Решения текстовых задач на составление уравнений будут полезными в первую очередь для школьников. Учебная программа за 9, 10 класс охватывает широкий класс задач в которых требуется определить неизвестные, составить уравнение и решить. Ниже приведена лишь малая часть возможных задач и методика их вычислений.

Пример 1. Первый велосипедист ежеминутно проезжает на 50 метров меньше чем второй, поэтому на путь 120 км он тратит на 2 часа больше чем второй. Найти скорость второго велосипедиста (в км за час).
Решение: Задача для многих тяжела, но на самом деле все просто.
Под фразой "Проезжает ежеминутно на 50 метров меньше" спрятана скорость 50 м/мин. Поскольку остальные данные в км и часах то 50 м/мин приводим к км/час.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/ч ).
Обозначим скорость второго велосипедиста через V , а время движения - t .
Умножением скорости на время движения получим путь
V*t=120.
Первый велосипедист едет медленнее, поэтому и дольше. Составляем соответствующее уравнение движения
(V-3)(t+2)=120.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Из первого уравнения выразим время движения и подставим во второе
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
После умножения на V/2 и группировки подобных слагаемых можно получить такое квадратное уравнение
V^2-3V-180=0.
Вычисляем дискриминант уравнения
D=9+4*180=729=27*27
и корни
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Второй отвергаем, он не имеет физического смысла. Найденное значение V = 15 км/час является скоростью второго велосипедиста.
Ответ: 15 км/час.

Пример 2. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 30 кг морской, чтобы концентрация соли уменьшилась на 70% ?
Решение: Найдем сколько соли в 30 кг морской воды
30*5/100=1,5 (кг).
В новом растворе это составит
(100%-70%)=30% от 5% , составляем пропорции
5% – 100%
Х– 30%.
Выполняем вычисления
Х=5*30/100=150/100=1,5%.
Таким образом 1,5 кг соли соответствует 1,5% в новом растворе. Опять складываем пропорции
1,5 – 1,5% Y – 100% .
Находим массу раствора морской воды
Y=1,5*100/1,5=100 (кг).
Вычтем масс соленой воды, чтобы найти количество пресной
100-30=70 (кг) .
Ответ: 70 кг пресной воды.

Пример 3. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 километров в час он искупил опоздание на перегоне 80 км. Определить скорость мотоциклиста перед замедлением (в км в час).
Решение: Задача на составление уравнения на скорость. Обозначим начальную скорость мотоциклиста через V , а время за которое он должен был проехать через t . Есть две неизвестные, следовательно уравнений должно быть тоже 2 . Согласно условию, за это время он должен был проехать 80 км.
V*t=80 (км) .
Задержался означает, что время уменьшилось на 24 минуты. Также стоит заметить, что в подобных задачах время нужно переводить в часы или минуты (в зависимости от условия) и тогда решать. Составляем уравнение движения с учетом меньшего времени и большей скорости
(V+10)(t-24/60)=80.
Есть два уравнения для определения времени и скорости. Поскольку в задачи спрашивают скорость, то выразим время из первого уравнения и подставим во второе
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Наша цель - научить Вас составлять уравнения к задачам, из которых можно определить искомые величины.
Поэтому не вдаваясь в детали, полученное уравнение умножением на 60 * V и делением на 24 может быть сведено к следующему квадратного уравнения
V^2+10*V-2000=0.
Самостоятельно найдите дискриминант и корни уравнения. Вы должны получить значение
V=-50;
V=40.
Первое значение отбрасываем, оно не имеет физического смысла. Второе V = 40 км/час является искомой скоростью мотоциклиста.
Ответ: 40 км/час.

Пример 4. Товарный поезд задержался в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 112 километров наверстал упущенное время, увеличив скорость на 10 км/час. Найти начальную скорость поезда (в км/час).
Решение: Имеем задачу в которой неизвестными выступают скорость поезда V и время движения t .
Поскольку задача по схеме уравнений соответствует предыдущей, то записываем два уравнения на неизвестные
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Уравнения следует составлять именно в таких обозначениях. Это позволяет в простом виде выразить с первого уравнения время
t =112/V
и, подставив во второе получить уравнение только относительно скорости
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Если неудачно выбрать обозначение, то можно получить уравнение на неизвестные такого плана
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Здесь t соответствует времени после увеличения скорости на 10 км/ч, но суть не в этом. Приведенные уравнения тоже правильные, но не удобны с точки зрения вычислений.
Попробуйте решить первые два уравнения и последние и Вы поймете, что второй схемы следует избегать при составлении уравнений. Поэтому хорошо обдумывайте, какие обозначения вводить, чтобы минимизировать количество вычислений.
Полученное уравнение
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
сводим к квадратному уравнению (умножаем на 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Не вдаваясь в промежуточные вычисления, корнями будут
V=-80;
V=70.
В задачах такого типа всегда получим отрицательный корень (V=-80) который нужно отбросить. Скорость поезда равна 70 км/час.

Пример 5. Отправившись с автостанции на 10 минут позже, автобус ехал к первой остановки со скоростью на 16 км/час больше, чем по расписанию и приехал вовремя. Какую скорость (в км/час) должен иметь автобус по расписанию если расстояние от автостанции до первой остановки равно 16 километров?
Решение: Неизвестными выступают скорость автобуса V и время t .
Составляем уравнение, учитывая что время опоздания задано в минутах, а не часах
V * t = 16 - так должен был ехать автобус в обычном режиме;
(V + 16) (t-10/60) = 16 - уравнение движения из-за позднего отправления автобуса.
Есть два уравнения и две неизвестные.
С первого уравнения выразим время и подставим во второе
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Полученное уравнение относительно скорости сводим к квадратному (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Корнями квадратного уравнения являются
V=32; V=-48.
Искомая скорость автобуса равна 32 км/час.
Ответ: 32 км/ч.

Пример 6. Водитель автомобиля остановился для замены колеса на 12 минут. После этого увеличив скорость движения на 15 км/час он искупил затраченное время на 60 километрах. С какой скоростью (в км/час) он двигался после остановки?
Решение: Алгоритм решения задачи несколько раз приводился в предыдущих примерах. Стандартно обозначаем скорость и время через V, t.
При составлении уравнения не забывайте перевести минуты в часы. Система уравнений будет иметь вид
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Дальнейшие манипуляции Вы также должны знать или заучить.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Данное уравнение можно свести к квадратному уравнению
V^2+15*V-4500=0.
Решив квадратное уравнение, получим следующие значения скоростей
V=60; V=-75.
Скорость отрицательной не бывает, поэтому единственная правильный ответ V=60 км/час.

Пример 7. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза больше произведение своих цифр. Найти это число.
Решение: Задача на числа занимают важное место среди задач на составление уравнений и бывают не менее интересными в построении решений чем задания на скорость. Все что нужно, это хорошо понять условие задачи. Обозначим число через ab, то есть число равно 10 * a + b. По условию составим систему уравнений
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Поскольку в первое уравнение неизвестные входят линейно то его расписываем и выражаем одну из неизвестных через другую
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Подставим b = 2 * a во второе уравнение
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Отсюда a=0; a=2 . Первое значение нет смысла рассматривать, при a=2 вторая цифра равна b=2*a=2*2=4 , а искомое число 24 .
Ответ: число равно 24.

Химия – это наука о веществах, их свойствах и превращениях .
То есть, если с окружающими нас веществами ничего не происходит, то это не относится к химии. Но что значит, «ничего не происходит»? Если в поле нас вдруг застала гроза, и мы все промокли, как говорится «до нитки», то это ли не превращение: ведь одежда была сухой, а стала мокрой.

Если, к примеру взять железный гвоздь, обработать его напильником, а затем собрать железные опилки (Fe ) , то это ли так же не превращение: был гвоздь – стал порошок. Но если после этого собрать прибор и провести получение кислорода (О 2) : нагреть перманганат калия (КМпО 4) и собрать в пробирку кислород, а затем в неё поместить раскалённые «до красна» эти железные опилки, то они вспыхнут ярким пламенем и после сгорания превратятся в порошок бурого цвета. И это так же превращение. Так где же химия? Несмотря на то, что в этих примерах меняется форма (железный гвоздь) и состояние одежды (сухая, мокрая) – это не превращения. Дело в том, что сам по себе гвоздь как был веществом (железо), так им и остался, несмотря на другую свою форму, а воду от дождя как впитала наша одежда, так потом его и испарила в атмосферу. Сама вода не изменилась. Так что же такое превращения с точки зрения химии?

Превращениями с точки зрения химии называются такие явления, которые сопровождаются изменением состава вещества. Возьмём в качестве примера тот же гвоздь. Не важно, какую форму он принял после обработки напильником, но после того как собранные от него железные опилки поместили в атмосферу кислорода - он превратился в оксид железа (Fe 2 O 3 ) . Значит, что-то всё-таки изменилось? Да, изменилось. Было вещество гвоздь, но под воздействием кислорода сформировалось новое вещество – оксид элемента железа. Молекулярное уравнение этого превращения можно отобразить следующими химическими символами:

4Fe + 3O 2 = 2Fe 2 O 3 (1)

Для непосвящённого в химии человека сразу возникают вопросы. Что такое «молекулярное уравнение», что такое Fe? Почему поставлены цифры «4», «3», «2»? Что такое маленькие цифры «2» и «3» в формуле Fe 2 O 3 ? Это значит, наступило время во всём разобраться по порядку.

Знаки химических элементов.

Несмотря на то, что химию начинают изучать в 8-м классе, а некоторые даже раньше, многим известен великий русский химик Д. И. Менделеев. И конечно же, его знаменитая «Периодическая система химических элементов». Иначе, проще, её называют «Таблица Менделеева».

В этой таблице, в соответствующем порядке, располагаются элементы. К настоящему времени их известно около 120. Названия многих элементов нам были известны ещё давно. Это: железо, алюминий, кислород, углерод, золото, кремний. Раньше мы не задумываясь применяли эти слова, отождествляя их с предметами: железный болт, алюминиевая проволока, кислород в атмосфере, золотое кольцо и т.д. и т.д. Но на самом деле все эти вещества (болт, проволока, кольцо) состоят из соответствующих им элементов. Весь парадокс состоит в том, что элемент нельзя потрогать, взять в руки. Как же так? В таблице Менделеева они есть, а взять их нельзя! Да, именно так. Химический элемент – это абстрактное (то есть отвлечённое) понятие, и используется в химии, впрочем как и в других науках, для расчётов, составления уравнений, при решении задач. Каждый элемент отличается от другого тем, что для него характерна своя электронная конфигурация атома. Количество протонов в ядре атома равно количеству электронов в его орбиталях. К примеру, водород – элемент №1. Его атом состоит из 1-го протона и 1-го электрона. Гелий – элемент №2. Его атом состоит из 2-х протонов и 2-х электронов. Литий – элемент №3. Его атом состоит из 3-х протонов и 3-х электронов. Дармштадтий – элемент №110. Его атом состоит из 110-и протонов и 110-и электронов.

Каждый элемент обозначается определённым символом, латинскими буквами, и имеет определённое прочтение в переводе с латинского. Например, водород имеет символ «Н» , читается как «гидрогениум» или «аш». Кремний имеет символ «Si» читается как «силициум». Ртуть имеет символ «Нg» и читается как «гидраргирум». И так далее. Все эти обозначения можно найти в любом учебнике химии за 8-й класс. Для нас сейчас главное уяснить то, что при составлении химических уравнений, необходимо оперировать указанными символами элементов.

Простые и сложные вещества.

Обозначая единичными символами химических элементов различные вещества (Hg ртуть , Fe железо , Cu медь , Zn цинк , Al алюминий ) мы по сути обозначаем простые вещества, то есть вещества, состоящие из атомов одного вида (содержащие одно и то же количество протонов и нейтронов в атоме). Например, если во взаимодействие вступают вещества железо и сера, то уравнение примет следующую форму записи:

Fe + S = FeS (2)

К простым веществам относятся металлы (Ва, К, Na, Mg, Ag), а так же неметаллы (S, P, Si, Cl 2 , N 2 , O 2 , H 2). Причём следует обратить
особое внимание на то, что все металлы обозначаются единичными символами: К, Ва, Са, Аl, V, Mg и т.д., а неметаллы – либо простыми символами: C,S,P или могут иметь различные индексы, которые указывают на их молекулярное строение: H 2 , Сl 2 , О 2 , J 2 , P 4 , S 8 . В дальнейшем это будет иметь очень большое значение при составлении уравнений. Совсем не трудно догадаться, что сложными веществами являются вещества, образованные из атомов разного вида, например,

1). Оксиды:
оксид алюминия Al 2 O 3 ,

оксид натрия Na 2 O,
оксид меди CuO,
оксид цинка ZnO,
оксид титана Ti 2 O 3 ,
угарный газ или оксид углерода (+2) CO,
оксид серы (+6) SO 3

2). Основания:
гидроксид железа (+3) Fe(OH) 3 ,
гидроксид меди Cu(OH) 2 ,
гидроксид калия или щёлочь калия КOH,
гидроксид натрия NaOH.

3). Кислоты:
соляная кислота HCl,
сернистая кислота H 2 SO 3 ,
азотная кислота HNO 3

4). Соли:
тиосульфат натрия Na 2 S 2 O 3 ,
сульфат натрия или глауберова соль Na 2 SO 4 ,
карбонат кальция или известняк СаCO 3,
хлорид меди CuCl 2

5). Органические вещества:
ацетат натрия СН 3 СООNa,
метан СН 4 ,
ацетилен С 2 Н 2 ,
глюкоза С 6 Н 12 О 6

Наконец, после того как мы выяснили структуру различных веществ, можно приступать к составлению химических уравнений.

Химическое уравнение.

Само слово «уравнение» производное от слова «уравнять», т.е. разделить нечто на равные части. В математике уравнения составляют чуть ли не самую сущность этой науки. К примеру, можно привести такое простое уравнение, в котором левая и правая части будут равны «2»:

40: (9 + 11) = (50 х 2) : (80 – 30);

И в химических уравнениях тот же принцип: левая и правая части уравнения должны соответствовать одинаковым количествам атомов, участвующим в них элементов. Или, если приводится ионное уравнение, то в нём число частиц так же должно соответствовать этому требованию. Химическим уравнением называется условная запись химической реакции с помощью химических формул и математических знаков. Химическое уравнение по своей сути отражает ту или иную химическую реакцию, то есть процесс взаимодействия веществ, в процессе которых возникают новые вещества. Например, необходимо написать молекулярное уравнение реакции, в которой принимают участие хлорид бария ВаСl 2 и серная кислота H 2 SO 4. В результате этой реакции образуется нерастворимый осадок – сульфат бария ВаSO 4 и соляная кислота НСl:

ВаСl 2 + H 2 SO 4 = BaSO 4 + 2НСl (3)

Прежде всего необходимо уяснить, что большая цифра «2», стоящая перед веществом НСlназывается коэффициентом, а малые цифры «2», «4» под формулами ВаСl 2 , H 2 SO 4 ,BaSO 4 называются индексами. И коэффициенты и индексы в химических уравнениях выполняют роль множителей, а не слагаемых. Что бы правильно записать химическое уравнение, необходимо расставить коэффициенты в уравнении реакции . Теперь приступим к подсчёту атомов элементов в левой и правой частях уравнения. В левой части уравнения: в веществе ВаСl 2 содержатся 1 атом бария (Ва), 2 атома хлора (Сl). В веществе H 2 SO 4: 2 атома водорода (Н), 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О) . В правой части уравнения: в веществе BaSO 4 1 атом бария (Ва) 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О), в веществе НСl: 1 атом водорода (Н) и 1 атом хлора (Сl). Откуда следует, что в правой части уравнения количество атомов водорода и хлора вдвое меньше, чем в левой части. Следовательно, перед формулой НСl в правой части уравнения необходимо поставить коэффициент «2». Если теперь сложить количества атомов элементов, участвующих в данной реакции, и слева и справа, то получим следующий баланс:

В обеих частях уравнения количества атомов элементов, участвующих в реакции, равны, следовательно оно составлено правильно.

Химические уравнение и химические реакции

Как мы уже выяснили, химические уравнения являются отражением химических реакций. Химическими реакциями называются такие явления, в процессе которых происходит превращение одних веществ в другие. Среди их многообразия можно выделить два основных типа:

1). Реакции соединения
2). Реакции разложения.

В подавляющем своём большинстве химические реакции принадлежат к реакциям присоединения, поскольку с отдельно взятым веществом редко могут происходить изменения в его составе, если оно не подвергается воздействиям извне (растворению, нагреванию, действию света). Ничто так не характеризует химическое явление, или реакцию, как изменения, происходящие при взаимодействии двух и более веществ. Такие явления могут осуществляться самопроизвольно и сопровождаться повышением или понижением температуры, световыми эффектами, изменением цвета, образованием осадка, выделением газообразных продуктов, шумом.

Для наглядности приведём несколько уравнений, отражающих процессы реакций соединения, в процессе которых получаются хлорид натрия (NaCl), хлорид цинка (ZnCl 2), осадок хлорида серебра (AgCl), хлорид алюминия (AlCl 3)

Cl 2 + 2Nа = 2NaCl (4)

СuCl 2 + Zn= ZnCl 2 + Сu (5)

AgNO 3 + КCl = AgCl + 2KNO 3 (6)

3HCl + Al(OH) 3 = AlCl 3 + 3Н 2 О (7)

Cреди реакций соединения следует особым образом отметить следующие: замещения (5), обмена (6), и как частный случай реакции обмена – реакцию нейтрализации (7).

К реакциям замещения относятся такие, при осуществлении которой атомы простого вещества замещают атомы одного из элементов в сложном веществе. В примере (5) атомы цинка замещают из раствора СuCl 2 атомы меди, при этом цинк переходит в растворимую соль ZnCl 2 , а медь выделяется из раствора в металлическом состоянии.

К реакциям обмена относятся такие реакции, при которых два сложных вещества обмениваются своими составными частями. В случае реакции (6) растворимые соли AgNO 3 и КCl при сливании обоих растворов образуют нерастворимый осадок соли AgCl. При этом они обмениваются своими составными частями – катионами и анионами. Катионы калия К + присоединяются к анионам NO 3 , а катионы серебра Ag + – к анионам Cl - .

К особому, частному случаю, реакций обмена относится реакция нейтрализации. К реакциям нейтрализации относятся такие реакции, в процессе которых кислоты реагируют с основаниями, в результате образуется соль и вода. В примере (7) соляная кислота HCl , реагируя с основанием Al(OH) 3 образует соль AlCl 3 и воду. При этом катионы алюминия Al 3+ от основания обмениваются с анионами Сl - от кислоты. В итоге происходит нейтрализация соляной кислоты.

К реакциям разложения относятся такие, при котором из одного сложного образуются два и более новых простых или сложных веществ, но более простого состава. В качестве реакций можно привести такие, в процессе которых разлагаются 1). Нитрат калия (КNO 3) с образованием нитрита калия (КNO 2) и кислорода (O 2); 2). Перманганат калия (KMnO 4): образуются манганат калия (К 2 МnO 4), оксид марганца (MnO 2) и кислород (O 2); 3). Карбонат кальция или мрамор ; в процессе образуются углекислый газ (CO 2) и оксид кальция (СаО)

2КNO 3 = 2КNO 2 + O 2 (8)
2KMnO 4 = К 2 МnO 4 + MnO 2 + O 2 (9)
СаCO 3 = CaO + CO 2 (10)

В реакции (8) из сложного вещества образуется одно сложное и одно простое. В реакции (9) – два сложных и одно простое. В реакции (10) – два сложных вещества, но более простых по составу

Разложению подвергаются все классы сложных веществ:

1). Оксиды: оксид серебра 2Ag 2 O = 4Ag + O 2 (11)

2). Гидроксиды: гидроксид железа 2Fe(OH) 3 = Fe 2 O 3 + 3H 2 O (12)

3). Кислоты: серная кислота H 2 SO 4 = SO 3 + H 2 O (13)

4). Соли: карбонат кальция СаCO 3 = СаO + CO 2 (14)

5). Органические вещества: спиртовое брожение глюкозы

С 6 Н 12 О 6 = 2С 2 Н 5 ОH + 2CO 2 (15)

Согласно другой классификации, все химические реакции можно разделить на два типа: реакции, идущие с выделением теплоты, их называют экзотермические, и реакции, идущие с поглощением теплоты – эндотермические. Критерием таких процессов является тепловой эффект реакции. Как правило, к экзотермическим реакциям относятся реакции окисления, т.е. взаимодействия с кислородом, например сгорание метана :

СН 4 + 2O 2 = СО 2 + 2Н 2 О + Q (16)

а к эндотермическим реакциям – реакции разложения, уже приводимые выше (11) – (15). Знак Q в конце уравнения указывает на то, выделяется ли теплота в процессе реакции (+Q) или поглощается (-Q):

СаCO 3 = СаO+CO 2 - Q (17)

Можно так же рассматривать все химические реакции по типу изменения степени окисления, участвующих в их превращениях элементов. К примеру, в реакции (17) участвующие в ней элементы не меняют свои степени окисления:

Са +2 C +4 O 3 -2 = Са +2 O -2 +C +4 O 2 -2 (18)

А в реакции (16) элементы меняют свои степени окисления:

2Mg 0 + O 2 0 = 2Mg +2 O -2

Реакции такого типа относятся к окислительно-восстановительным . Они будут рассматриваться отдельно. Для составления уравнений по реакциям такого типа необходимо использовать метод полуреакций и применять уравнение электронного баланса.

После приведения различных типов химических реакций, можно приступать к принципу составлений химических уравнений, иначе, подбору коэффициентов в левой и правой их частях.

Механизмы составления химических уравнений.

К какому бы типу ни относилась та или иная химическая реакция, её запись (химическое уравнение) должна соответствовать условию равенства количества атомов до реакции и после реакции.

Существуют такие уравнения (17), которые не требуют уравнивания, т.е. расстановки коэффициентов. Но в большинстве случаях, как в примерах (3), (7), (15), необходимо предпринимать действия, направленные на уравнивание левой и правой частей уравнения. Какими же принципами необходимо руководствоваться в таких случаях? Существует ли какая ни будь система в подборе коэффициентов? Существует, и не одна. К таковым системам относятся:

1). Подбор коэффициентов по заданным формулам.

2). Составление по валентностям реагирующих веществ.

3). Составление по степеням окисления реагирующих веществ.

В первом случае полагается, что нам известны формулы реагирующих веществ как до реакции, так и после. К примеру, дано следующее уравнение:

N 2 + О 2 →N 2 О 3 (19)

Принято считать, что пока не установлено равенство между атомами элементов до реакции и после, знак равенства (=) в уравнении не ставится, а заменяется стрелкой (→). Теперь приступим к собственно уравниванию. В левой части уравнения имеются 2 атома азота (N 2) и два атома кислорода (О 2), а в правой – два атома азота (N 2) и три атома кислорода (О 3). По количеству атомов азота его уравнивать не надо, но по кислороду необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало три атома. Составим следующую схему:

до реакции после реакции
О 2 О 3

Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «6».

О 2 О 3
\ 6 /

Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение:

N 2 + 3О 2 →N 2 О 3

Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3

Количества атомов кислорода и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 6 атомов:

Но количество атомов азота в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:

В левой – два атома, в правой – четыре атома. Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество азота в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:

Таким образом, равенство по азоту соблюдено и в целом, уравнение примет вид:

2N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3

Теперь в уравнении можно вместо стрелки поставит знак равенства:

2N 2 + 3О 2 = 2N 2 О 3 (20)

Приведём другой пример. Дано следующее уравнение реакции:

Р + Cl 2 → РCl 5

В левой части уравнения имеется 1 атом фосфора (Р) и два атома хлора (Cl 2), а в правой – один атом фосфора (Р) и пять атомов кислорода (Cl 5). По количеству атомов фосфора его уравнивать не надо, но по хлору необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало пять атома. Составим следующую схему:

до реакции после реакции
Cl 2 Cl 5

Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «10».

Cl 2 Cl 5
\ 10 /

Разделим это число в левой части уравнения по хлору на «2». Получим число «5», поставим его в решаемое уравнение:

Р + 5Cl 2 → РCl 5

Так же разделим число «10» для правой части уравнения на «5». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

Р + 5Cl 2 → 2РCl 5

Количества атомов хлора и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 10 атомов:

Но количество атомов фосфора в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:

Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество фосфора в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:

Таким образом, равенство по фосфору соблюдено и в целом, уравнение примет вид:

2Р + 5Cl 2 = 2РCl 5 (21)

При составлении уравнений по валентностям необходимо дать определение валентности и установить значения для наиболее известных элементов. Валентность – это одно из ранее применяемых понятий, в настоящее время в ряде школьных программ не используется. Но при его помощи легче объяснить принципы составления уравнений химических реакций. Под валентностью понимают число химических связей, которые тот или иной атом может образовывать с другим, или другими атомами . Валентность не имеет знака (+ или -) и обозначается римскими цифрами, как правило, над символами химических элементов, например:

Откуда берутся эти значения? Как их применять при составлении химических уравнений? Числовые значения валентностей элементов совпадают с их номером группы Периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева (Таблица 1).

Для других элементов значения валентностей могут иметь иные значения, но никогда не больше номера группы, в которой они расположены. Причём для чётных номеров групп (IV и VI) валентности элементов принимают только чётные значения, а для нечётных – могут иметь как чётные, так и нечётные значения (Таблица.2).

Конечно же, в значениях валентностей для некоторых элементов имеются исключения, но в каждом конкретном случае эти моменты обычно оговариваются. Теперь рассмотрим общий принцип составления химических уравнений по заданным валентностям для тех или иных элементов. Чаще всего данный метод приемлем в случае составления уравнений химических реакций соединения простых веществ, например, при взаимодействии с кислородом (реакции окисления ). Допустим, необходимо отобразить реакцию окисления алюминия . Но напомним, что металлы обозначаются единичными атомами (Al), а неметаллы, находящиеся в газообразном состоянии – с индексами «2» - (О 2). Сначала напишем общую схему реакции:

Al + О 2 →AlО

На данном этапе ещё не известно, какое правильное написание должно быть у оксида алюминия. И вот именно на данном этапе нам на помощь придёт знание валентностей элементов. Для алюминия и кислорода проставим их над предполагаемой формулой этого оксида:

III II
Al О

После чего «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:

III II
Al 2 О 3

Состав химического соединения Al 2 О 3 определён. Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:

Al+ О 2 →Al 2 О 3

Остаётся только уравнять левую и правую его части. Поступим таким же способом, как в случае составления уравнения (19). Количества атомов кислорода уравняем, прибегая к нахождению наименьшего кратного:

до реакции после реакции

О 2 О 3
\ 6 /

Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение. Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:

Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3

Что бы добиться равенства по алюминию, необходимо скорректировать его количество в левой части уравнения, поставив коэффициент «4»:

4Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3

Таким образом, равенство по алюминию и кислороду соблюдено и в целом, уравнение примет окончательный вид:

4Al + 3О 2 = 2Al 2 О 3 (22)

Применяя метод валентностей, можно прогнозировать, какое вещество образуется в процессе химической реакции, как будет выглядеть его формула. Допустим, в реакцию соединения вступили азот и водород с соответствующими валентностями III и I. Напишем общую схему реакции:

N 2 + Н 2 → NН

Для азота и водорода проставим валентности над предполагаемой формулой этого соединения:

Как и прежде «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:

III I
N Н 3

Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:

N 2 + Н 2 → NН 3

Уравнивая уже известным способом, через наименьшее кратное для водорода, равное «6»,получим искомые коэффициенты, и уравнение в целом:

N 2 + 3Н 2 = 2NН 3 (23)

При составлении уравнений по степеням окисления реагирующих веществ необходимо напомнить, что степенью окисления того или иного элемента называется число принятых или отданных в процессе химической реакции электронов. Степень окисления в соединениях в основном, численно совпадает со значениями валентностей элемента. Но отличаются знаком. Например, для водорода валентность равна I, а степень окисления (+1) или (-1). Для кислорода валентность равна II, а степень окисления (-2). Для азота валентности равны I,II,III,IV,V, а степени окисления (-3), (+1), (+2), (+3), (+4), (+5) и т.д. Степени окисления наиболее часто применяемых в уравнениях элементов, приведены в таблице 3.

В случае реакций соединения принцип составления уравнений по степеням окисления такой же, как и при составлении по валентностям. Например, приведём уравнение реакции окисления хлора кислородом, в которой хлор образует соединение со степенью окисления +7. Запишем предполагаемое уравнение:

Cl 2 + О 2 → ClО

Поставим над предполагаемым соединением ClО степени окисления соответствующих атомов:

Как и в предыдущих случаях установим, что искомая формула соединения примет вид:

7 -2
Cl 2 О 7

Уравнение реакции примет следующий вид:

Cl 2 + О 2 → Cl 2 О 7

Уравнивая по кислороду, найдя наименьшее кратное между двумя и семи, равное «14», установим в итоге равенство:

2Cl 2 + 7О 2 = 2Cl 2 О 7 (24)

Несколько иной способ необходимо применять со степенями окисления при составлении реакций обмена, нейтрализации, замещения. В ряде случаев предоставляется затруднительным узнать: какие соединения образуются при взаимодействии сложных веществ?

Как узнать: что получится в процессе реакции?

Действительно, как узнать: какие продукты реакции могут возникнут в ходе конкретной реакции? К примеру, что образуется при взаимодействии нитрата бария и сульфата калия?

Ва(NО 3) 2 + К 2 SO 4 → ?

Может быть ВаК 2 (NО 3) 2 + SO 4 ? Или Ва + NО 3 SO 4 + К 2 ? Или ещё что-то? Конечно же, в процессе этой реакции образуются соединения: ВаSO 4 и КNО 3 . А откуда это известно? И как правильно написать формулы веществ? Начнём с того, что чаще всего упускается из вида: с самого понятия «реакция обмена». Это значит, что при данных реакциях вещества меняются друг с другом составными частями. Поскольку реакции обмена в большинстве своём осуществляются межу основаниями, кислотами или солями, то частями, которыми они будут меняться, являются катионы металлов (Na + , Mg 2+ ,Al 3+ ,Ca 2+ ,Cr 3+), ионов Н + или ОН - , анионов – остатков кислот, (Cl - , NO 3 2- ,SO 3 2- , SO 4 2- , CO 3 2- , PO 4 3-). В общем виде реакцию обмена можно привести в следующей записи:

Kt1An1 + Kt2An1 = Kt1An2 + Kt2An1 (25)

Где Kt1 и Kt2 – катионы металлов (1) и (2), а An1 и An2 – соответствующие им анионы (1) и (2). При этом обязательно надо учитывать, что в соединениях до реакции и после реакции на первом месте всегда устанавливаются катионы, а анионы – на втором. Следовательно, если в реакцию вступит хлорид калия и нитрат серебра , оба в растворённом состоянии

KCl + AgNO 3 →

то в процессе её образуются вещества KNO 3 и AgClи соответствующее уравнение примет вид:

KCl + AgNO 3 =KNO 3 + AgCl (26)

При реакциях нейтрализации протоны от кислот (Н +) будут соединяться с анионами гидроксила (ОН -) с образованием воды (Н 2 О):

НCl + КОН = КCl + Н 2 O (27)

Степени окисления катионов металлов и заряды анионов кислотных остатков указаны в таблице растворимости веществ (кислот, солей и оснований в воде). По горизонтали приведены катионы металлов, а по вертикали – анионы кислотных остатков.

Исходя из этого, при составлении уравнения реакции обмена, необходимо вначале в левой его части установить степени окисления принимающих в этом химическом процессе частиц. Например, требуется написать уравнение взаимодействия между хлоридом кальция и карбонатом натрия.Составим исходную схему этой реакции:

СаCl + NаСО 3 →

Са 2+ Cl - + Nа + СО 3 2- →

Совершив уже известное действие «крест»-на-«крест», определим реальные формулы исходных веществ:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 →

Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 → СаСО 3 + NаCl

Над их катионами и анионами проставим соответствующие заряды:

Са 2+ СО 3 2- + Nа + Cl -

Формулы веществ записаны правильно, в соответствии с зарядами катионов и анионов. Составим полное уравнение, уравняв левую и правую его части по натрию и хлору:

СаCl 2 + Nа 2 СО 3 = СаСО 3 + 2NаCl (28)

В качестве другого примера приведём уравнение реакции нейтрализации между гидроксидом бария и ортофосфорной кислотой:

ВаОН + НРО 4 →

Над катионами и анионами проставим соответствующие заряды:

Ва 2+ ОН - + Н + РО 4 3- →

Определим реальные формулы исходных веществ:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 →

Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ, учитывая, что при реакции обмена одним из веществ обязательно должна быть вода:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 2+ РО 4 3- + Н 2 O

Определим правильную запись формулы соли, образовавшейся в процессе реакции:

Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Уравняем левую часть уравнения по барию:

3Ва (ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Поскольку в правой части уравнения остаток ортофосфорной кислоты взят дважды, (РО 4) 2 , то слева необходимо также удвоить её количество:

3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O

Осталось привести в соответствие количество атомов водорода и кислорода в правой части у воды. Так как слева общее количество атомов водорода равно 12, то справа оно так же должно соответствовать двенадцати, поэтому перед формулой воды необходимо поставить коэффициент «6» (поскольку в молекуле воды уже имеется 2 атома водорода). По кислороду так же соблюдено равенство: слева 14 и справа 14. Итак, уравнение имеет правильную форму записи:

3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + 6Н 2 O (29)

Возможность осуществления химических реакций

Мир состоит из великого множества веществ. Неисчислимо так же количество вариантов химических реакций между ними. Но можем ли мы, написав на бумаге то или иное уравнение утверждать, что ему будет соответствовать химическая реакция? Существует ошибочное мнение, что если правильно расставить коэффициенты в уравнении, то оно будет осуществимо и на практике. Например, если взять раствор серной кислоты и опустить в него цинк , то можно наблюдать процесс выделения водорода:

Zn+ H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2 (30)

Но если в этот же раствор опустить медь, то процесс выделения газа наблюдаться не будет. Реакция не осуществима.

Cu+ H 2 SO 4 ≠

В случае, если будет взята концентрированная серная кислота, она будет реагировать с медью:

Cu + 2H 2 SO 4 = CuSO 4 + SO 2 + 2Н 2 O (31)

В реакции (23) между газами азотом и водородом наблюдается термодинамическое равновесие, т.е. сколько молекул аммиака NН 3 образуется в единицу времени, столько же их и распадётся обратно на азот и водород. Смещение химического равновесия можно добиться повышением давления и понижением температуры

N 2 + 3Н 2 = 2NН 3

Если взять раствор гидроксида калия и прилить к нему раствор сульфата натрия , то никаких изменений наблюдаться не будет, реакция будет не осуществима:

КОН + Na 2 SO 4 ≠

Раствор хлорида натрия при взаимодействии с бромом не будет образовывать бром, несмотря на то, что данная реакция может быть отнесена к реакции замещения:

NаCl + Br 2 ≠

В чём же причины таких несоответствий? Дело в том, что оказывается недостаточно только правильно определять формулы соединений , необходимо знать специфику взаимодействия металлов с кислотами, умело пользоваться таблицей растворимости веществ, знать правила замещения в ряду активности металлов и галогенов. В этой статье излагаются только самые основные принципы как расставить коэффициенты в уравнениях реакций , как написать молекулярные уравнения , как определить состав химического соединения.

Химия, как наука, чрезвычайно разнообразна и многогранна. В приведённой статье отражена лишь малая часть процессов, происходящих в реальном мире. Не рассмотрены типы , термохимические уравнения, электролиз, процессы органического синтеза и многое, многое другое. Но об этом в следующих статьях.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

• Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
• Как ?
• Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
• Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

Составить уравнение - значит выразить в математической форме связь между данными (известными) задачи и искомыми (неизвестными) ее величинами. Иногда эта связь, настолько явно содержится в формулировке задачи, что составление уравнения есть просто дословный пересказ задачи, на языке математических знаков.

Пример 1. Петров получил за работу на 160 руб. больше, чем половина суммы, которую получил Иванов. Вместе они получили 1120 руб. Сколько получили за работу Петров и Иванов? Обозначим через х заработок Иванова. Половина его заработка есть 0,5x ; месячной заработок Петрова 0,5x + 160 вместе они зарабатывают 1120 руб.; математическая запись последней фразы будет

(0,5x + 160) + x = 1120.

Уравнение составлено. Решая его по раз установленным правилам, находим, заработок Иванова х = 640руб.; заработок же Петрова 0,5x+ 160=480 (руб.).

Чаше, однако, случается, что связь между данными и искомыми величинами не указывается в задаче прямо; ее нужно установить, исходя из условий задачи. В практических задачах так и бывает почти всегда. Только что приведенный пример носит надуманный характер; в жизни почти никогда подобных задач не встречается.

Для составления уравнения поэтому нельзя дать вполне исчерпывающих указаний. Однако на первых порах полезно руководствоваться следующим. Примем за значение искомой величины (или нескольких величин) какое-нибудь наугад взятое число (или несколько чисел) и поставим себе задачу проверить, угадали ли мы правильное решение задачи или нет. Если мы сумели провести эту проверку и обнаружить либо то, что догадка наша верна, либо то, что она неверна (скорее всего случится, конечно, второе), то мы немедленно можем составить нужное уравнение (или несколько уравнений). Именно, запишем те самые действия, которые мы производили для проверки, только вместо наугад взятого числа введем буквенной знак неизвестной величины. Мы получим требуемое уравнение.

Пример 2. Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм3 весит 8,14 кг. Сколько меди содержится в сплаве? (уд. вес меди 8,9 кг/дм3; цинка - 7,0 кг/дм3).

Возьмем наугад число, выражающее искомый объем меди, например 0,3 дм3. Проверим, удачно ли мы взяли это число. Так как 1 кг/дм3 меди весит 8,9 кг, то 0,3 дм3 весят 8,9 * 0,3 = 2,67 (кг). Объем цинка в сплаве есть 1 - 0,3 = 0,7 (дм3). Вес его 7,0 0,7 = 4,9 (кг). Общий вес цинка и меди 2,67+ +4,9 = 7,57 (кг). Между тем вес нашего куска, по условию задачи, 8,14 кг. Догадка наша несостоятельна. Но зато мы немедленно получим уравнение решение которого даст правильный ответ. Вместо наугад взятого числа 0,3 дм3 обозначим объем меди (в дм3) через х. Вместо произведения 8,9 0,3 = 2,67 берем произведшие 8,9 x. Это - вес меди в сплаве. Вместо 1 – 0,3 = 0,7 берем 1 - х; это - объем цинка. Вместо 7,0 0,7 = 4,9 берем 7,0 (1 - x); это - вес цинка. Вместо 2,67+4,9 берем 8,9х + 7,0 (1 - х); это - общий вес цинка и меди. По условию он равен 8,14 кг; значит, 8,9х +7,0 (1 - x)= 8,14.

Решение этого уравнения дает x = 0,6. Проверку наугад взятого решения можно делать различными способами; соответственно этому можно получить для одной и той же задачи различные виды уравнения; все они, однако, дадут для искомой величины одно и, то же решение, такие уравнения называются равносильными друг другу.

Разумеется, после получения навыков в составлении уравнений нет нужды производить проверку наугад взятого числа: можно для значения искомой величины брать не число, а какую-нибудь букву (х, у и т. д.) и поступать так, как если бы эта буква (неизвестное) была тем числом, проверить которое мы собираемся.

Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.

Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем путем логических рассуждений составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.

Содержание урока

Запись выражений, содержащих неизвестное

Решение задачи сопровождается составлением уравнения к этой задаче. На начальном этапе изучения задач желательно научиться составлять буквенные выражения, описывающие ту или иную жизненную ситуацию. Этот этап не является сложным и его можно изучать в процессе решения самой задачи.

Рассмотрим несколько ситуаций, которые можно записать с помощью математического выражения.

Задача 1 . Возраст отца x лет. Мама на два года младше. Сын младше отца в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 2 . Возраст отца x лет, мама на 2 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 3 . Возраст отца x лет, мама на 3 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Сколько лет каждому, если общий возраст отца, мамы, сына и дочери составляет 92 года?

Решение:

В данной задаче помимо записи выражений, необходимо вычислить возраст каждого члена семьи.

Сначала запишем возраст каждого члена семьи с помощью выражений. За переменную x примем возраст отца, и далее пользуясь этой переменной составим остальные выражения:

Теперь определим возраст каждого члена семьи. Для этого нам нужно составить и решить уравнение. Все компоненты уравнения у нас уже готовы. Осталось только собрать их воедино.

Общий возраст в 92 года получился путем сложения возрастов папы, мамы, сына и дочери:

Для каждого возраста мы составили математическое выражение. Эти выражения и будут компонентами нашего уравнения. Давайте соберем наше уравнение согласно данной схеме и таблице, которая была приведена выше. То есть, слова папа, мама, сын, дочь заменим на соответствующее им в таблице выражение:

Выражение, отвечающее за возраст мамы x − 3, для наглядности было взято в скобки.

Теперь решим получившееся уравнение. Для начала можно раскрыть скобки там, где это можно:

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части на 3

Решим получившееся уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Мы нашли значение переменной x . Эта переменная отвечала за возраст отца. Значит возраст отца составляет 36 лет.

Зная возраст отца, можно вычислить возрасты остальных членов семьи. Для этого нужно подставить значение переменной x в те выражения, которые отвечают за возраст конкретного члена семьи.

В задаче было сказано, что мама на 3 года младше отца. Ее возраст мы обозначили через выражение x−3. Значение переменной x теперь известно, и чтобы вычислить возраст мамы, нужно в выражении x − 3 вместо x подставить найденное значение 36

x − 3 = 36 − 3 = 33 года маме.

Аналогично определяется возраст остальных членов семьи:

Проверка :

Задача 4 . Килограмм яблок стоит x рублей. Запишите выражение, вычисляющее сколько килограмм яблок можно купить на 300 рублей.

Решение

Если килограмм яблок стоит x рублей, то на 300 рублей можно купить килограмм яблок.

Пример . Килограмм яблок стоит 50 рублей. Тогда на 300 рублей можно купить , то есть 6 килограмм яблок.

Задача 5 . На x рублей было куплено 5 кг яблок. Запишите выражение, вычисляющее сколько рублей стоит один килограмм яблок.

Решение

Если за 5 кг яблок было уплачено x рублей, то один килограмм будет стоит рублей

Пример . За 300 рублей было куплено 5 кг яблок. Тогда один килограмм яблок будет стоит , то есть 60 рублей.

Задача 6 . Том, Джон и Лео на перемене пошли в столовую и купили по бутерброду и по кружке кофе. Бутерброд стоит x рублей, а кружка кофе — 15 рублей. Определите стоимость бутерброда, если известно, что за всё было уплачено 120 рублей?

Решение

Конечно, данная задача проста как три копейки и ее можно решить не прибегая к уравнению. Для этого из 120 рублей нужно вычесть стоимость трех кружек кофе (15 × 3) , и полученный результат разделить на 3

Но наша цель — составить уравнение к задаче и решить это уравнение. Итак, стоимость бутерброда x рублей. Куплено их всего три. Значит увеличив стоимость в три раза, мы получим выражение описывающее сколько рублей было уплачено за три бутерброда

3x — стоимость трех бутербродов

А стоимость трех кружек кофе можно записать как 15 × 3 . 15 это стоимость одной кружки кофе, а 3 множитель (Том, Джон и Лео), увеличивающий эту стоимость в три раза.

По условию задачи за все уплачено 120 рублей. У нас уже появляется примерная схема, что нужно делать:

Выражения, описывающие стоимость трех бутербродов и трех кружек кофе, у нас уже готовы. Это выражения 3x и 15 × 3 . Пользуясь схемой составим уравнение и решим его:

Итак, стоимость одного бутерброда составляет 25 рублей.

Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.

Также необходимо помнить, что уравнение это равенство, после решения которого левая часть должна будет равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.

Представим, что уравнение это весы с двумя чашами и экраном, показывающим состояние весов.

В данный момент экран показывает знак равенства. Понятно почему левая чаша равна правой чаше — на чашах ничего нет. Состояние весов и отсутствие на чашах чего-либо запишем с помощью следующего равенства:

0 = 0

Положим на левую чашу весов арбуз:

Левая чаша перевесила правую чашу и экран забил тревогу, показав знак не равно (≠). Этот знак говорит о том, что левая чаша не равна правой чаше.

Теперь попробуем решить задачу. Пусть требуется узнать сколько весит арбуз, который лежит на левой чаше. Но как это узнать? Ведь наши весы предназначены только для проверки равна ли левая чаша правой.

На помощь приходят уравнения. Вспомним, что уравнение по определению есть равенство , содержащее в себе переменную значение которой требуется найти. Весы в данном случае играют роль этого самого уравнения, а масса арбуза это переменная, значение которой нужно найти. Наша цель правильно составить это уравнение. Понимай, выровнять весы так, чтобы можно было вычислить массу арбуза.

Чтобы выровнять весы, на правую чашу можно положить какой-нибудь тяжелый предмет. Например, положим туда гирю массой 7 кг.

Теперь наоборот правая чаша перевесила левую. Экран по прежнему показывает, что чаши не равны.

Попробуем на левую чашу положить гирю массой 4 кг

Теперь весы выровнялись. На рисунке видно, что левая чаша на уровне правой чаши. А экран показывает знак равенства. Этот знак говорит о том, что левая чаша равна правой чаше.

Таким образом мы получили уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Левая чаша — это левая часть уравнения, состоящая из компонентов 4 и переменной x (массы арбуза), а правая чаша — это правая часть уравнения, состоящая из компонента 7.

Ну и нетрудно догадаться, что корень уравнения 4 + x = 7 равен 3. Значит масса арбуза равна 3 кг.

Аналогично дела обстоят и с другими задачами. Чтобы найти какое-нибудь неизвестное значение, к левой или к правой части уравнения добавляют различные элементы: слагаемые, множители, выражения. В школьных задачах эти элементы бывают уже даны. Остается только правильно структурировать их и построить уравнение. Мы же в данном примере занимались подбором, пробуя гири разной массы, чтобы вычислить массу арбуза.

Естественно, те данные которые даны в задаче сначала нужно привести к виду, при котором их можно включить в уравнение. Поэтому, как говорят «хочешь не хочешь, а думать придётся» .

Рассмотрим следующую задачу. Возраст отца равен возрасту сына и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на двадцать лет моложе отца. Сколько лет каждому?

Возраст дочери можно обозначить через x . Если сын вдвое старше дочери, то его возраст будет обозначаться как 2x . В условии задачи сказано, что вместе возраст дочери и сына равен возрасту отца. Значит возраст отца будет обозначаться суммой x + 2x

В выражении можно привести подобные слагаемые. Тогда возраст отца будет обозначаться как 3x

Теперь составим уравнение. Нам нужно получить равенство в котором можно найти неизвестное x . Воспользуемся весами. На левую чашу положим возраст отца (3x ) , а на правую чашу возраст сына (2x )

Понятно почему левая чаша перевесила правую и почему экран показывает знак (≠) . Ведь логично, что возраст отца больше возраста сына.

Но нам нужно уравнять весы, чтобы можно было вычислить неизвестное x . Для этого к правой чаше нужно прибавить какое-нибудь число. Какое именно число указано в задаче. В условии было сказано, что сын моложе отца на 20 лет. Значит 20 лет это то самое число, которое нужно положить на весы.

Весы выровняться, если мы эти 20 лет добавим на правую чашу весов. Иными словами, вырастим сына до возраста отца

Теперь весы выровнялись. Получилось уравнение , которое решается легко:

x мы обозначили возраст дочери. Теперь мы нашли значение этой переменной. Дочери 20 лет.

Ну и наконец вычислим возраст отца. В задаче было сказано, что он равен сумме возрастов сына и дочери, то есть (20 + 40) лет.

Вернемся к середине задачи и обратим внимание на один момент. Когда мы положили на весы возраст отца и возраст сына, левая чаша перевесила правую

Но мы решили эту проблему, добавив на правую чашу еще 20 лет. В результате весы выровнялись и мы получили равенство

Но можно было не добавлять к правой чаше эти 20 лет, а вычесть их из левой. Мы получили бы равенство и в таком случае

В этот раз получается уравнение . Корень уравнения по прежнему равен 20

То есть, уравнения и являются равносильными. А мы помним, что у равносильных уравнений корни совпадают. Если внимательно посмотреть на эти два уравнения, то можно увидеть что второе уравнение получено путем переноса числа 20 из правой части в левую с противоположным знаком. А это действие, как было указано в предыдущем уроке, не меняет корней уравнения.

Также нужно обратить внимание на то, что в начале решения задачи возрасты каждого члена семьи можно было обозначить через другие выражения.

Скажем возраст сына обозначить через x и поскольку он двое старше дочери, то возраст дочери обозначить через (понимай сделать её младше сына в два раза). А возраст отца поскольку он является суммой возрастов сына и дочери обозначить через выражение . Ну и напоследок для построения логически правильного уравнения, к возрасту сына нужно прибавить число 20, ведь отец старше на двадцать лет. В итоге получается совсем другое уравнение . Решим это уравнение

Как видно ответы к задаче не поменялись. Сыну по прежнему 40 лет. Дочери по прежнему лет, а отцу 40 + 20 лет.

Другими словами, задача может решаться различными методами. Поэтому не следует отчаиваться, что не получается решить ту или иную задачу. Но нужно иметь ввиду, что существует наиболее простые пути решения задачи. К центру города можно доехать различными маршрутами, но всегда существует наиболее удобный, быстрый и безопасный маршрут.

Примеры решения задач

Задача 1. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение

Обозначим через x количество тетрадей, которое было в первой пачке. Если всего тетрадей было 30, а переменная x это количество тетрадей из первой пачке, то количество тетрадей во второй пачке будет обозначаться через выражение 30 − x . То есть, от общего количества тетрадей вычитаем количество тетрадей из первой пачки и тем самым получаем количество тетрадей из второй пачки.

и добавим эти две тетради во вторую пачку

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на весы обе пачки тетрадей

Левая чаша тяжелее правой. Это потому, что в условии задачи сказано, что после того как из первой пачки взяли две тетради и положили их во вторую, количество тетрадей в первой пачке стало вдвое больше, чем во второй.

Чтобы выровнять весы и получить уравнение, увеличим правую часть вдвое. Для этого умножим её на 2

Получается уравнение . Решим данное уравнение:

Первую пачку мы обозначали через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 22. Значит в первой пачке было 22 тетради.

А вторую пачку мы обозначали через выражение 30 − x и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить количество тетрадей во второй пачке. Оно равно 30 − 22 , то есть 8 шт .

Задача 2 . Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а второй — три картофелины. Вместе они очистили 400 шт. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

Решение

Обозначим через x время работы первого человека. Поскольку второй человек проработал на 25 минут больше первого, то его время будет обозначаться через выражение

Первый рабочий в минуту очищал 2 картофелины, и поскольку он работал x минут, то всего он очистил 2x картофелин.

Второй человек в минуту очищал три картофелины, и поскольку он работал минут, то всего он очистил картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин

Из имеющихся компонентов составим и решим уравнение. В левой части уравнения будут картофелины, очищенные каждым человеком, а в правой части их сумма:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили время работы первого человека. Теперь мы нашли значение этой переменной. Первый человек работал 65 минут.

А второй человек работал минут, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить время работы второго человека — оно равно 65 + 25 , то есть 90 мин .

Задача из Учебника по алгебре Андрея Петровича Киселева . Из сортов чая составлена смесь в 32 кг. Килограмм первого сорта стоит 8 руб., а второго сорта 6 руб. 50 коп. Сколько килограммов взято того и другого сорта, если килограмм смеси стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 10 коп.?

Решение

Обозначим через x массу чая первого сорта. Тогда масса чая второго сорта будет обозначаться через выражение 32 − x

Килограмм чая первого сорта стоит 8 руб. Если эти восемь рублей умножить на количество килограмм чая первого сорта, то можно будет узнать во сколько рублей обошлись x кг чая первого сорта.

А килограмм чая второго сорта стоит 6 руб. 50 коп. Если эти 6 руб. 50 коп. умножить на 32 − x , то можно узнать во сколько рублей обошлись 32 − x кг чая второго сорта.

В условии сказано, что килограмм смеси стоит 7 руб. 10 коп. Всего же было приготовлено 32 кг смеси. Умножим 7 руб. 10 коп. на 32 мы сможем узнать сколько стоит 32 кг смеси.

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на левую чашу весов стоимость смесей чая первого и второго сорта, а на правую чашу положим стоимость 32 кг смеси, то есть общую стоимость смеси, в составе которой оба сорта чая:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили массу чая первого сорта. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 12,8. Значит для приготовления смеси было взято 12,8 кг чая первого сорта.

А через выражение 32 − x мы обозначили массу чая второго сорта и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить массу чая второго сорта. Оно равно 32 − 12,8 то есть 19,2 . Значит для приготовления смеси было взято 19,2 кг чая второго сорта.

Задача 3 . Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на минут более. Как длинны были дороги?

Решение

Некоторые задачи могут затрагивать темы, которые человек возможно не изучал. Данная задача относится к такому кругу задач. В ней затрагиваются понятия расстояния, скорости и времени. Соответственно, чтобы решить подобную задачу, нужно иметь представление о тех вещах, о которых говорится в задаче. В нашем случае, надо знать что представляет собой расстояние, скорость и время.

В задаче нужно найти расстояния двух дорог. Мы должны составить уравнение, которое позволит вычислить эти расстояния.

Вспомним, как взаимосвязаны расстояние, скорость и время. Каждая из этих величин может быть описана с помощью буквенного уравнения:

Правую часть одного из этих уравнений мы будем использовать для составления своего уравнения. Чтобы узнать какую именно, нужно вернуться к тексту задачи и поискать за что можно зацепиться

Зацепиться можно за момент, где велосипедист на обратном пути употребил времени на минут более. Эта подсказка указывает нам, что можно воспользоваться уравнением , а именно его правой частью. Это позволит нам составить уравнение, которое содержит переменную S .

Итак, обозначим длину первой дороги через S . Этот путь велосипедист проехал со скоростью 8 км/ч . Время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением , поскольку время это отношение пройденного расстояния к скорости

Обратная дорога для велосипедиста была длиннее на 3 км . Поэтому её расстояние будет обозначаться через выражение S + 3 . Эту дорогу велосипедист проехал со скоростью 9 км/ч . А значит время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением .

Теперь составим уравнение из имеющихся выражений

Правая чаша тяжелее левой. Это потому, что в задаче сказано, что на обратную дорогу велосипедист затратил времени на больше.

Чтобы уравнять весы прибавим к левой части эти самые минут. Но сначала переведем минуты в часы, поскольку в задаче скорость измеряется в километрах в час, а не в метрах в минуту.

Чтобы минут перевести в часы, нужно разделить их на 60

Минут составляют часа. Прибавляем эти часа к левой части уравнения:

Получается уравнение . Решим данное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, обе части части можно умножить на 72. Далее пользуясь известными тождественными преобразованиями, найдем значение переменной S

Через переменную S мы обозначали расстояние первой дороги. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная S равна 15. Значит расстояние первой дороги составляет 15 км.

А расстояние второй дороги мы обозначили через выражение S + 3 , и поскольку значение переменной S теперь известно, то можно вычислить расстояние второй дороги. Это расстояние равно сумме 15 + 3 , то есть 18 км .

Задача 4 . По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Решение

Обозначим через v скорость каждой машины. Далее в задаче приводятся подсказки: скорость первой машины увеличить на 10 км/ч, а скорость второй — уменьшить на 10 км/ч. Воспользуемся этой подсказкой

Далее говорится, что при таких скоростях (увеличенных и уменьшенных на 10 км/ч) первая машина пройдет за 2 часа столько же расстояния сколько вторая за 3 часа. Фразу «столько же» можно понимать как «расстояние, пройденное первой машиной, будет равно расстоянию, пройденному второй машиной» .

Расстояние как мы помним, определяется по формуле . Нас интересует правая часть этого буквенного уравнения — она позволит нам составить уравнение, содержащее переменную v .

Итак, при скорости v + 10 км/ч первая машина пройдет 2(v+10) км , а вторая пройдет 3(v − 10) км . При таком условии машины пройдут одинаковые расстояния, поэтому для получения уравнения достаточно соединить эта два выражения знаком равенства. Тогда получим уравнение . Решим его:

В условии задачи было сказано, что машины идут с одинаковой скоростью. Мы обозначили эту скорость через переменную v . Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная v равна 50. Значит скорость обеих машин составляла 50 км/ч.

Задача 5 . За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

Обозначим через v собственную скорость теплохода. Скорость течения реки равна 2 км/ч. По течению реки скорость теплохода будет составлять v + 2 км/ч , а против течения — (v − 2) км/ч .

В условии задачи сказано, что за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Фразу «тот же путь» можно понимать как «расстояние, пройденное теплоходом по течению реки за 9 часов, равно расстоянию, пройденному теплоходом против течения реки за 11 часов» . То есть, расстояния будут одинаковыми.

Расстояние определяется по формуле . Воспользуемся правой частью этого буквенного уравнения для составления своего уравнения.

Итак, за 9 часов по течению реки теплоход пройдет 9(v + 2) км , а за 11 часов против течения — 11(v − 2) км . Поскольку оба выражения описывают одно и то же расстояние, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение . Решим его:

Значит собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

При решении задач полезной привычкой является заранее определить на каком ищется для неё решение.

Допустим, что в задаче требовалось найти время, за которое пешеход преодолеет указанный путь. Мы обозначили время через переменную t , далее составили уравнение, содержащее эту переменную и нашли её значение.

Из практики мы знаем, что время движения объекта может принимать как целые значения, так и дробные, например 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч. Тогда можно сказать, что решение данной задачи ищется на множестве рациональных чисел Q , поскольку каждое из значений 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч может быть представлено в виде дроби.

Поэтому после того, как неизвестную величину обозначили через переменную, полезно указать к какому множеству эта величина принадлежит. В нашем примере время t принадлежит множеству рациональных чисел Q

t ∈ Q

Ещё можно ввести ограничение для переменной t , указав что она может принимать только положительные значения. Действительно, если объект затратил на путь определенное время, то это время не может быть отрицательным. Поэтому рядом с выражением t ∈ Q укажем, что её значение должно быть больше нуля:

t ∈ R , t > 0

Если решив уравнение, мы получим отрицательное значение для переменной t , то можно будет сделать вывод, что задача решена неправильно, поскольку это решение не будет удовлетворять условию t ∈ Q , t > 0 .

Ещё пример. Если бы мы решали задачу в которой требовалось найти количество человек для выполнения той или иной работы, то это количество мы обозначили бы через переменную x . В такой задаче решение искалось бы на множестве натуральных чисел

x ∈ N

Действительно, количество человек является целым числом, например 2 человека, 3 человека, 5 человек. Но никак не 1,5 (один целый человек и половина человека) или 2,3 (два целых человека и еще три десятых человека).

Здесь можно было бы указать, что количество человек должно быть больше нуля, но числа входящие во множество натуральных чисел N сами по себе являются положительными и большими нуля. В этом множестве нет отрицательных чисел и числа 0. Поэтому выражение x > 0 можно не писать.

Задача 6 . Для ремонта школы прибыла бригада в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально

Решение

Обозначим через x плотников, прибывших на ремонт первоначально.

Количество плотников является целым числом, большим нуля. Поэтому укажем, что x принадлежит множество натуральных чисел

x ∈ N

Маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Поэтому количество маляров будет обозначаться как 2,5x .

А количество маляров увеличим на 4

Теперь количество плотников и маляров будут обозначаться через следующие выражения:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений:

Правая чаша больше, поскольку после включения в бригаду ещё четырёх маляров, и перемещения двух плотников на другой объект, количество маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Чтобы уравнять весы, нужно левую чашу увеличить в 4 раза:

Получили уравнение . Решим его:

Через переменную x было обозначено первоначальное количество плотников. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 8. Значит 8 плотников было в бригаде первоначально.

А количество маляров было обозначено через выражение 2,5 x и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить количество маляров — оно равно 2,5 × 8 , то есть 20 .

Возвращаемся к началу задачи и удостоверяемся, что соблюдается условие x ∈ N. Переменная x равна 8, а элементы множества натуральных чисел N это все числа, начинающиеся с 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. В это же множество входит число 8, которое мы нашли.

8 ∈ N

Тоже самое можно сказать о количестве маляров. Число 20 принадлежит множеству натуральных чисел:

20 ∈ N

Для понимания сути задачи и правильного составления уравнения, вовсе необязательно использовать модель весов с чашами. Можно использовать и другие модели: отрезки, таблицы, схемы. Можно придумать свою модель, которая хорошо описывала бы суть задачи.

Задача 9 . Из бидона отлили 30% молока. В результате в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Решение

Искомое значение это первоначальное число литров в бидоне. Изобразим число литров в виде линии и подпишем эту линию как X

Сказано, что из бидона отлили 30% молока. Выделим на рисунке приблизительно 30%

Процент по определению есть одна сотая часть чего-то. Если 30% молока отлили, то остальные 70% остались в бидоне. На эти 70% приходятся 14 литров, указанные в задаче. Выделим на рисунке оставшиеся 70%

Теперь можно составить уравнение. Вспомним, как находить процент от числа. Для этого общее количество чего-то делят на 100 и полученный результат умножают на искомое количество процентов. Замечаем, что 14 литров, составляющих 70% можно получить таким же образом: первоначальное число литров X разделить на 100 и полученный результат умножить на 70. Всё это приравнять к числу 14

Или получить более простое уравнение: 70% записать как 0,70, затем умножить на X и приравнять это выражение к 14

Значит первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Задача 9 . Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1: 9, а в другом 2: 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1: 4?

Решение

Попробуем сначала узнать сколько золота и серебра будет содержаться в 15 кг нового сплава. В задаче сказано, что содержание этих металлов должно быть в отношении 1: 4, то есть на одну часть сплава должно приходиться золото, а на четыре части — серебро. Тогда всего частей в сплаве будет 1 + 4 = 5, а масса одной части будет 15: 5 = 3 кг.

Определим сколько золота будет содержаться в 15 кг сплава. Для этого 3 кг умножим на количество частей золота:

3 кг × 1 = 3 кг

Определим сколько серебра будет содержаться в 15 кг сплава:

3 кг × 4 = 12 кг

Значит сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота и 12 кг серебра. Теперь вернёмся к исходным сплавам. Использовать нужно каждый из них. Обозначим через x массу первого сплава, а массу второго сплава можно обозначить через 15 − x

Выразим в процентах все отношения, которые даны в задаче и заполним ими следующую таблицу:

В первом сплаве золото и серебро находятся в отношении 1: 9. Тогда всего частей будет 1 + 9 = 10 . Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 10% занесём в первую строку в графу «процент золота в сплаве» , 90% также занесём в первую строку графу «процент серебра в сплаве» , а в последнюю графу «масса сплава» занесём переменную x , поскольку так мы обозначили массу первого сплава:

Аналогично поступаем со вторым сплавом. Золото и серебро в нём находятся в отношении 2: 3. Тогда всего частей будет 2 + 3 = 5. Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 40% занесем во вторую строку в графу «процент золота в сплаве» , 60% также занесём во вторую строку графу «процент серебра в сплаве» , а в последнюю графу «масса сплава» занесём выражение 15 − x , поскольку так мы обозначили массу второго сплава:

Заполним последнюю строку. Полученный сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота, что составляет сплава, а серебра будет сплава. В последнюю графу записываем массу полученного сплава 15

Теперь по данной таблице можно составить уравнения. Вспоминаем . Если мы отдельно сложим золото обоих сплавов и приравняем эту сумму к массе золота полученного сплава, то сможем узнать чему равно значение x .

В первом сплаве золота было 0,10x , а во втором сплаве золота было 0,40(15 − x ) . Тогда в полученном сплаве масса золота будет суммой масс золота первого и второго сплавов и эта масса составляет 20% от нового сплава. А 20% от нового сплава это 3 кг золота, вычисленные нами ранее. В результате получаем уравнение 0,10x + 0.40(15 − x ) = 3 . Решим это уравнение:

Изначально через x мы обозначили массу первого сплава. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 10. А массу второго сплава мы обозначили через 15 − x , и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить массу второго сплава, она равна 15 − 10 = 5 кг .

Значит для получения нового сплава массой 15 кг в котором золото и серебро относились бы как 1: 4, нужно взять 10 кг первого и 5 кг второго сплава.

Уравнение можно было составить, воспользовавшись и вторым столбцом получившейся таблицы. Тогда мы получили бы уравнение 0,90x + 0.60(15 − x ) = 12. Корень этого уравнения тоже равен 10

Задача 10 . Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько надо взять бедной руды, чтобы получить при смешивании с богатой 20 тонн с содержанием меди 8%?

Решение

Обозначим через x массу бедной руды. Поскольку нужно получить 20 тонн руды, то богатой руды будет взято 20 − x . Поскольку содержание меди в бедной руде составляет 6%, то в x тоннах руды будет содержаться 0,06x тонн меди. В богатой руде содержание меди составляет 11%, а в 20 − x тоннах богатой руды будет содержаться 0,11(20 − x ) тонн меди.

В получившихся 20 тоннах руды содержание меди должно составлять 8%. Значит в 20 тоннах руды меди будет содержаться 20 × 0,08 = 1,6 тонн.

Сложим выражения 0,06x и 0,11(20 − x ) и приравняем эту сумму к 1,6. Получим уравнение 0,06x + 0,11(20 − x ) = 1,6

Решим данное уравнение:

Значит для получения 20 тонн руды с содержанием меди 8%, нужно взять 12 тонн бедной руды. Богатой же будет взято 20 − 12 = 8 тонн.

Задача 11 . Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Решение

Длину дистанции (или расстояние дистанции) можно описать следующим буквенным уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения. Изначально спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 250t

Затем спортсменка увеличила свою скорость до 300 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 300t

Заметим, что длина дистанции это величина постоянная. От того, что спортсменка увеличит скорость или уменьшит её, длина дистанции останется неизменной.

Это позволяет нам приравнять выражение 250t к выражению 300t , поскольку оба выражения описывают длину одной и той же дистанции

250t = 300t

Но в задаче сказано, что при скорости 300 метров в минуту спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Другими словами, при скорости 300 метров в минуту, время движения уменьшится на единицу. Поэтому в уравнении 250t = 300t в правой части время нужно уменьшить на единицу:

При скорости 250 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за 6 минут. Зная скорость и время, можно определить длину дистанции:

S = 250 × 6 = 1500 м

А при скорости 300 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за t − 1 , то есть за 5 минут. Как было сказано ранее длина дистанции не меняется:

S = 300 × 5 = 1500 м

Задача 12 . Всадник догоняет пешехода, находящегося впереди него на 15 км. Через сколько часов всадник догонит пешехода, если каждый час первый проезжает по 10 км, а второй проходит только по 4 км?

Решение

Данная задача является . Её можно решить, определив скорость сближения и разделив изначальное расстояние между всадником и пешеходом на эту скорость.

Скорость сближения определяется вычитанием меньшей скорости из большей:

10 км/ч − 4 км/ч = 6 км/ч (скорость сближения)

С каждым часом расстояние в 15 километров будут сокращаться на 6 км. Чтобы узнать, когда оно сократится полностью (когда всадник догонит пешехода), нужно 15 разделить на 6

15: 6 = 2,5 ч

2,5 ч это два целых часа и половина часа. А половина часа это 30 минут. Значит всадник догонит пешехода через 2 часа 30 минут.

Решим эту задачу с помощью уравнения.

После этого вслед за ним в путь вышел всадник со скоростью 10 км/ч. А скорость пешехода составляет только 4 км/ч. Это значит, что всадник через некоторое время догонит пешехода. Это время нам нужно найти.

Когда всадник догонит пешехода это будет означать, что они вместе прошли одинаковое расстояние. Расстояние, пройденное всадником и пешеходом описывается следующим уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения.

Расстояние, пройденное всадником, будет описываться выражением 10t . Поскольку пешеход вышел в путь раньше всадника и успел преодолеть 15 км, то расстояние пройденное им будет описываться выражением 4t + 15 .

На момент, когда всадник догонит пешехода, оба они пройдут одинаковое расстояние. Это позволяет нам приравнять расстояния, пройденные всадником и пешеходом:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Из одного города в другой пассажирский поезд приезжает на 45 мин быстрее товарного. Вычисли расстояние между городами, если скорость пассажирского поезда 48 км/ч, а товарного 36 км/ч.

Решение

Скорости поездов в данной задаче измеряются в километрах в час. Поэтому 45 мин, указанные в задаче, переведем в часы. 45 мин это 0,75 ч

Обозначим время, за которое товарный поезд приезжает в город, через переменную t . Поскольку пассажирский поезд приезжает в этот город на 0,75 ч быстрее, то время его движения будет обозначаться через выражение t − 0,75

Пассажирский поезд преодолел 48(t − 0.75) км, а товарный 36t км. Поскольку речь идет об одном и том же расстоянии, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 48(t − 0.75) = 36t . Решим его:

Теперь вычислим расстояние между городами. Для этого скорость товарного поезда (36 км/ч) умножим на время его движения t. Значение переменной t теперь известно — оно равно трём часам

36 × 3 = 108 км

Для вычисления расстояния можно воспользоваться и скоростью пассажирского поезда. Но в этом случае значение переменной

Значение переменной t равно 1,2. Значит автомобили встретились через 1,2 часа.

Ответ: автомобили встретились через 1,2 часа.

Задача 3. В трех цехах завода всего 685 рабочих. Во втором цехе рабочих в три раза больше, чем в первом, а в третьем — на 15 рабочих меньше, чем во втором цехе. Сколько рабочих в каждом цехе?

Решение

Пусть x рабочих было в первом цехе. Во втором цехе было в три раза больше, чем в первом, поэтому количество рабочих во втором цехе можно обозначить через выражение 3x . В третьем цехе было на 15 рабочих меньше, чем во втором. Поэтому количество рабочих в третьем цехе можно обозначить через выражение 3x − 15 .

В задаче сказано, что всего рабочих было 685. Поэтому можно сложить выражения x , 3x , 3x − 15 и приравнять эту сумму к числу 685. В результате получим уравнение x + 3x + (3x − 15) = 685

Через переменную x было обозначено количество рабочих в первом цехе. Теперь мы нашли значение этой переменной, оно равно 100. Значит в первом цехе было 100 рабочих.

Во втором цехе было 3x рабочих, то есть 3 × 100 = 300 . А в третьем цехе было 3x − 15 , то есть 3 × 100 − 15 = 285

Ответ: в первом цехе было 100 рабочих, во втором — 300, в третьем — 285.

Задача 4. Две ремонтные мастерские в течение недели должны отремонтировать по плану 18 моторов. Первая мастерская выполнила план на 120%, а вторая — на 125%, поэтому в течение недели отремонтировали 22 мотора. Какой план по ремонту моторов на неделю имела каждая мастерская?

Решение

Пусть x моторов должна была отремонтировать первая мастерская. Тогда вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − x моторов .

Поскольку первая мастерская выполнила свой план на 120%, это означает что она отремонтировала 1,2x моторов. А вторая мастерская выполнила свой план на 125%, значит она отремонтировала 1,25(18 − x ) моторов.

В задаче сказано, что было отремонтировано 22 мотора. Поэтому можно сложить выражения 1,2x и 1,25(18 − x ) , затем приравнять эту сумму к числу 22. В результате получим уравнение 1,2x + 1,25(18 − x ) = 22

Через переменную x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать первая мастерская. Теперь мы нашли значение этой переменной, она равна 10. Значит первая мастерская должны была отремонтировать 10 моторов.

А через выражение 18 − x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать вторая мастерская. Значит вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − 10 = 8 моторов.

Ответ: первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов, а вторая — 8 моторов.

Задача 5. Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 руб. Сколько стоил товар до повышения цены?

Решение

Пусть x рублей стоил товар до повышения цены. Если цена увеличилась на 30% это означает, что она увеличилась на 0,30x рублей. После повышения цены товар начал стоить 91 руб. Сложим x с 0,30x и приравняем эту сумму к 91. В результате получим уравнение При уменьшении числа на 10% получилось 45. Найти первоначальное значение числа. x −

Ответ: чтобы получить 12%-й раствор соли, нужно к 1 кг 10%-го раствора добавить 0,25 кг 20%-го раствора.

Задача 12. Даны два раствора соли в воде, концентрации которых равны 20% и 30%. Сколько килограммов каждого раствора нужно смешать в одном сосуде, чтобы получить 25 кг 25,2%-го раствора?

Решение

Пусть x кг первого раствора нужно взять. Поскольку требуется приготовить 25 кг раствора, то массу второго раствора можно обозначить через выражение 25 − x.

В первом растворе будет содержаться 0,20x кг соли, а втором — 0,30(25 − x) кг соли. В полученном растворе содержание соли будет 25 × 0,252 = 6,3 кг. Сложим выражения 0,20x и 0,30(25 − x), затем приравняем эту сумму к 6,3. В результате получим уравнение

Значит первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 25 − 12 = 13 кг.

Ответ: первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 13 кг.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках