Как высчитать площадь круга. Площадь круга: формула. Чему равна площадь круга, описанного и вписанного в квадрат, прямоугольный и равнобедренный треугольник, прямоугольную, равнобедренную трапецию

Круг – это видимая совокупность множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, необходимо знать, что такое радиус, диаметр, число π и окружность.

Величины, участвующие в расчете площади круга

Расстояние, ограниченное центральной точкой круга и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры. Длины всех радиусов одного круга одинаковы. Отрезок между 2 любыми точками окружности, который проходит через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

Для подсчета площади круга применяется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра круга и имеет неизменное значение. Π = 3,1415926. Длина окружности высчитывается по формуле L=2πR.

Найти площадь круга через радиус

Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус окружности, возведенный во 2 степень. В качестве примера примем длину радиуса окружности равной 5 см. Тогда площадь круга S будет равна 3,14*5^2=78,5 кв. см.

Площадь круга через диаметр

Площадь круга можно также подсчитать, зная величину диаметра круга. В таком случае S = (π/4)*d^2, где d – диаметр круга. Возьмем тот же пример, где радиус равен 5 см. Тогда его диаметр будет равен 5*2=10 см. Площадь круга S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Результат, равный итогу вычислений в первом примере, подтверждает правильность расчетов в обоих случаях.

Площадь круга через длину окружности

Если радиус круга представить через длину окружности, то формула будет иметь следующий вид: R=(L/2)π. Подставим это выражение в формулу площади круга и в результате получим S=(L^2)/4π. Рассмотрим пример, в котором длина окружности равна 10 см. Тогда площадь круга S = (10^2)/4*3,14=7,96 кв. см.

Площадь круга через длину стороны вписанного квадрата

Если в круг вписан квадрат, то длина диаметра круга равна длине диагонали квадрата. Зная величину стороны квадрата, можно легко узнать диаметр круга по формуле: d^2=2a^2. Другими словами диаметр во 2 степени равен стороне квадрата во 2 степени, умноженной на 2.

Вычислив значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, после чего воспользоваться одной их формул определения площади круга.

Площадь сектора круга

Сектор – это часть круга, ограниченная 2 радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360. Чтобы высчитать площадь сектора, значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, вычисленную по одной из вышеперечисленных формул.

• Длину диаметра – отрезка, проходящего через центр круга и соединяющего две противоположные точки окружности, либо радиуса – отрезка, одна из крайних точек которого находится в центре круга, а вторая – на дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
• Значение числа π. Эта величина представляет собой константу – иррациональную дробь, не имеющую конца. При этом она не является периодической. Данное число выражает соотношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в заданиях школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых – 3,14.

Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

В зависимости от специфики условий геометрической задачи применяются две формулы нахождения площади круга:

Чтобы определить, как найти площадь круга проще всего, нужно тщательно проанализировать условия задания.

Школьный курс геометрии также включает в себя задачи на расчет площади сегментов или секторов, для которых применяются специальные формулы:

1. Сектор представляет собой часть круга, ограниченную окружностью и углом с вершиной, расположенной в центре. Площадь сектора рассчитывается по формуле: S = (π*r 2 /360)*А;
   • r – радиус;
   • А – величина угла в градусах.
   • r – радиус;
   • р – длина дуги.

Также существует второй вариант S = 0,5*р*r;

2. Сегмент – представляет собой часть, ограниченную сечением круга (хордой) и окружностью. Его площадь можно найти по формуле S=(π*r 2 /360)*А± S ∆ ;

• r – радиус;
• А – величина угла в градусах;
• S ∆ – площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда круга; при этом одна из его вершин располагается в центре круга, а две других – в точках соприкосновения дуги окружности с хордой. Важный момент – знак “минус” ставится в том случае, если значение А меньше 180 градусов, а знак “плюс” – если больше 180 градусов.

Чтобы упростить решение геометрической задачи, можно вычислить площадь круга он-лайн . Специальная программа быстро и безошибочно сделает расчет за пару секунд. Как рассчитать он-лайн площадь фигур? Для этого необходимо известные ввести исходные данные: радиус, диаметр, величину угла.

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке »).

Все, что требуется в таких заданиях - это найти радиус окружности R . Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR 2 . Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R 2 .

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S /π .

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · S круга.

Остается найти S круга - площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Треугольник ABC - прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: S круга = πR 2 = 8π ; S = 0,25 · S круга = 2π .

Наконец, искомая величина равна S /π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010-2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи - самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Пусть исходный круг имеет площадь S круга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам - получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два - получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S круга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240: 8 = 30;
2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов - каждый площадью S = 40: 5 = 8. Получим:

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64: 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48: 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.


Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Калькулятор круга - это сервис, специально разработанный для расчета геометрических размеров фигур онлайн. Благодаря данному сервису Вы без проблем сможете определить любой параметр фигуры, в основе которой лежит круг. Например: Вы знаете объем шара, а необходимо получить его площадь. Нет ничего проще! Выберите соответствующий параметр, введите числовое значение и нажмите кнопку рассчитать. Сервис не только выдает результаты вычислений, но и предоставляет формулы, по которым они были сделаны. При помощи нашего сервиса вы без труда рассчитаете радиус, диаметр, длину окружности (периметр круга), площадь круга и шара, объем шара.

Вычислить радиус

Задача на вычисление значения радиуса – одна из самых распространенных. Причина тому достаточно проста, ведь зная этот параметр, вы без особого труда сможете определить значение любого другого параметра круга или шара. Наш сайт построен именно на такой схеме. Вне зависимости от того, какой вы выбрали исходный параметр, первым делом вычисляется значение радиуса и на его основе строятся все последующие вычисления. Для большей точности вычислений, сайт использует число Пи с округлением до 10-го знака после запятой.

Рассчитать диаметр

Расчет диаметра – самый простой вид расчета из тех, что умеет выполнять наш калькулятор. Получить значение диаметра совсем нетрудно и вручную, для этого совсем не надо прибегать к помощи интернета. Диаметр равен значению радиуса умноженному на 2. Диаметр – важнейший параметр круга, который чрезвычайно часто используется в повседневной жизни. Уметь его правильно рассчитать и использовать должен абсолютно каждый. Воспользовавшись возможностями нашего сайта, вы вычислите диаметр с большой точностью за доли секунды.

Узнать длину окружности

Вы даже не представляете, как много вокруг нас круглых объектов и какую важную роль они играют в нашей жизни. Умение рассчитать длину окружности необходимо всем, от рядового водителя, до ведущего инженера-проектировщика. Формула для вычисления длинны окружности очень проста: D=2Pr. Расчет можно легко провести как на листке бумаги, так и при помощи данного интернет помощника. Преимущество последнего в том, что он проиллюстрирует все вычисления рисунками. И ко всему прочему, второй способ намного быстрее.

Вычислить площадь круга

Площадь круга – как и все перечисленные перечисленные в этой статье параметры является основой современной цивилизации. Уметь рассчитать и знать площадь круга полезно всем без исключения слоям населения. Трудно представить область науки и техники, в которой не надо было бы знать, площадь круга. Формула для вычисления опять же нетрудная: S=PR 2 . Эта формула и наш онлайн-калькулятор помогут Вам без лишних усилий узнать площадь любого круга. Наш сайт гарантирует высокую точность вычислений и их молниеносное выполнение.

Рассчитать площадь шара

Формула для расчета площади шара ничуть не сложнее формул, описанных в предыдущих пунктах. S=4Pr 2 . Этот нехитрый набор букв и цифр уже многие годы дает людям возможность достаточно точно вычислять площадь шара. Где это может быть применено? Да везде! Например, вы знаете, что площадь земного шара равна 510 100 000 километров квадратных. Перечислять, где может быть применено знание этой формулы перечислять бесполезно. Слишком широка область применения формулы для вычисления площади шара.

Вычислить объем шара

Для вычисления объема шара используют формулу V=4/3(Pr 3). Она была использована при создании нашего онлайн сервиса. Сайт сайт дает возможность рассчитать объем шара за считанные секунды, если вы Вам известен любой из следующих параметров: радиус, диаметр, длинна окружности, площадь круга или площадь шара. Так же вы можете применять его для обратного вычисления, например, чтобы зная объем шара, получить значение его радиуса или диаметра. Спасибо, что кратко ознакомились с возможностями нашего калькулятора круга. Надеемся, Вам у нас понравилось, и вы уже добавили сайт в закладки.