наименьшему общему знаменателю:

Промежуточное звено 6 / 8 + 3 / 8 можно было бы и не писать; мы написали его здесь для большей ясности.

Таким образом, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.

Рассмотрим пример (дополнительные множители будем писать над соответствующими дробями):

3. Сложение смешанных чисел.

Сложим числа: 2 3 / 8 + 3 5 / 6 .

Приведём сначала дробные части наших чисел к общему знаменателю и снова их перепишем:

Теперь сложим последовательно целые и дробные части:

§ 88. Вычитание дробей.

Вычитание дробей определяется так же, как и вычитание целых чисел. Это есть действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое. Рассмотрим последовательно три случая:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
3. Вычитание смешанных чисел.

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:

13 / 15 - 4 / 15

Возьмём отрезок АВ (рис. 18), примем его за единицу и разделим на 15 равных частей; тогда часть АС этого отрезка будет представлять собой 1 / 15 от АВ, а часть AD того же отрезка будет соответствовать 13 / 15 AB. Отложим ещё отрезок ED, равный 4 / 15 АВ.

Нам требуется вычесть из 13 / 15 дробь 4 / 15 . На чертеже это значит, что от отрезка AD нужно отнять отрезок ED. В результате останется отрезок AЕ, который составляет 9 / 15 отрезка АВ. Значит, мы можем написать:

Сделанный нами пример показывает, что числитель разности получился от вычитания числителей, а знаменатель остался тот же самый.

Следовательно, чтобы сделать вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужновычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель.

2. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример. 3 / 4 - 5 / 8

Предварительно приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю:

Промежуточное звено 6 / 8 - 5 / 8 написано здесь для большей ясности, но его можно в дальнейшем пропускать.

Таким образом, чтобы вычесть дробь из дроби, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

3. Вычитание смешанных чисел.

Пример. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Приведём дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю:

Мы вычли целое из целого и дробь из дроби. Но бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого. А затем вычитание будет выполняться так же, как и в предыдущем примере:

§ 89. Умножение дробей.

При изучении умножения дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:

1. Умножение дроби на целое число.
2. Нахождение дроби данного числа.
3. Умножение целого числа на дробь.
4. Умножение дроби на дробь.
5. Умножение смешанных чисел.
6. Понятие о проценте.
7. Нахождение процентов данного числа. Рассмотрим их последовательно.

1. Умножение дроби на целое число.

Умножение дроби на целое число имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на целое. Умножить дробь (множимое) на целое число (множитель) - значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых равно множителю.

Значит, если нужно 1 / 9 умножить на 7, то это можно выполнить так:

Мы легко получили результат, так как действие свелось к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Следовательно,

Рассмотрение этого действия показывает, что умножение дроби на целое число равносильно увеличению этой дроби во столько раз, сколько единиц содержится в целом числе. А так как увеличение дроби достигается или путём увеличения её числителя

или путём уменьшения её знаменателя ,то мы можем либо умножить числитель на целое, либо разделить на него знаменатель, если такое деление возможно.

Отсюда получаем правило:

Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить на это целое число числитель и оставить тот же знаменатель или, если возможно, разделить на это число знаменатель, оставив без изменения числитель.

При умножении возможны сокращения, например:

2. Нахождение дроби данного числа. Существует множество задач, при решении которых приходится находить, или вычислять, часть данного числа. Отличие этих задач от прочих состоит в том, что в них даётся число каких-нибудь предметов или единиц измерения и требуется найти часть этого числа, которая здесь же указывается определённой дробью. Для облегчения понимания мы сначала приведём примеры таких задач, а потом познакомим со способом их решения.

Задача 1. У меня было 60 руб.; 1 / 3 этих денег я израсходовал на покупку книг. Сколько стоили книги?

Задача 2. Поезд должен пройти расстояние между городами А и В, равное 300 км. Он уже прошёл 2 / 3 этого расстояния. Сколько это составляет километров?

Задача 3. В селе 400 домов, из них 3 / 4 кирпичных, остальные деревянные. Сколько всего кирпичных домов?

Вот некоторые из тех многочисленных задач на нахождение части от данного числа, с которыми нам приходится встречаться. Их обычно называют задачами на нахождение дроби данного числа.

Решение задачи 1. Из 60 руб. я израсходовал на книги 1 / 3 ; Значит, для нахождения стоимости книг нужно число 60 разделить на 3:

Решение задачи 2. Смысл задачи заключается в том, что нужно найти 2 / 3 от 300 км. Вычислим сначала 1 / 3 от 300; это достигается при помощи деления 300 км на 3:

300: 3 = 100 (это 1 / 3 от 300).

Для нахождения двух третей от 300 нужно полученное частное увеличить вдвое, т. е. умножить на 2:

100 х 2 = 200 (это 2 / 3 от 300).

Решение задачи 3. Здесь нужно определить число кирпичных домов, которые составляют 3 / 4 от 400. Найдём сначала 1 / 4 от 400,

400: 4 = 100 (это 1 / 4 от 400).

Для вычисления трёх четвертей от 400 полученное частное нужно увеличить втрое, т. е. умножить на 3:

100 х 3 = 300 (это 3 / 4 от 400).

На основании решения этих задач мы можем вывести следующее правило:

Чтобы найти величину дроби от данного числа, нужно разделить это число на знаменатель дроби и полученное частное умножить на её числитель.

3. Умножение целого числа на дробь.

Ранее (§ 26) было установлено, что умножение целых чисел нужно понимать, как сложение одинаковых слагаемых (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). В настоящем параграфе (пункт 1) было установлено, что умножить дробь на целое число - это значит найти сумму одинаковых слагаемых, равных этой дроби.

В обоих случаях умножение состояло в нахождении суммы одинаковых слагаемых.

Теперь мы переходим к умножению целого числа на дробь. Здесь мы встретимся с таким, например, умножением: 9 2 / 3 . Совершенно очевидно, что прежнее определение умножения не подходит к данному случаю. Это видно из того, что мы не можем такое умножение заменить сложением равных между собой чисел.

В силу этого нам придётся дать новое определение умножения, т. е., иными словами, ответить на вопрос, что следует разуметь под умножением на дробь, как нужно понимать это действие.

Смысл умножения целого числа на дробь выясняется из следующего определения: умножить целое число (множимое) на дробь (множитель) - значит найти эту дробь множимого.

Именно, умножить 9 на 2 / 3 - значит найти 2 / 3 от девяти единиц. В предыдущем пункте решались такие задачи; поэтому легко сообразить, что у нас в результате получится 6.

Но теперь возникает интересный и важный вопрос: почему такие на первый взгляд различные действия, как нахождение суммы равных чисел и нахождение дроби числа, в арифметике называются одним и тем же словом «умножение»?

Происходит это потому, что прежнее действие (повторение числа слагаемым несколько раз) и новое действие (нахождение дроби числа) дают ответ на однородные вопросы. Значит, мы исходим здесь из тех соображений, что однородные вопросы или задачи решаются одним и тем же действием.

Чтобы это понять, рассмотрим следующую задачу: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 4 м такого сукна?»

Эта задача решается умножением числа рублей (50) на число метров (4), т. е. 50 x 4 = 200 (руб.).

Возьмём такую же задачу, но в ней количество сукна будет выражено дробным числом: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 3 / 4 м такого сукна?»

Эту задачу тоже нужно решать умножением числа рублей (50) на число метров (3 / 4) .

Можно и ещё несколько раз, не меняя смысла задачи, изменить в ней числа, например взять 9 / 10 м или 2 3 / 10 м и т. д.

Так как эти задачи имеют одно и то же содержание и отличаются только числами, то мы называем действия, применяемые при их решении, одним и тем же словом - умножение.

Как выполняется умножение целого числа на дробь?

Возьмём числа, встретившиеся в последней задаче:

Согласно определению мы должны найти 3 / 4 от 50. Найдём сначала 1 / 4 от 50, а затем 3 / 4 .

1 / 4 числа 50 составляет 50 / 4 ;

3 / 4 числа 50 составляют .

Следовательно.

Рассмотрим ещё один пример: 12 5 / 8 = ?

1 / 8 числа 12 составляет 12 / 8 ,

5 / 8 числа 12 составляют .

Следовательно,

Отсюда получаем правило:

Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.

Запишем это правило с помощью букв:

Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом умножения числа на частное, которое было изложено в § 38

Необходимо помнить, что прежде чем выполнять умножение, следует делать (если возможно) сокращения , например:

4. Умножение дроби на дробь. Умножение дроби на дробь имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на дробь, т. е. при умножении дроби на дробь нужно от первой дроби (множимого) найти дробь, стоящую во множителе.

Именно, умножить 3 / 4 на 1 / 2 (половину) - это значит найти половину от 3 / 4 .

Как выполняется умножение дроби на дробь?

Возьмём пример: 3 / 4 умножить на 5 / 7 . Это значит, что нужно найти 5 / 7 от 3 / 4 . Найдем сначала 1 / 7 от 3 / 4 , а потом 5 / 7

1 / 7 числа 3 / 4 выразится так:

5 / 7 числа 3 / 4 выразятся так:

Таким образом,

Еще пример: 5 / 8 умножить на 4 / 9 .

1 / 9 числа 5 / 8 составляет ,

4 / 9 числа 5 / 8 составляют .

Таким образом,

Из рассмотрения этих примеров можно вывести следующее правило:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель - на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем произведения.

Это правило в общем виде можно записать так:

При умножении необходимо делать (если возможно) сокращения. Рассмотрим примеры:

5. Умножение смешанных чисел. Так как смешанные числа легко могут быть заменены неправильными дробями, то этим обстоятельством обычно пользуются при умножении смешанных чисел. Это значит, что в тех случаях, когда множимое, или множитель, или оба сомножителя выражены смешанными числами, то их заменяют неправильными дробями. Перемножим, например, смешанные числа: 2 1 / 2 и 3 1 / 5 . Обратим каждое из них в неправильную дробь и потом будем перемножать полученные дроби по правилу умножения дроби на дробь:

Правило. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.

Примечание. Если один из сомножителей - целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона так:

6. Понятие о проценте. При решении задач и при выполнении различных практических расчётов мы пользуемся всевозможными дробями. Но нужно иметь в виду, что многие величины допускают не любые, а естественные для них подразделения. Например, можно взять одну сотую (1 / 100) рубля, это будет копейка, две сотых - это 2 коп., три сотых - 3 коп. Можно взять 1 / 10 рубля, это будет"10 коп., или гривенник. Можно взять четверть рубля, т. е. 25 коп., половину рубля, т. е. 50 коп. (полтинник). Но практически не берут, например, 2 / 7 рубля потому, что рубль на седьмые доли не делится.

Единица измерения веса, т. е. килограмм, допускает прежде всего десятичные подразделения, например 1 / 10 кг, или 100 г. А такие доли килограмма, как 1 / 6 , 1 / 11 , 1 / 13 неупотребительны.

Вообще наши (метрические) меры являются десятичными и допускают десятичные подразделения.

Однако надо заметить, что крайне полезно и удобно в самых разнообразных случаях пользоваться одинаковым (однообразным) способом подразделения величин. Многолетний опыт показал, что таким хорошо оправдавшим себя делением является «сотенное» деление. Рассмотрим несколько примеров, относящихся к самым разнообразным областям человеческой практики.

1. Цена на книги понизилась на 12 / 100 прежней цены.

Пример. Прежняя цена книги 10 руб. Она понизилась на 1 рубль. 20 коп.

2. Сберегательные кассы выплачивают в течение года вкладчикам 2 / 100 суммы, которая положена на сбережение.

Пример. В кассу положено 500 руб., доход с этой суммы за год составляет 10 руб.

3. Число выпускников одной школы составило 5 / 100 от общего числа учащихся.

П р и м е р. В школе обучалось всего 1 200 учащихся, из них окончили школу 60 человек.

Сотая часть числа называется процентом .

Слово «процент» заимствовано из латинского языка и его корень «цент» означает сто. Вместе с предлогом (pro centum) это слово обозначает «за сотню». Смысл такого выражения вытекает из того обстоятельства, что первоначально в древнем Риме процентами назывались деньги, которые платил должник заимодавцу «за каждую сотню». Слово «цент» слышится в таких всем знакомых словах: центнер (сто килограммов), центиметр (говорится сантиметр).

Например, вместо того чтобы говорить, что завод за истекший месяц дал брака 1 / 100 от всей выработанной им продукции, мы будем говорить так: завод за истекший месяц дал один процент брака. Вместо того чтобы говорить: завод выработал продукции на 4 / 100 больше установленного плана, мы будем говорить: завод перевыполнил план на 4 процента.

Изложенные выше примеры можно высказать иначе:

1. Цена на книги понизилась на 12 процентов прежней цены.

2. Сберегательные кассы выплачивают вкладчикам за год 2 процента с суммы, положенной на сбережение.

3. Число выпускников одной школы составляло 5 процентов числа всех учащихся школы.

Для сокращения письма принято вместо слова «процент» писать значок %.

Однако нужно помнить, что в вычислениях значок % обычно не пишется, он может быть записан в условии задачи и в окончательном результате. При выполнении же вычислений нужно писать дробь со знаменателем 100 вместо целого числа с этим значком.

Нужно уметь заменять целое число с указанным значком дробью с знаменателем 100:

Обратно, нужно привыкнуть вместо дроби с знаменателем 100 писать целое число с указанным значком:

7. Нахождение процентов данного числа.

Задача 1. Школа получила 200 куб. м дров, причём берёзовые дрова составляли 30%. Сколько было берёзовых дров?

Смысл этой задачи состоит в том, что берёзовые дрова составляли лишь часть тех дров, которые были доставлены в школу, и эта часть выражается дробью 30 / 100 . Значит, перед нами задача на нахождение дроби от числа. Для её решения мы должны 200 умножить на 30 / 100 (задачи на нахождение дроби числа решаются умножением числа на дробь.).

Значит, 30% от 200 равняются 60.

Дробь 30 / 100 , встречавшаяся в этой задаче, допускает сокращение на 10. Можно было бы с самого начала выполнить это сокращение; решение задачи от этого не изменилось бы.

Задача 2. В лагере было 300 детей различных возрастов. Дети 11 лет составляли 21%, дети 12 лет составляли 61% и, наконец, 13-летних детей было 18%. Сколько было детей каждого возраста в лагере?

В этой задаче нужно выполнить три вычисления, т. е. последовательно найти число детей 11 лет, потом 12 лет и, наконец, 13 лет.

Значит, здесь нужно будет три раза отыскать дробь от числа. Сделаем это:

1) Сколько было детей 11-летнего возраста?

2) Сколько было детей 12-летнего возраста?

3) Сколько было детей 13-летнего возраста?

После решения задачи полезно сложить найденные числа; сумма их должна составить 300:

63 + 183 + 54 = 300

Следует также обратить внимание на то, что сумма процентов, данных в условии задачи, составляет 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Это говорит о том, что общее число детей, находившихся в лагере, было принято за 100%.

3 а д а ч а 3. Рабочий получил за месяц 1 200 руб. Из них 65% он израсходовал на питание, 6% - на квартиру и отопление, 4% - на газ, электричество и радио, 10% - на культурные нужды и 15% - сберёг. Сколько денег израсходовано на указанные в задаче нужды?

Для решения этой задачи нужно 5 раз найти дробь от числа 1 200. Сделаем это.

1) Сколько денег израсходовано на питание? В задаче сказано, что этот расход составляет 65% от всего заработка, т. е. 65 / 100 от числа 1 200. Сделаем вычисление:

2) Сколько денег уплачено за квартиру с отоплением? Рассуждая подобно предыдущему, мы придём к следующему вычислению:

3) Сколько денег уплатили за газ, электричество и радио?

4) Сколько денег израсходовано на культурные нужды?

5) Сколько денег рабочий сберёг?

Для проверки полезно сложить числа, найденные в этих 5 вопросах. Сумма должна составить 1 200 руб. Весь заработок принят за 100%, что легко проверить, сложив числа процентов, данные в условии задачи.

Мы решили три задачи. Несмотря на то, что в этих задачах речь шла о различных вещах (доставка дров для школы, число детей различных возрастов, расходы рабочего), они решались одним и тем же способом. Это произошло потому, что во всех задачах нужно было найти несколько процентов от данных чисел.

§ 90. Деление дробей.

При изучении деления дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:

1. Деление целого числа на целое.
2. Деление дроби на целое число
3. Деление целого числа на дробь.
4. Деление дроби на дробь.
5. Деление смешанных чисел.
6. Нахождение числа по данной его дроби.
7. Нахождение числа по его процентам.

Рассмотрим их последовательно.

1. Деление целого числа на целое.

Как было указано в отделе целых чисел, делением называется действие, состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель.

Деление целого числа на целое мы рассматривали в отделе целых чисел. Мы встретили там два случая деления: деление без остатка, или «нацело» (150: 10 = 15), и деление с остатком (100: 9 = 11 и 1 в остатке). Мы можем, следовательно, сказать, что в области целых чисел точное деление не всегда возможно, потому что делимое не всегда является произведением делителя на целое число. После введения умножения на дробь мы можем всякий случай деления целых чисел считать возможным (исключается только деление на нуль).

Например, разделить 7 на 12 -это значит найти такое число, произведение которого на 12 было бы равно 7. Таким числом является дробь 7 / 12 потому что 7 / 12 12 =7. Ещё пример: 14: 25 = 14 / 25 , потому что 14 / 25 25 = 14.

Таким образом, чтобы разделить целое число на целое, нужно составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель - делителю.

2. Деление дроби на целое число.

Разделить дробь 6 / 7 на 3. Согласно данному выше определению деления мы имеем здесь произведение (6 / 7) и один из сомножителей (3); требуется найти такой второй сомножитель, который от умножения на 3 дал бы данное произведение 6 / 7 . Очевидно, он должен быть втрое меньше этого произведения. Значит, поставленная перед нами задача состояла в том, чтобы дробь 6 / 7 уменьшить в 3 раза.

Мы уже знаем, что уменьшение дроби можно выполнить или путём уменьшения её числителя, или путём увеличения её знаменателя. Поэтому можно написать:

В данном случае числитель 6 делится на 3, поэтому следует уменьшить в 3 раза числитель.

Возьмём другой пример: 5 / 8 разделить на 2. Здесь числитель 5 не делится нацело на 2, значит, на это число придётся умножить знаменатель:

На основании этого можно высказать правило: чтобы разделить дробь на целое число, нужно разделить на это целое число числитель дроби (если это возможно), оставив тот же знаменатель, или умножить на это число знаменатель дроби, оставив тот же числитель.

3. Деление целого числа на дробь.

Пусть требуется разделить 5 на 1 / 2 , т. е. найти такое число, которое после умножения на 1 / 2 даст произведение 5. Очевидно, это число должно быть больше 5, так как 1 / 2 есть правильная дробь, а при умножении числа на правильную дробь произведение должно быть меньше множимого. Чтобы это было понятнее, запишем наши действия следующим образом: 5: 1 / 2 = х , значит, х 1 / 2 = 5.

Мы должны найти такое число х , которое, будучи умножено на 1 / 2 дало бы 5. Так как умножить некоторое число на 1 / 2 - это значит найти 1 / 2 этого числа, то, следовательно, 1 / 2 неизвестного числа х равна 5, а всё число х вдвое больше, т. е. 5 2 = 10.

Таким образом, 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Проверим:

Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 6 на 2 / 3 . Попробуем сначала найти искомый результат с помощью чертежа (рис. 19).

Рис.19

Изобразим отрезок АВ, равный 6 каким-нибудь единицам, и разделим каждую единицу на 3 равные части. В каждой единице три трети (3 / 3) во всём отрезке АВ в 6 раз больше,т. е. 18 / 3 . Соединим при помощи маленьких скобочек 18 полученных отрезков по 2; получится всего 9 отрезков. Значит дробь 2 / 3 содержится в б единицах 9 раз, или, иными словами, дробь 2 / 3 в 9 раз меньше 6 целых единиц. Следовательно,

Каким образом получить этот результат без чертежа при помощи одних только вычислений? Будем рассуждать так: требуется 6 разделить на 2 / 3 , т. е. требуется ответить на вопрос, сколько раз 2 / 3 содержатся в 6. Узнаем сначала: сколько раз 1 / 3 содержится в 6? В целой единице - 3 трети, а в 6 единицах - в 6 раз больше, т. е. 18 третей; для нахождения этого числа мы должны 6 умножить на 3. Значит, 1 / 3 содержится в б единицах 18 раз, а 2 / 3 содержатся в б не 18 раз, а вдвое меньше раз, т. е. 18: 2 = 9. Следовательно, при делении 6 на 2 / 3 мы выполнили следующие действия:

Отсюда получаем правило деления целого числа на дробь. Чтобы разделить целое число на дробь, надо это целое число умножить на знаменатель данной дроби и, сделав это произведение числителем, разделить его на числитель данной дроби.

Запишем правило при помощи букв:

Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом деления числа на частное, которое было изложено в § 38 . Обратите внимание на то, что там была получена такая же формула.

При делении возможны сокращения, например:

4. Деление дроби на дробь.

Пусть требуется разделить 3 / 4 на 3 / 8 . Что будет обозначать число, которое получится в результате деления? Оно будет давать ответ на вопрос, сколько раз дробь 3 / 8 содержится в дроби 3 / 4 . Чтобы разобраться в этом вопросе, сделаем чертёж (рис. 20).

Возьмём отрезок АВ, примем его за единицу, разделим на 4 равные части и отметим 3 такие части. Отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ. Разделим теперь каждый из четырёх первоначальных отрезков пополам, тогда отрезок АВ разделится на 8 равных частей и каждая такая часть будет равна 1 / 8 отрезка АВ. Соединим дугами по 3 таких отрезка, тогда каждый из отрезков AD и DC будет равен 3 / 8 отрезка АВ. Чертёж показывает, что отрезок, равный 3 / 8 , содержится в отрезке, равном 3 / 4 , ровно 2 раза; значит, результат деления можно записать так:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 15 / 16 на 3 / 32:

Мы можем рассуждать так: нужно найти такое число, которое после умножения на 3 / 32 Даст произведение, равное 15 / 16 . Запишем вычисления так:

15 / 16: 3 / 32 = х

3 / 32 х = 15 / 16

3 / 32 неизвестного числа х составляют 15 / 16

1 / 32 неизвестного числа х составляет ,

32 / 32 числа х составляют .

Следовательно,

Таким образом, чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.

Запишем правило с помощью букв:

При делении возможны сокращения, например:

5. Деление смешанных чисел.

При делении смешанных чисел их нужно предварительно обращать в неправильные дроби,а затем производить деление полученных дробей по правилам деления дробных чисел. Рассмотрим пример:

Обратим смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь разделим:

Таким образом, чтобы разделить смешанные числа, нужно обратить их в неправильные дроби и затем разделить по правилу деления дробей.

6. Нахождение числа по данной его дроби.

Среди различных задач на дроби иногда встречаются такие, в которых даётся величина какой-нибудь дроби неизвестного числа и требуется найти это число. Этого типа задачи будут обратными по отношению к задачам на нахождение дроби данного числа; там давалось число и требовалось найти некоторую дробь от этого числа, здесь даётся дробь от числа и требуется найти само это число. Эта мысль станет ещё яснее, если мы обратимся к решению такого типа задач.

Задача 1. В первый день стекольщики остеклили 50 окон, что составляет 1 / 3 всех окон построенного дома. Сколько всего окон в этом доме?

Решение. В задаче сказано, что остеклённые 50 окон составляют 1 / 3 всех окон дома, значит, всего окон в 3 раза больше, т. е.

В доме было 150 окон.

Задача 2. Магазин продал 1 500 кг муки, что составляет 3 / 8 всего запаса муки, имевшегося в магазине. Каков был первоначальный запас муки в магазине?

Решение. Из условия задачи видно, что проданные 1 500 кг муки составляют 3 / 8 всего запаса; значит, 1 / 8 этого запаса будет в 3 раза меньше, т. е. для её вычисления нужно 1500 уменьшить в 3 раза:

1 500: 3 = 500 (это 1 / 8 запаса).

Очевидно, весь запас будет в 8 раз больше. Следовательно,

500 8 = 4 000 (кг).

Первоначальный запас муки в магазине был равен 4 000 кг.

Из рассмотрения этой задачи можно вывести следующее правило.

Чтобы найти, число по данной величине его дроби, достаточно разделить эту величину на числитель дроби и результат умножить на знаменатель дроби.

Мы решили две задачи на нахождение числа по данной его дроби. Такие задачи, как это особенно хорошо видно из последней, решаются двумя действиями: делением (когда находят одну часть) и умножением (когда находят всё число).

Однако после того как мы изучили деление дробей, указанные выше задачи можно решать одним действием, а именно: делением на дробь.

Например, последняя задача может быть решена одним действием так:

В дальнейшем задачи на нахождение числа по его дроби мы будем решать одним действием - делением.

7. Нахождение числа по его процентам.

В этих задачах нужно будет найти число, зная несколько процентов этого числа.

Задача 1. В начале текущего года я получил в сберегательной кассе 60 руб. дохода с суммы, положенной мной на сбережение год назад. Сколько денег я положил в сберегательную кассу? (Кассы дают вкладчикам 2% дохода в год.)

Смысл задачи состоит в том, что некоторая сумма денег была положена мной в сберегательную кассу и пролежала там год. По прошествии года я получил с неё 60 руб. дохода, что составляет 2 / 100 тех денег, которые я положил. Сколько же денег я положил?

Следовательно, зная часть этих денег, выраженную двумя способами (в рублях и дробью), мы должны найти всю, пока неизвестную, сумму. Это обыкновенная задача на нахождение числа по данной его дроби. Решаются такие задачи делением:

Значит, в сберегательную кассу было положено 3000 руб.

Задача 2. Рыболовы за две недели выполнили месячный план на 64%, заготовив 512 т рыбы. Какой у них был план?

Из условия задачи известно, что рыболовы выполнили часть плана. Эта часть равна 512 т, что составляет 64% плана. Сколько тонн рыбы нужно заготовить по плану, нам неизвестно. В нахождении этого числа и будет состоять решение задачи.

Такие задачи решаются делением:

Значит, по плану нужно заготовить 800 т рыбы.

Задача 3. Поезд шёл из Риги в Москву. Когда он миновал 276-й километр, один из пассажиров спросил проходящего кондуктора, какую часть пути они уже проехали. На это кондуктор ответил: «Проехали уже 30% всего пути». Каково расстояние от Риги до Москвы?

Из условия задачи видно, что 30% пути от Риги до Москвы составляют 276 км. Нам нужно найти всё расстояние между этими городами, т. е. по данной части найти целое:

§ 91. Взаимно обратные числа. Замена деления умножением.

Возьмём дробь 2 / 3 и переставим числитель на место знаменателя, получится 3 / 2 . Мы получили дробь, обратную данной.

Для того чтобы получить дробь, обратную данной, нужно её числитель поставить на место знаменателя, а знаменатель - на место числителя. Этим способом мы можем получить дробь, обратную любой дроби. Например:

3 / 4 , обратная 4 / 3 ; 5 / 6 , обратная 6 / 5

Две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй, называются взаимно обратными.

Теперь подумаем, какая дробь будет обратной для 1 / 2 . Очевидно, это будет 2 / 1 , или просто 2. Отыскивая дробь, обратную данной, мы получили целое число. И этот случай не единичный; напротив, для всех дробей с числителем 1 (единица) обратными будут целые числа, например:

1 / 3 , обратная 3; 1 / 5 , обратная 5

Так как при отыскании обратных дробей мы встретились и с целыми числами, то в дальнейшем мы будем говорить не об обратных дробях, а об обратных числах.

Выясним, как написать число, обратное целому числу. Для дробей это решается просто: нужно знаменатель поставить на место числителя. Этим же способом можно получить обратное число и для целого числа, так как у любого целого числа можно подразумевать знаменатель 1. Значит, число, обратное 7, будет 1 / 7 , потому что 7 = 7 / 1 ; для числа 10 обратное будет 1 / 10 , так как 10 = 10 / 1

Эту мысль можно выразить иначе: число, обратное данному числу, получается от деления единицы на данное число . Такое утверждение справедливо не только для целых чисел, но и для дробей. В самом деле, если требуется написать число, обратное дроби 5 / 9 , то мы можем взять 1 и разделить ее на 5 / 9 , т. е.

Теперь укажем одно свойство взаимно обратных чисел, которое будет нам полезно: произведение взаимно обратных чисел равно единице. В самом деле:

Пользуясь этим свойством, мы можем находить обратные числа следующим путём. Пусть нужно найти число, обратное 8.

Обозначим его буквой х , тогда 8 х = 1, отсюда х = 1 / 8 . Найдём ещё число, обратное 7 / 12 обозначим его буквой х , тогда 7 / 12 х = 1, отсюда х = 1: 7 / 12 или х = 12 / 7 .

Мы ввели здесь понятие о взаимно обратных числах для того, чтобы немного дополнить сведения о делении дробей.

Когда мы делим число 6 на 3 / 5 , то мы выполняем следующие действия:

Обратите особое внимание на выражение и сравните его с заданным: .

Если взять выражение отдельно, без связи с предыдущим, то нельзя решить вопрос, откуда оно возникло: от деления 6 на 3 / 5 или от умножения 6 на 5 / 3 . В обоих случаях получается одно и то же. Поэтому мы можем сказать, что деление одного числа на другое можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.

Примеры, которые мы даём ниже, вполне подтверждают этот вывод.

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.