Если два объекта друг от друга. Математические загадки (материал для урока). Задачи на течение

Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но наряду с этим существует и самостоя­тельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются па основании зависимости между тремя величинами, харак­теризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характери­зуют три величины: пройденный путь (s ), скорость (v), время (t ); ос­новное отношение (зависимость) между ними: s = v ∙ t.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач на дви­жение.

Задачи на встречное движение двух тел

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁ , движение второго - s₂, v₂, t₂ , . Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 50):

Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t₁, = t₂ = t вапр.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за еди­ницу времени, называется скоростью сближения, т.е. vсбл. = v ₁+ v₂.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = vсбл.∙ t вапр

Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг
другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой -
4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти время, через которое

они встретятся, начав движение одновременно. Вспомогательные модели,
если они нужны, могут быть разными - схематический чертеж
(рис. 51) или таблица.

Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как ско­рости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов и все расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:

1)5+ 4 = 9 (км/ч)

2) 18:9 = 2(ч) Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движения.

Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один их них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Опреде­лите скорости автомобилей.

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили -600 км. Требуется определить скорости движения.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различ­ными: схематический чертеж (рис. 52) или таблица.

Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от дан­ных к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно найти скорость сближе­ния автомобилей. Затем, зная, что скорость одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости автомобилей. При этом можно воспользоваться вспомогательной моделью.

Запишем решение:

1) 600:5= 120 (км/ч) – скорость сближения автомобилей

2) 120 - 16 = 104 (км/ч) – скорость сближения, если бы скорость автомобилей была одинаковой

3) 104:2 =52 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

4) 52 + 16 = 68 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Есть и другие арифметические способы решения данной задачи, вот два из них.

1) 600:5= 120 (км/ч) 1) 16-5 = 80 (км)

2) 120 + 16 = 136 (км/ч) 2) 600 - 80 = 520 (км)

3) 136:2 = 68 (км/ч) 3) 520:2 = 260 (км)

4) 68 -16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)

5)52+ 16 = 68 (км/ч)

Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытайтесь найти другие способы решения данной задачи.

Задачи на движение двух тел в одном направлении

Среди них следует различать два типа задач:

1) движение начинается одновременно из разных пунктов;

2) движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновре­менно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁ , движение второго - s₂, v₂, t₂ , .

Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис 54):

Рис. 54

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние

v₁ - v₂.. Это расстояние назы­вают скоростью сближения: vсбл. = v₁ - v₂..

Расстояние s , представляющее длину отрезка АВ, находят по фор­мулам:

s = s₁ - s₂ и s = vсбл. ∙ tвстр.

Задача 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Ско­рость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоцикли­стов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Требует­ся узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж или таблица.

Сравнение скоростей мотоцик­листов говорит о том, что в тече­ние часа первый мотоциклист при­ближается ко второму на 10 км Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, ко­торое за такое же время пройдет второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:

1) 50 - 40 = 10 (км/ч) - скорость сближения мотоциклистов

2) 30:10 = 3 (ч) - за это время первый мотоциклист догонит второго.
Наглядно этот процесс представлен на рисунке 56, где единичный отрезок изображает расстояние, равное 10 км.

Задача 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?

Решение. В задаче рассматривается движение в одном направле­нии всадника и пешехода. Движение началось одновременно из раз­ных пунктов, расстояние между которыми 24 км, и с разной скоро­стью: у всадника - 12 км/ч, у пешехода - 4 км/ч. Требуется узнать рас­стояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента встречи всадника и пешехода.

Вспомогательные модели: схе­матический чертеж (рис. 57) или таблица.

24 км

Чтобы ответить на вопрос зада­чи, надо найти время, которое будет находиться в пути пешеход или всадник, - время их движения до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано в пре­дыдущей задаче. Поэтому, чтобы от­ветить на вопрос задачи, необходи­мо выполнить следующие действия:

1) 12-4 = 8 (км/ч) - скорость сближения всадника и пешехода.

2) 24:8 = 3 (ч) - время, через которое всадник догонит пешехода

3) 4 ∙ 3 - 12 (км) - расстояние от В, на котором всадник догонит пешехода.

Задача 5. В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоро­стью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?

Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.

Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента выле­та самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути по­езд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, прой­денное поездом до момента вылета самолета. А дальше как в задаче 3.

1) 24 - 7 - 17 (ч) - столько времени был в пути поезд в тот день, когда он вышел из Москвы.

2) 17 + 13 = 30 (ч) - столько времени был в пути поезд до момента
вылета самолета.

3) 60 ∙ 30 - 1800 (км) - путь, пройденный поездом до момента вылета самолета.

4) 780 - 60 = 720 (км/ч) - скорость сближения самолета и поезда.

5) 1800:720 = 2-(ч)-время, через которое самолет догонит поезд.

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противополож­ных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее: vудал. = v₁ + v₂.. соответственно скорости первого и второго тел, а v удал. - это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаля­ются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

Задача 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?

Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и время их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они будут находиться друг от друга через указанное время.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими: схематический чертеж или таблица.

Чтобы ответить на вопрос за­дачи, достаточно найти расстоя­ния, пройденные первым и вто­рым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:

1)60 ∙ 3= 180 (км)

2) 70 ∙ 3 = 210 (км)

3) 180 + 210 = 390 (км)
Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:

1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов

2) 130 ∙3 = 390 (км) - расстояние между поездами через 3 ч.
Задача 7. От станции Л отправился поезд со скоростью 60 км/ч

Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч после выхода второго поезда?

Решение. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи представлена на рис. 59. Решить ее можно двумя арифметическими способами.

60 км/ч 70 км/ч

Рис, 59

1) 2 + 3 = 5 (ч) - столько времени в пути был первый поезд.

2) 60 5 ∙ 300 (км) - расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд.

3) 70 ∙ 3 - 210 (км) - расстояние, которое прошел второй поезд.

4) 300 + 210 = 510 (км) - расстояние между поездами.

1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов.

2) 130 ∙ 3 = 390 (км) расстояние, на которое удалились поезда за 3 ч.

3) 60 ∙ 2 = 120 (км) - расстояние, пройденное первым поездом за 2 ч.

4) 390 + 120 = 510 (км) - расстояние между поездами.

Задачи на движение по реке

При решении таких задач различают: собственную скорость дви­жущегося тела, скорость течения реки, скорость движения тела по течению и скорость движения тела против течения. Зависимость меж­ду ними выражается формулами:

vпо теч. = vсбл. + vтеч.р.;

vпр. теч. = vсбл. – vтеч.р.

vсбл. = (vтеч.р + vпр. теч.) : 2.

Задача 8. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двигает­ся против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?

Решение. В данном случае удобно все данные, неизвестные и ис­комое, записать в таблицу.

	s	v	t
по течению	360 км		12 ч
против течения	360 км		15 ч
по реке	135 км	?

Таблица подсказывает последовательность действий: найти сначала скорость движения катера по течению и против течения, затем, исполь­зуя формулы, - собственную скорость катера и, наконец, время, за ко­торое он проплывет 135 км по озеру:

1) 360:12 = 30 (км/ч) - скорость катера по течению реки.

2) 360:15 - 24 (км/ч) - скорость катера против течения реки.

3) 24 + 30 - 54 (км/ч) - удвоенная собственная скорость катера.

4) 54:2 = 27 (км/ч) - собственная скорость катера

5) 135: 27 = 5 (ч) - время, за которое проплывет катер 135 км.

Р е ш е н и е з а д а ч, с в я з а н н ы х с р а з л и ч н ы м и

п р о ц е с с а м и (работа, наполнение бассейнов и др.)

Задача 9. Двум рабочим дано задание изготовить 120 деталей. Один рабочий зготавливает 7 деталей в час, а другой - 5 деталей в час. За сколько часов рабочие выполнят задание, работая вместе?

Решение. В задаче рассматривается процесс выполнения двумя ра­бочими задания по изготовлению 120 деталей. Известно, что одни рабочий делает в час 7 деталей, а другой - 5. Требуется узнать время, за которое рабочие сделают 120 деталей, работая вместе. Чтобы найти ответ на это требование, надо знать, что процесс, о котором идет речь в задаче, характеризуется тремя величинами:

Общим количеством произведенных деталей это результат про­цесса; обозначим его буквой К ;

Количеством изготовленных деталей за единицу времени (это производительность труда или скорость протекания процесса); обо­значим его буквой к;

Временем выполнения задания (это время протекания процесса), обозначим его буквой t .

Зависимость между данными величинами выражается формулой К=кt.

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, т.е. время t надо найти коли­чество деталей, изготавливаемых рабочими за 1 ч при совместной ра­боте, а затем разделить 120 деталей на полученную производитель­ность. Таким образом, будем иметь: к = 7 + 5 = 12 (деталей в час):,

T = 120:12= 10 (ч).

Задача 10. В одном резервуаре 380 м 3 воды, а в другом - 1500 м 3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м 3 воды, а из второго каждый час выкачивают по 60 м 3 воды. Через сколько часов в резер­вуарах воды станет поровну?

Решение. В данной задаче рассматривается процесс заполнения водой одного резервуара и выкачивания воды из другого. Этот про­цесс характеризуется следующими величинами:

Объемом воды в ре­зервуарах; обозначим его буквой V ;

Скоростью поступления (накачивания) воды; об о з н а ч и м его б у к в о й v ;

Временем протекания процесса; обозначим его буквой t

380 м 3 1500 м 3

Зависимость между названными величинами выражается форму­лой V = v ∙ t

Процесс, описанный в данной задаче, аналогичен движению двух объектов навстречу друг другу. Это можно наглядно представить, по­строив вспомогательную модель (рис. 60).

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти скорость «сближе­ния» уровней воды в резервуарах и объем воды, при котором проис­ходит выравнивание этих уровней, а затем разделить этот объем на скорость «сближения». Запишем решение задачи по действиям:

1)80 + 60 = 140 (мЗ);

2) 1500 – 380 = 1120 (м 3):

3) 1120:140 = 8(ч).

Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, выполним проверку.

За 8 ч в первый резервуар поступит 640 м 3 (80 ∙ 8 = 640), а из второ­го выкачают

480 м 3 (60 ∙ 8 = 480). Тогда в первом воды будет 1020 м 3 (380 + 640 = 1020), и во втором - столько же (1500 - 480 = 1020), что удовлетворяет условию задачи.

Наиболее трудным и наименее формализованным в задаче автоматической классификации является момент, связанный с определением понятия однородности объектов.

В общем случае понятие однородности объектов определяется заданием правила вычисления величины характеризующей либо расстояние между объектами из исследуемой совокупности либо степень близости (сходства) тех же объектов. Если задана функция , то близкие в смысле этой метрики объекты считаются однородными, принадлежащими к одному классу. Естественно, при этом необходимо сопоставление с некоторым пороговым значением, определяемым в каждом конкретном случае по-своему.

Аналогично используется для формирования однородных классов и упомянутая выше мера близости при задании которой нужно помнить о необходимости соблюдения следующих естественных требований: требования симметрии требования максимального сходства объекта с самим собой и требования при заданной метрике монотонного убывания по , т. е. из должно с необходимостью следовать выполнение неравенства

Конечно, выбор метрики (или меры близости) является узловым моментом исследования, от которого решающим образом зависит окончательный вариант разбиения объектов на классы при заданном алгоритме разбиения. В каждой конкретной задаче этот выбор должен производиться по-своему. При этом решение данного вопроса зависит в основном от главных целей исследования, физической и статистической природы вектора наблюдений X, полноты априорных сведений о характере вероятностного распределения X. Так, например, если из конечных целей исследования и из природы вектора X следует, что понятие однородной группы естественно интерпретировать как генеральную совокупность с одновершинной плотностью (полигоном частот) распределения, и если к тому же известен общий вид этой плотности, то следует воспользоваться общим подходом, описанным в гл. 6. Если, кроме того, известно, что наблюдения извлекаются из нормальных генеральных совокупностей с одной и той же матрицей ковариаций, то естественной мерой отдаленности двух объектов друг от друга является расстояние махаланобисского типа (см. ниже).

В качестве примеров расстояний и мер близости, сравнительно широко используемых в задачах кластер-анализа, приведем здесь следующие.

Общий вид метрики махаланобисского типа. В общем случае зависимых компонент вектора наблюдении X и их различном значимости в решении вопроса об отнесении объекта (наблюдения) к тому или иному классу обычно пользуются обобщенным («взвешенным») расстоянием махаланобисского типа, задаваемым формулой

Здесь - ковариационная матрица генеральной совокупности, из которой извлекаются наблюдения а А - некоторая симметричная неотрицательно-онределенная матрица «весовых» коэффициентов , которая чаще всего выбирается диагональной .

Следующие три вида расстояний, хотя и являются частными случаями метрики все же заслуживают специального описания.

Обычное евклидово расстояние

К ситуациям, в которых использование этого расстояния можно признать оправданным, прежде всего относят следующие:

наблюдения X извлекаются из генеральных совокупностей, описываемых многомерным нормальным законом с ковариационной матрицей вида т. е. компоненты X взаимно независимы и имеют одну и ту же дисперсию;

компоненты вектора наблюдении X однородны по своему физическому смыслу, причем установлено, например с помощью опроса экспертов, что все они одинаково важны с точки зрения решения вопроса об отнесении объекта к тому или иному классу;

признаковое пространство совпадает с геометрическим пространством нашего бытия, что может быть лишь в случаях , и понятие близости объектов соответственно совпадает с понятием геометрической близости в этом пространстве, например классификация попаданий при стрельбе по цели.

«Взвешенное» евклидово расстояние

Обычно применяется в ситуациях, в которых так или иначе удается приписать каждой из компонент вектора наблюдений X некоторый неотрицательный «вес» .

Определение весов связано, как правило, с дополнительным исследованием, например получением и использованием обучающих выборок, организацией опроса экспертов и обработкой их мнений, использованием некоторых специальных моделей. Попытки определения весов только по информации, содержащейся в исходных данных , как правило, не дают желаемого эффекта, а иногда могут лишь отдалить от истинного решения. Достаточно заметить, что в зависимости от весьма тонких и незначительных вариаций физической и статистической природы исходных данных можно привести одинаково убедительные доводы в пользу двух диаметрально противоположных решений этого вопроса - выбирать пропорционально величине среднеквадратической ошибки признака либо пропорционально обратной величине среднеквадратической ошибки этого же признака .

Хеммингово расстояние. Используется как мера различия объектов, задаваемых дихотомическими признаками. Оно задается с помощью формулы

и, следовательно, равно числу несовпадений значений соответствующих признаков в рассматриваемых объектах.

Другие меры близости для дихотомических признаков.

Меры близости объектов, описываемых набором дихотомических признаков, обычно основаны на характеристиках , где - число нулевых (единичных) компонент, совпавших в объектах X, и Так, например, если из каких-либо профессиональных соображений или априорных сведений следует, что все признаков исследуемых объектов можно считать равноправными, а эффект от совпадения или несовпадения нулей такой же, что и от совпадения или несовпадения единиц, то d качестве меры близости объектов используют величину

Весьма полный обзор различных мер близости объектов, описываемых дихотомическими признаками, читатель найдет в .

Меры близости и расстояния, задаваемые с помощью потенциальной функции. Во многих задачах математической статистики, теории вероятностей, физической теории потенциала и теории распознавания образов, или классификации многомерных наблюдений, оказываются полезными некоторые специально устроенные функции от двух векторных переменных X и Y, а чаще всего просто от расстояния между этими переменными, которые будем называть потенциальными.

Так, например, если пространство всех мыслимых значений исследуемого вектора X разбито на полную систему непересекающихся односвязных компактных множеств или однородных классов и потенциальная функция определена для следующим образом:

В противном случае, то с помощью этой функции удобно строить обычные эмпирические гистограммы (оценки плотности распределения по имеющимся наблюдениям Действительно, легко видеть, что

где - число наблюдений, попавших в класс содержащий точку - объем области (геометрическая интерпретация для одномерного случая показана на рис. 5.1).

Если в исследуемом факторном пространстве задана метрика , то можно не связывать себя заранее зафиксированным разбиением на классы, а задавать как монотонно убывающую функцию расстояния .

Например,

Приведем здесь еще лишь одну достаточно общую форму связи между , в которой расстояние выступает как функция некоторых значений потенциальной функции К:

Рис. 5.1, Гистограмма построенная с помощью разбиения на группы выборочной одномерной совокупности

В частности, выбрав в качестве скалярное произведение векторов U и V, т. е. положив

получим по формуле (5.3) обычное евклидово расстояние .

Легко понять, что и в случае задания потенциальной функции в виде соотношений (5.2) формулы (5.1) позволяют строить статистические оценки плотности распределения (5.1), хотя график функции будет уже не ступенчатым, а сглаженным. При отсутствии метрики в пространстве функции могут быть использованы в качестве меры близости объектов и и V, а также объектов и целых классов и классов между собой.

В первом случае эта мера позволяла получить лишь качественный ответ: объекты близки, если U и V принадлежат одному классу, и объекты далеки - в противном случае; в двух других случаях мера близости является количественной характеристикой.

О физически содержательных мерах близости объектов. В некоторых задачах классификации объектов, не обязательно описываемых количественно, естественнее использовать в качестве меры близости объектов (или расстояния между ними) некоторые физически содержательные числовые параметры, так или иначе характеризующие взаимоотношения между объектами. Примером может служить задача классификации с целью агрегирования отраслей народного хозяйства, решаемая на основе матрицы межотраслевого баланса . Таким образом, классифицируемым объектом в данном примере является отрасль народного хозяйства, а матрица межотраслевого баланса представлена элементами где под подразумевается сумма годовых поставок в денежном выражении отрасли в . В качестве матрицы близости в этом случае естественно взять, например, симметризованную нормированную матрицу межотраслевого баланса. При этом под нормировкой понимается преобразование, при котором денежное выражение поставок из отрасли в заменяется долей этих поставок по отношению ко всем поставкам отрасли. Симметризацию же нормированной матрицы межотраслевого баланса можно проводить различными способами. Так, например, в близость между отраслями выражается либо через среднее значение их взаимных нормированных поставок, либо через комбинацию из их взаимных нормированных поставок.

О мерах близости числовых признаков (отдельных факторов). Решение задач классификации многомерных данных, как правило, предусматривает в качестве предварительного этапа исследования реализацию методов, позволяющих существенно сократить размерность исходного факторного пространства, выбрать из компонент наблюдаемых векторов X сравнительно небольшое число наиболее существенных, наиболее информативных. Для этих целей бывает полезно рассмотреть каждую из компонент качестве объекта, подлежащего классификации. Дело в том, что разбиение признаков на небольшое число однородных в некотором смысле групп позволит исследователю сделать вывод, что компоненты, входящие в одну группу, в определенном смысле сильно связаны друг с другом и несут информацию о каком-то одном свойстве исследуемого объекта.

Следовательно, можно надеяться, что не будет большого ущерба в информации, если для дальнейшего исследования оставим лишь по одному представителю от каждой такой группы.

Чаще всего в подобных ситуациях в качестве мер близости между отдельными признаками так же как и между наборами таких признаков, используются различные характеристики степени их коррелированности и в первую очередь коэффициенты корреляции. Проблеме сокращения размерности анализируемого признакового пространства специально посвящен раздел III книги. Более подробно вопросы построения и использования расстояний и мер близости между отдельными объектами рассмотрены в .

Отрезки, прямые

Черти с ней скорей-ка!

Поля без труда

Проведет вам... (линейка)

Три стороны и три угла.

И знает каждый школьник:

Фигура называется,

Конечно, ... (треугольник)

Чтобы сумму получить,

Нужно два числа... (сложить)

Если что-то забираем,

Числа, дети,... (вычитаем)

Если больше раз так в пять,

Числа будем... (умножать)

Если меньше, стало быть,

Числа будем мы... (делить)

Если попадет в дневник —

Провинился ученик:

Длинный нос, одна нога,

Будто Бабушка-Яга.

Портит в дневнике страницу

Всем отметка...(«единица»)

Длинный нос, как клюв у птицы -

Это цифра... («единица»)

Колами, что в моей тетрадке,

Я выстрою забор на грядке.

Я получать их мастерица,

Моя отметка... («единица»)

За отметку эту будет

Дома мне головомойка.

Я скажу вам по секрету:

Цифра с буквой «3» похожи,

Как двойняшки, посмотри.

Даже перепутать можно

Буву «3» и цифру... («три»)

Столько ножек у стола

И углов в квартире,

Догадались, детвора?

Их всегда... (четыре)

Отметки лучше не сыскать!

«Отлично» — это значит... («пять»)

Разрешит сегодня мама

После школы мне гулять.

Я — не много и не мало —

Получил отметку... («пять»)

У цифры голова — крючок,

И даже брюшко есть.

Крючок похож на колпачок,

Перекладину вдоль тела

Цифра на себя надела.

По ветру косынка развевается.

Так похожа на матрешку —

Туловище с головешкой.

— Что за цифра? — Сразу спросим.

— Ну конечно, цифра... («восемь»)

Появилась вдруг в тетрадке

«Шесть» на голове — ... (девятка)

Думает он, что король,

А на самом деле — ... (ноль)

У нее нет ничего:

Нет ни глаз, ни рук, ни носа,

Состоит она всего

Знает это целый мир:

Угол мерит... (транспортир)

Задача, где нужно соображать.

Ученик я хоть куда,

Не балую никогда,

Хоть я и не пионер,

Но ребятам всем... (пример)

Выполнил в тетради я

Четко, словно ритм,

Друг за другом действия.

Это... (алгоритм)

Я с большим старанием

Выполнил... (задание)

Эти знаки только в паре,

Круглые, квадратные.

Мы все время их встречаем,

Пишем многократно.

Заключаем, как в коробки,

Числа в... (скобки)

Это величина.

И только она одна

Размер поверхностей измеряет,

В граммах, килограммах тоже

Измерять ее мы можем. (Масса)

Сантиметров пять — величина,

Называется она... (длина)

Математики урок.

Только прозвенел звонок,

Мы за партами, и вот

Начинаем устный... (счет)

Нужно объяснять кому-то,

Что такое час? Минута?

С давних пор любое племя

Знает, что такое... (время)

Он точку окружности соединяет

С центром ее — это каждый ведь знает.

Он буквою «г» обозначается.

Неизвестное X, неизвестное Y,

Может, «минус» — все равно.

Складываем, вычитаем,

Так... мы решаем. (примеры)

Нужно знаки эти знать.

Десять их, но знаки эти

Арифметическое действие,

Обратное сложению,

Скажу вам без сомнения.

А в результате разность —

Не зря мои старания!

Пример решил я правильно,

И это... (вычитание)

Числа плюсом прибавляем

И ответ потом считаем.

Это действие —... (сложение)

Быстрота перемещения

Созвучна слову «ускорение».

Ответьте, дети, мне сейчас,

Скорость, время — величины знаем,

Результат всех наших знаний —

Посчитали... (расстояние)

Хожу и повторяю,

И снова вспоминаю:

Дважды два — четыре,

Пятью три — пятнадцать.

Чтобы все запомнить,

Нужно постараться.

Это достижение —... (таблица умножения)

Он двуногий, но хромой,

Чертит лишь ногой одной.

В центр встал второй ногой,

В нем четыре стороны,

Меж собою все равны.

С прямоугольником он брат,

Называется... (квадрат)

Циркуль, наш надежный друг,

Если пальцев не хватает,

Мне подружки сосчитают.

Их на парте разложу,

Хоть куда ее веди,

Это линия такая,

Без конца и без начала,

Называется... (прямая)

Он ограничен с двух сторон

И по линейке проведен.

Длину его измерить можно,

Знает каждый карапуз:

Знак сложенья — это... («плюс»)

Он состоит из точки и прямой.

И можем вам сказать сейчас,

Что 60 минут есть... (час)

У треугольника их три,

Но их четыре у квадрата.

Он развернутый бывает,

Острый может быть, тупой.

Просмотр содержимого документа
«Математические загадки.»

Загадки про математические принадлежности, про знаки математических действий, загадки о геометрических фигурах, загадки для детей от 9 до 12 лет. Загадки для школьников.

Отрезки, прямые

Черти с ней скорей-ка!

Поля без труда

Проведет вам... (линейка)

Три стороны и три угла.

И знает каждый школьник:

Фигура называется,

Конечно, ... (треугольник)

Чтобы сумму получить,

Нужно два числа... (сложить)

Если что-то забираем,

Числа, дети,... (вычитаем)

Если больше раз так в пять,

Числа будем... (умножать)

Если меньше, стало быть,

Числа будем мы... (делить)

Если попадет в дневник -

Провинился ученик:

Длинный нос, одна нога,

Будто Бабушка-Яга.

Портит в дневнике страницу

Всем отметка...(«единица»)

Длинный нос, как клюв у птицы –

Это цифра... («единица»)

Колами, что в моей тетрадке,

Я выстрою забор на грядке.

Я получать их мастерица,

Моя отметка... («единица»)

За отметку эту будет

Дома мне головомойка.

Я скажу вам по секрету:

Получил в тетради... («двойку»)

Цифра с буквой «3» похожи,

Как двойняшки, посмотри.

Даже перепутать можно

Буву «3» и цифру... («три»)

Столько ножек у стола

И углов в квартире,

Догадались, детвора?

Их всегда... (четыре)

Отметки лучше не сыскать!

«Отлично» - это значит... («пять»)

Разрешит сегодня мама

После школы мне гулять.

Я - не много и не мало -

Получил отметку... («пять»)

У цифры голова - крючок,

И даже брюшко есть.

Крючок похож на колпачок,

И эта цифра... («шесть»)

Яндекс.Директ

Перекладину вдоль тела

Цифра на себя надела.

По ветру косынка развевается.

Как, скажите, цифра называется? («Семь»)

Так похожа на матрешку -

Туловище с головешкой.

Что за цифра? - Сразу спросим.

Ну конечно, цифра... («восемь»)

Появилась вдруг в тетрадке

«Шесть» на голове - ... (девятка)

Думает он, что король,

А на самом деле - ... (ноль)

У нее нет ничего:

Нет ни глаз, ни рук, ни носа,

Состоит она всего

Из условия с вопросом. (Задача)

Знает это целый мир:

Угол мерит... (транспортир)

Задача, где нужно соображать.

Возможно, ее не придется решать.

Нужны здесь не знания, а смекалка,

И не поможет в решении шпаргалка.

Если случится в уме вдруг поломка,

Нерешенной останется... (головоломка)

Ученик я хоть куда,

Не балую никогда,

Хоть я и не пионер,

Но ребятам всем... (пример)

Выполнил в тетради я

Четко, словно ритм,

Друг за другом действия.

Это... (алгоритм)

Я с большим старанием

Выполнил... (задание)

Эти знаки только в паре,

Круглые, квадратные.

Мы все время их встречаем,

Пишем многократно.

Заключаем, как в коробки,

Числа в... (скобки)

Это величина.

И только она одна

Размер поверхностей измеряет,

В квадрате определяет. (Площадь)

В граммах, килограммах тоже

Измерять ее мы можем. (Масса)

Есть отрезок длинный, есть короче,

По линейке его чертим, между прочим.

Сантиметров пять - величина,

Называется она... (длина)

Математики урок.

Только прозвенел звонок,

Мы за партами, и вот

Начинаем устный... (счет)

Нужно объяснять кому-то,

Что такое час? Минута?

С давних пор любое племя

Знает, что такое... (время)

Он точку окружности соединяет

С центром ее - это каждый ведь знает.

Он буквою «г» обозначается.

А вы мне скажите, как он называется? (Радиус окружности)

Неизвестное X, неизвестное Y,

Их можно в равенствах повстречать.

И это, ребята, скажу вам, не игры,

Здесь нужно решенье всерьез отыскать.

С неизвестными равенства, без сомнения,

Называем, ребята, мы как? (Уравнения)

Три плюс три и пять плюс пять,

Есть знак «плюс» и знак «равно»,

Может, «минус» - все равно.

Складываем, вычитаем,

Так... мы решаем. (примеры)

Нужно знаки эти знать.

Десять их, но знаки эти

Сосчитают всё на свете. (цифры)

Арифметическое действие,

Обратное сложению,

Знак «минус» в нем задействован,

Скажу вам без сомнения.

А в результате разность -

Не зря мои старания!

Пример решил я правильно,

И это... (вычитание)

По-латыни это слово «меньше» означает,

А у нас-то этот знак числа вычитает. (Минус)

Числа плюсом прибавляем

И ответ потом считаем.

Если «плюс», то, без сомнения,

Это действие -... (сложение)

Быстрота перемещения

Созвучна слову «ускорение».

Ответьте, дети, мне сейчас,

Что значит 8 метров в час? (Скорость)

Если два объекта друг от друга далеко,

Километры между ними вычислим легко.

Скорость, время - величины знаем,

Их значения теперь перемножаем.

Результат всех наших знаний -

Посчитали... (расстояние)

Хожу и повторяю,

И снова вспоминаю:

Дважды два - четыре,

Пятью три - пятнадцать.

Чтобы все запомнить,

Нужно постараться.

Это достижение -... (таблица умножения)

Он двуногий, но хромой,

Чертит лишь ногой одной.

В центр встал второй ногой,

Чтоб не вышел круг кривой. (Циркуль)

Вместимость тела, часть пространства

Как называем мы? Понятно, то... (объем)

В нем четыре стороны,

Меж собою все равны.

С прямоугольником он брат,

Называется... (квадрат)

Циркуль, наш надежный друг,

Вновь в тетради чертит... (круг)

Раз, два, три, четыре, пять...

Если пальцев не хватает,

Мне подружки сосчитают.

Их на парте разложу,

И любой пример решу. (Счетные палочки)

Хоть куда ее веди,

Это линия такая,

Без конца и без начала,

Называется... (прямая)

Он ограничен с двух сторон

И по линейке проведен.

Длину его измерить можно,

И сделать это так несложно! (Отрезок)

Знает каждый карапуз:

Знак сложенья - это... («плюс»)

Он состоит из точки и прямой.

Ну, догадайтесь, кто же он такой?

Бывает, в дождик он пробьется из-за туч.

Теперь-то догадались? Это... (луч)

Мы на математике время изучали,

О минутах и секундах все-все-все узнали.

И можем вам сказать сейчас,

Что 60 минут есть... (час)

У треугольника их три,

Но их четыре у квадрата.

У всех квадратов меж собой они равны.

О чем я, догадаетесь, ребята? (Стороны)

Он развернутый бывает,

Острый может быть, тупой.

Как два луча, ребята, называют,

Идущие из точки из одной? (Угол)

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s 1 , v 1 , t 1 , а движение второго – s 2 , v 2 , t 2 . Такое движение можно представить на схематическом чертеже: v 1 , t 1 t встр. v 2 , t 2

Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента движения и до встречи затрачивает одинаковое время – время встречи , т.е. t 1= t 2= t встр.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. v сбл.= v 1 +v 2 .

Расстояние между телами можно выразить так: s=s 1 +s 2 .

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть рассчитано по формуле: s=v сбл. t встр. .

Пример . Решим задачу: «Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние межу которыми 18км. Скорость одного их них 5км/ч, другого – 4км/ч. Через сколько часов они встретятся?»

Решение: В задаче рассматривается движение на встречу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5км/ч, другой – 4км/ч. Путь, который они должны пройти, 18км. Требуется найти время, через которое они встретятся, начав движение одновременно.

Участники движения	Скорость	Время	Расстояние
Первый пешеход	5км/ч	?ч - одинаковое	18 км
Второй пешеход	4км/ч

Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения: 5+4=9(км/ч). Затем, зная скорость сближения и расстояние, которое им нужно пройти, можно найти время, через которое пешеходы встретятся: 189=2(ч).

Задачи на движение двух тел в одном направлении.

Среди таких задач различают два типа: 1) движение начинается одновременно из разных пунктов; 2) движение начинается в время из одного пункта.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s 1 , v 1 , t 1 , а движение второго – s 2 , v 2 , t 2 . Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

v 1 , t 1 v 2 , t 2 t встр.

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v 1 v 2 , кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние v 1 -v 2 . Это расстояние называют скоростью сближения : v сбл. =v 1 -v 2 .

Расстояние между телами можно выразить формулами: s= s 1 - s 2 и s= v сбл. t встр.

Пример . Решим задачу: «Из двух пунктов, удаленных друг от друга на расстояние 30км. Скорость одного 40км/ч, другого 50км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?»

Решение: В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30км.Скорость одного 40км/ч, другого 50км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.

Вспомогательные модели могут быть разными – схематический чертеж (см. выше) и таблица:

Зная скорость обоих мотоциклистов можно узнать их скорость сближения: 50-40=10(км/ч). Затем зная скорость сближения и расстояние между мотоциклистами найдем время, за которое второй мотоциклист догонит первого: 3010=3(ч).

Приведем пример задачи, в которой описывается вторая ситуация движения двух тел в одном направлении.

Пример . Решим задачу: «В 7ч из Москвы со скоростью 60км/ч вышел поезд. В 13ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?»

Решение: В задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но в разное время. Известно, что скорость поезда 60км/ч, скорость самолета – 780км/ч; время начала движения поезда 7ч, а самолета 13ч следующего дня. Требуется узнать, через какое время самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. Если его найти, то данная задача становится аналогичной предыдущей задаче.

Что бы найти это расстояние нужно подсчитать, сколько времени находился в пути поезд: 24-7+13=30(ч). Зная скорость поезда и время, которое он был в пути до вылета самолеты, можно найти расстояние между поездом и самолетом: 6030=1800(км). Затем найдем скорость сближения поезда и самолета: 780-60=720(км/ч). И далее, время, через которое самолет догонит поезд: 1800720=2,5(ч).