Из данной статьи вы узнаете, как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, используя вычисления с помощью интегралов. Впервые с постановкой такой задачи мы сталкиваемся в старших классах, когда только-только пройдено изучение определенных интегралов и пора приступить к геометрической интерпретации полученных знаний на практике.

Итак, что потребуется для успешного решения задачи по поиску площади фигуры с помощью интегралов:

• Умение грамотно строить чертежи;
• Умение решать определенный интеграл с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница;
• Умение «увидеть» более выгодный вариант решения - т.е. понять, как в том или ином случае будет удобнее проводить интегрирование? Вдоль оси икс (OX) или оси игрек (OY)?
• Ну и куда без корректных вычислений?) Сюда входит понимание как решать тот иной тип интегралов и правильные численные вычисления.

Алгоритм решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями:

1. Строим чертеж. Желательно это делать на листке в клетку, с большим масштабом. Подписываем карандашом над каждым графиком название этой функции. Подпись графиков делается исключительно ради удобства дальнейших вычислений. Получив график искомой фигуры, в большинстве случаев будет видно сразу, какие пределы интегрирования будут использованы. Таким образом мы решаем задачу графическим методом. Однако бывает так, что значения пределов дробные или иррациональные. Поэтому, можно сделать дополнительные расчеты, переходим в шагу два.

2. Если явно не заданы пределы интегрирования, то находим точки пересечения графиков друг с другом, и смотрим, совпадает ли наше графическое решение с аналитическим.

3. Далее, необходимо проанализировать чертеж. В зависимости от того, как располагаются графики функций, существуют разные подходы к нахождению площади фигуры. Рассмотрим разные примеры на нахождение площади фигуры при помощи интегралов.

3.1. Самый классический и простой вариант задачи, это когда нужно найти площадь криволинейной трапеции. Что такое криволинейная трапеция? Это плоская фигура, ограниченная осью икс (у = 0) , прямыми х = а, х = b и любой кривой, непрерывной на промежутке от a до b . При этом, данная фигура неотрицательна и располагается не ниже оси абсцисс. В этом случае, площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу, вычисляемого по формуле Ньютона-Лейбница:

Пример 1 y = x2 — 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0 .

Какими линиями ограничена фигура? Имеем параболу y = x2 — 3x + 3 , которая располагается над осью ОХ , она неотрицательна, т.к. все точки этой параболы имеют положительные значения. Далее, заданы прямые х = 1 и х = 3 , которые пролегают параллельно оси ОУ , являются ограничительными линиями фигуры слева и справа. Ну и у = 0 , она же ось икс, которая ограничивает фигуру снизу. Полученная фигура заштрихована, как видно из рисунка слева. В данном случае, можно сразу приступать к решению задачи. Перед нами простой пример криволинейной трапеции, которую далее решаем с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

3.2. В предыдущем пункте 3.1 разобран случай, когда криволинейная трапеция расположена над осью икс. Теперь рассмотрим случай, когда условия задачи такие же, за исключением того, что функция пролегает под осью икс. К стандартной формуле Ньютона-Лейбница добавляется минус. Как решать подобную задачу рассмотрим далее.

Пример 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 .

В данном примере имеем параболу y = x2 + 6x + 2 , которая берет свое начало из-под оси ОХ , прямые х = -4, х = -1, у = 0 . Здесь у = 0 ограничивает искомую фигуру сверху. Прямые х = -4 и х = -1 это границы, в пределах которых будет вычисляться определенный интеграл. Принцип решения задачи на поиск площади фигуры практически полностью совпадает с примером номер 1. Единственное различие в том, что заданная функция не положительная, и все также непрерывная на промежутке [-4; -1] . Что значит не положительная? Как видно из рисунка, фигура, которая заключается в рамках заданных иксов имеет исключительно «отрицательные» координаты, что нам и требуется увидеть и помнить при решении задачи. Площадь фигуры ищем по формуле Ньютона-Лейбница, только со знаком минус в начале.

Статья не завершена.

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры . Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не .

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений .

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала и статьи о геометрических преобразованиях графиков .

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории .

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке Графики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен не выше оси , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Переходим еще к одному содержательному заданию.

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:


,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Решение : Изобразим данную фигуру на чертеже.

Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку, простите, не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =)

Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

а)

Решение.

Первый и важнейший момент решения - построение чертежа .

Выполним чертеж:

Уравнение y=0 задает ось «иксов»;

- х=-2 и х=1 - прямые, параллельные оси Оу;

- у=х 2 +2 - парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0;2).

Замечание. Для построения параболы достаточно найти точки ее пересечения с координатными осями, т.е. положив х=0 найти пересечение с осью Оу и решив соответствующее квадратное уравнение, найти пересечение с осью Ох .

Вершину параболы можно найти по формулам:

Можно построить линии и поточечно.

На отрезке [-2;1] график функции y=x 2 +2 расположен над осью Ox , поэтому:

Ответ: S =9 кв.ед.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью Ох?

b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-e x , x=1 и координатными осями.

Решение.

Выполним чертеж.

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох , то её площадь можно найти по формуле:

Ответ: S=(e-1) кв.ед.»1,72 кв.ед.

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости.

с) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=2х-х 2 , у=-х.

Решение.

Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический.

Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования а=0 , верхний предел интегрирования b=3 .

Строим заданные линии: 1. Парабола - вершина в точке (1;1); пересечение с осью Ох - точки(0;0) и (0;2). 2. Прямая - биссектриса 2-го и 4-го координатных углов. А теперь Внимание! Если на отрезке [a;b ] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x) , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: . И не важно , где расположена фигура - над осью или под осью, а важно , какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой- НИЖЕ. В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Можно построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными).

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ: S =4,5 кв.ед.

Из данной статьи вы узнаете, как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, используя вычисления с помощью интегралов. Впервые с постановкой такой задачи мы сталкиваемся в старших классах, когда только-только пройдено изучение определенных интегралов и пора приступить к геометрической интерпретации полученных знаний на практике.

Итак, что потребуется для успешного решения задачи по поиску площади фигуры с помощью интегралов:

• Умение грамотно строить чертежи;
• Умение решать определенный интеграл с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница;
• Умение «увидеть» более выгодный вариант решения - т.е. понять, как в том или ином случае будет удобнее проводить интегрирование? Вдоль оси икс (OX) или оси игрек (OY)?
• Ну и куда без корректных вычислений?) Сюда входит понимание как решать тот иной тип интегралов и правильные численные вычисления.

Алгоритм решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями:

1. Строим чертеж. Желательно это делать на листке в клетку, с большим масштабом. Подписываем карандашом над каждым графиком название этой функции. Подпись графиков делается исключительно ради удобства дальнейших вычислений. Получив график искомой фигуры, в большинстве случаев будет видно сразу, какие пределы интегрирования будут использованы. Таким образом мы решаем задачу графическим методом. Однако бывает так, что значения пределов дробные или иррациональные. Поэтому, можно сделать дополнительные расчеты, переходим в шагу два.

2. Если явно не заданы пределы интегрирования, то находим точки пересечения графиков друг с другом, и смотрим, совпадает ли наше графическое решение с аналитическим.

3. Далее, необходимо проанализировать чертеж. В зависимости от того, как располагаются графики функций, существуют разные подходы к нахождению площади фигуры. Рассмотрим разные примеры на нахождение площади фигуры при помощи интегралов.

3.1. Самый классический и простой вариант задачи, это когда нужно найти площадь криволинейной трапеции. Что такое криволинейная трапеция? Это плоская фигура, ограниченная осью икс (у = 0) , прямыми х = а, х = b и любой кривой, непрерывной на промежутке от a до b . При этом, данная фигура неотрицательна и располагается не ниже оси абсцисс. В этом случае, площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу, вычисляемого по формуле Ньютона-Лейбница:

Пример 1 y = x2 — 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0 .

Какими линиями ограничена фигура? Имеем параболу y = x2 — 3x + 3 , которая располагается над осью ОХ , она неотрицательна, т.к. все точки этой параболы имеют положительные значения. Далее, заданы прямые х = 1 и х = 3 , которые пролегают параллельно оси ОУ , являются ограничительными линиями фигуры слева и справа. Ну и у = 0 , она же ось икс, которая ограничивает фигуру снизу. Полученная фигура заштрихована, как видно из рисунка слева. В данном случае, можно сразу приступать к решению задачи. Перед нами простой пример криволинейной трапеции, которую далее решаем с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

3.2. В предыдущем пункте 3.1 разобран случай, когда криволинейная трапеция расположена над осью икс. Теперь рассмотрим случай, когда условия задачи такие же, за исключением того, что функция пролегает под осью икс. К стандартной формуле Ньютона-Лейбница добавляется минус. Как решать подобную задачу рассмотрим далее.

Пример 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 .

В данном примере имеем параболу y = x2 + 6x + 2 , которая берет свое начало из-под оси ОХ , прямые х = -4, х = -1, у = 0 . Здесь у = 0 ограничивает искомую фигуру сверху. Прямые х = -4 и х = -1 это границы, в пределах которых будет вычисляться определенный интеграл. Принцип решения задачи на поиск площади фигуры практически полностью совпадает с примером номер 1. Единственное различие в том, что заданная функция не положительная, и все также непрерывная на промежутке [-4; -1] . Что значит не положительная? Как видно из рисунка, фигура, которая заключается в рамках заданных иксов имеет исключительно «отрицательные» координаты, что нам и требуется увидеть и помнить при решении задачи. Площадь фигуры ищем по формуле Ньютона-Лейбница, только со знаком минус в начале.

Статья не завершена.

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), где \(\Delta x_k \) - длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х 0 , b = x n ; \(\Delta x_0 \) - длина отрезка , \(\Delta x_1 \) - длина отрезка , и т.д; при этом, как мы условились выше, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_{n-1} \)

Итак, \(S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n):
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t k . Итак, мы считаем, что v = v(t k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени , это приближенное значение обозначим s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\(s \approx S_n \) где
\(S_n = s_0 + \dots + s_{n-1} = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1} \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S n):
$$ s = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ \lim_{n \to \infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:

Формула Ньютона - Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости - обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) - первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона - Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646- 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона - Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\(S = S_{ABCD} = S_{aDCb} - S_{aABb} = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$