Абсолютная погрешность метода. Относительная погрешность приближенного числа

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кило.
4. Мега.
5. Гига.
6. Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .

В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А - в виде величины для измерительных процессов;

а - значение результата замеров;

D - обозначение абсолютной погрешности.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

• Абсолютную.
• Относительную.
• Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

• Погрешностью приборов.
• Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

1. Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
2. Класс точности -(γ) = 4.
3. U(о) = 4,2 В.
4. С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.

Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.

А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:

m≈0,8 (с точностью до 0,1);

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.

Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.

Определение.

Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность договорились выражать в процентах.

Пример 1.

Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:

14,7≈15.

Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.

Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.

По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

Подведем итог.

Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .

Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .

Пример 2.

Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.

Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )

Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.

Пример 3.

Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.

Абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности между этим числом и его точным значением. . Отсюда следует, что заключено в пределах или .

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет |1300 - 1284|=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет |1280 - 1284| = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности …
приближенного числа к модулю значения числа .
Пример 2 . В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 - 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈1,4%.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
Абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта») или D a ; относительная погрешность - греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой А, то δ = Δ/|А|.

Значащей цифрой приближенного числа А называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

Пример. А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.

n первых значащих цифр приближенного числа А являются верными , если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.

Пример. Если в числе a = 0,03450 все цифры верные, то .

Правила приближенных вычислений
понятие	определение	пример или примечание
Приближенные вычисления	Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте.	Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Погрешности	Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | а — А | < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /|А| = δ называется относительной погрешностью ; последнюю часто выражают в процентах.	3,14 является приближенным значением числа а , погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Значащие цифры	все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться.	Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 . 10 2 или 0,524 . 10 5 . Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5
Округление	Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить.	При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5 , то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Действия над приближенными числами	Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

Пусть некоторая случайная величина a измеряется n раз в одинаковых условиях. Результаты измерений дали набор n различных чисел

Абсолютная погрешность - величина размерная. Среди n значений абсолютных погрешностей обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные.

За наиболее вероятное значение величины а обычно принимают среднее арифметическое значение результатов измерений

.

Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.

Абсолютной погрешностью i

.

Относительной погрешностью i -го измерения называется величина

Относительная погрешность - величина безразмерная. Обычноотносительная погрешность выражается в процентах, для этого e i домножают на 100%. Величина относительной погрешности характеризует точность измерения.

Средняя абсолютная погрешность определяется так:

.

Подчеркнем необходимость суммирования абсолютных значений (модулей) величин Dа i . В противном случае получится тождественный нулевой результат.

Средней относительной погрешностью называется величина

.

При большом числе измерений .

Относительную погрешность можно рассматривать как значение погрешности, приходящееся на единицу измеряемой величины.

О точности измерений судят на основании сравнения погрешностей результатов измерений. Поэтому погрешности измерений выражают в такой форме, чтобы для оценки точности достаточно было сопоставить только одни погрешности результатов, не сравнивая при этом размеры измеряемых объектов или зная эти размеры весьма приближенно. Из практики известно, что абсолютная погрешность измерения угла не зависит от значения угла, а абсолютная погрешность измерения длины зависит от значения длины. Чем больше значение длины, тем при данном методе и условиях измерения абсолютная погрешность будет больше. Следовательно, по абсолютной погрешности результата о точности измерения угла судить можно, а о точности измерения длины нельзя. Выражение погрешности в относительной форме позволяет сравнивать в известных случаях точность угловых и линейных измерений.

Основные понятия теории вероятности. Случайная погрешность.

Случайной погрешностью называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.

Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.

Случайные ошибки являются неизбежным следствием любых измерений и обусловлены:

а) неточностью отсчетов по шкале приборов и инструментов;

б) не идентичностью условий повторных измерений;

в) беспорядочными изменениями внешних условий (температуры, давления, силового поля и т.д.), которые невозможно контролировать;

г) всеми другими воздействиями на измерения, причины которых нам неизвестны. Величину случайной погрешности можно свести к минимуму путем многократного повторения эксперимента и соответствующей математической обработки полученных результатов.

Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения.

Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.

Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.

Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.

Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.

В связи с тем, что возникновение случайных погрешностей неизбежно и неустранимо, основной задачей всякого процесса измерения является доведение погрешностей до минимума.

В основе теории погрешностей лежат два основных предположения, подтверждаемых опытом:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е погрешности в сторону увеличения и уменьшения результата встречаются достаточно часто.

2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые, таким образом, вероятность возникновения погрешности уменьшается с ростом ее величины.

Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей. Статистическим определением вероятности w i события i является отношение

где n - общее число опытов, n i - число опытов, в которых событие i произошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико (n ®¥). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие:

1. Чем больше отклонение значения измеренной величины от истинного, тем меньше вероятность такого результата.

2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.

Из приведенных выше допущений вытекает, что для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. Пусть произведено n измерений: x 1 , x 2 , ... x n - одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Можно ожидать, что число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x + dx , должно быть пропорционально:

Величине взятого интервала dx ;

Общему числу измерений n .

Вероятность dw (x ) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx, определяется следующим образом:

(при числе измерений n ®¥).

Функция f (х ) называется функцией распределения или плотностью вероятности.

В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом их количестве подчиняются закону нормального распределения.

Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:

, где mиs - параметры распределения.

Параметрmнормального распределения равен среднему значению áx ñ случайной величины, которое при произвольной известной функции распределения определяется интегралом

.

Таким образом, величина m является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е. ее наилучшей оценкой.

Параметр s 2 нормального распределения равен дисперсии D случайной величины, которая в общем случае определяется следующим интегралом

.

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины .

Среднее отклонение (погрешность) случайной величины ásñ определяется с помощью функции распределения следующим образом

Средняя погрешность измерений ásñ, вычисленная по функции распределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения s следующим образом:

< s> = 0,8s .

Параметры s и m связаны между собой следующим образом:

.

Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение s , если имеется кривая нормального распределения.

График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f (x ) симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x = m; проходит через максимум в точке x = m и имеет перегиб в точках m ±s. Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения. Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина s - меньше. На рисунке A изображена функция f (x ) для трех значений s.

Площадь фигуры, ограниченной кривой f (x ) и вертикальными прямыми, проведенными из точек x 1 и x 2 (рис.Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Dx = x 1 - x 2 , которая называется доверительной вероятностью. Площадь под всей кривой f (x ) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до ¥, т.е.

,

так как вероятность достоверного события равна единице.

Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит и решает две основные задачи. Первая - оценка точности проведенных измерений. Вторая - оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.5. Доверительный интервал. Коэффициент Стъюдента.

Теория вероятностей позволяет определить величину интервала, в котором с известной вероятностью w находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятностью , а соответствующий интервал (<x > ± Dx ) w называется доверительным интервалом. Доверительная вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала.

Если число измерений n достаточно велико, то доверительная вероятность выражает долю из общего числа n тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала. Каждой доверительной вероятности w соответствует свой доверительный интервал.w 2 80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутри этого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительной вероятностью и числом измерений.

Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал, соответствующий средней погрешности, то есть Da = áDа ñ, то при достаточно большом числе измеренийон соответствует доверительной вероятности w 60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу (áа ñ ± áDа ñ), уменьшается.

Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешностиáDа ñ.

Для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла.

Если известна средняя погрешность измерения ásñ, доверительный интервал, записанный в виде (<x > ± ásñ) w , определен с доверительной вероятностью w = 0,57.

Если известно среднее квадратическое отклонение s распределения результатов измерений, указанный интервал имеет вид (<x >± t w s) w , где t w - коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса.

Наиболее часто используемые величиныDx приведены в таблице 1.

Погрешности измерений физических величин

1.Введение(измерения и погрешности измерений)

2.Случайные и систематические погрешности

3.Абсолютные и относительные погрешности

4.Погрешности средств измерений

5.Класс точности электроизмерительных приборов

6.Погрешность отсчета

7.Полная абсолютная погрешность прямых измерений

8.Запись окончательного результата прямого измерения

9.Погрешности косвенных измерений

10.Пример

1. Введение(измерения и погрешности измерений)

Физика как наука родилась более 300 лет назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений: физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел, формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.

Познакомимся с некоторыми характерными особенностями любых измерений.

Измерение- это нахождение числового значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (линейки, вольтметра, часы и т.д.).

Измерения могут быть прямыми и косвенными.

Прямое измерение- это нахождение числового значения физической величины непосредственно средствами измерений. Например, длину - линейкой, атмосферное давление- барометром.

Косвенное измерение- это нахождение числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются электроизмерительными приборами.

Рассмотрим пример измерения.

Измерим длину бруска линейкой (цена деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.

Поэтому измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения.

Перечислим некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.

1. Ограниченная точность изготовления средств измерения.

2. Влияние на измерение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения...).

3. Действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза...).

4. Приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых величин.

Перечисленные причины появления погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для установления достоверности выводов, полученных в результате научных исследований существуют методы оценки данных погрешностей.

2. Случайные и систематические погрешности

Погрешности, возникаемые при измерениях делятся на систематические и случайные.

Систематические погрешности- это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней.

Причины возникновения систематических погрешностей:

1) несоответствие средств измерения эталону;

2) неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);

3) несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;

4) несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).

Случайные погрешности- это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.

3. Абсолютные и относительные погрешности

Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Как уже говорилось, любое измерение дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать интервал, который содержит ее истинное значение:

А пр - D А < А ист < А пр + D А

Величина D А называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.

Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e . e = D А/А пр или e= (D А/А пр)*100%.

Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.

4. Погрешности средств измерений

Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную погрешность обозначают D иА.

Если сведений о допустимой погрешности не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять половину цены деления.

При взвешивании абсолютная инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто

встречающихся в школьном эксперименте средств измерения.

Средства измерения	Предел измерения	Цена деления	Допустимаяпогрешность
линейка ученическая
линейка демонстрационная
лента измерительная
мензурка
гири 10,20, 50 мг
гири 100,200 мг
гири 500 мг
штангенциркуль
микрометр
динамометр
весы учебные
Секундомер			1с за 30 мин
барометр-анероид	720-780 мм рт.ст.	1 мм рт.ст	3 мм рт.ст
термометр лабораторный	0-100 градусов С
амперметр школьный
вольтметр школьный

5. Класс точности электроизмерительных приборов

Стрелочные электроизмерительные приборы по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности g пр прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей шкалы прибора.

g пр = (D и А/А макс)*100% .

Например абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от его шкалы.

Если известен класс точности прибора и его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность измерения

D иА=( g пр * А макс)/100.

Для повышения точности измерения стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой, чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.

6. Погрешность отсчета

Погрешность отсчета получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.

В большинстве случаев абсолютную погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).

Абсолютную погрешность отсчета принято обозначать D оА

7. Полная абсолютная погрешность прямых измерений

При выполнении прямых измерений физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: D иА, D оА и D сА (случайную). Конечно, иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов, несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть исключены.

Полная абсолютная погрешность прямого измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.

Если случайная погрешность мала по сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для определения значения физической величины достаточно одного измерения. В противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики. Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.

8. Запись окончательного результата прямого измерения

Окончательный результат измерения физической величины А следует записывать в такой форме;

А=А пр + D А, e= (D А/А пр)*100%.

А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. D А- полная абсолютная погрешность прямого измерения.

Абсолютную погрешность обычно выражают одной значащей цифрой.

Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.

9. Погрешности косвенных измерений

При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= D Х/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).

Абсолютную погрешность определяется по формуле D Х=Х пр *e,

где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.

Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений.

Вид функции	Формула
Х=А+В+С
Х=А-В
Х=А*В*С
Х=А n
Х=А/В

Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.

С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н

μ=0,33.Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)

Δ о =0,05Н.Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.

Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)

, следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет0,22*0,33=0,074