Intersection de deux lignes. Angle et point d'intersection. Les problèmes les plus simples avec une ligne droite sur un avion. Arrangement mutuel de lignes droites. Angle entre les lignes droites

Ligne perpendiculaire

Cette tâche est probablement l'une des plus populaires et des plus demandées dans les manuels scolaires. Les tâches basées sur ce sujet sont multiples. C'est la définition du point d'intersection de deux lignes droites, c'est la définition de l'équation d'une ligne droite passant par un point de la ligne droite d'origine à un certain angle.

Nous aborderons ce sujet, en utilisant les données obtenues avec l'aide de

C'est là que la transformation de l'équation générale d'une droite en une équation avec une pente et vice versa a été envisagée, et la détermination des paramètres restants d'une droite selon des conditions données.

Qu'est-ce qui ne nous suffit pas pour résoudre les problèmes auxquels cette page est consacrée?

1. Formules pour calculer l'un des angles entre deux droites qui se croisent.

Si nous avons deux lignes données par les équations:

alors l'un des angles est calculé comme suit:

2. Équation d'une droite avec une pente passant par un point donné

De la Formule 1, nous pouvons voir deux états limites

a) quand alors et donc ces deux droites données sont parallèles (ou coïncident)

b) lorsque, alors, et par conséquent, ces droites sont perpendiculaires, c'est-à-dire qu'elles se coupent à angle droit.

Quelles données initiales peuvent être pour résoudre de tels problèmes, sauf pour une ligne droite donnée?

Un point sur une ligne droite et l'angle auquel la deuxième ligne la coupe

La deuxième équation de la ligne droite

Quelles tâches un bot peut-il résoudre?

1. Deux droites sont données (explicitement ou implicitement, par exemple, le long de deux points). Calculez le point d'intersection et les angles auxquels ils se croisent.

2. Une ligne droite, un point sur une ligne droite et un angle sont donnés. Déterminer l'équation d'une ligne droite qui saute une donnée à un angle spécifié

Exemples de

Deux droites sont données par des équations. Trouvez le point d'intersection de ces lignes et les angles auxquels elles se croisent

ligne_p A \u003d 11; B \u003d -5; C \u003d 6, k \u003d 3/7; b \u003d -5

On obtient le résultat suivant

Équation de première ligne

y \u003d 2,2 x + (1,2)

Équation de la deuxième ligne

y \u003d 0,4285714285714 x + (-5)

Angle d'intersection de deux lignes droites (en degrés)

-42.357454705937

Point d'intersection de deux lignes

x \u003d -3,5

y \u003d -6,5

N'oubliez pas que les paramètres des deux lignes sont séparés par une virgule et les paramètres de chaque ligne sont séparés par un point-virgule.

La ligne droite passe par deux points (1: -4) et (5: 2). Trouvez l'équation de la ligne qui passe par le point (-2: -8) et coupe la ligne d'origine à un angle de 30 degrés.

Une ligne droite nous est connue, puisque nous connaissons deux points par lesquels elle passe.

Reste à déterminer l'équation de la deuxième ligne. Nous connaissons un point, et au lieu du second, l'angle auquel la première ligne coupe la seconde est indiqué.

Il semble que tout soit connu, mais l'essentiel est de ne pas se tromper. Nous parlons de l'angle (30 degrés) non pas entre l'axe des abscisses et la ligne, mais entre les première et deuxième lignes.

Pour ce faire, nous publions comme ça. Définissons les paramètres de la première ligne et découvrons à quel angle elle coupe l'axe des abscisses.

ligne xa \u003d 1; xb \u003d 5; ya \u003d -4; yb \u003d 2

Équation générale Ax + By + C \u003d 0

Coefficient A \u003d -6

Coefficient B \u003d 4

Coefficient C \u003d 22

Coefficient a \u003d 3,66666666666667

Coefficient b \u003d -5,5

Coefficient k \u003d 1,5

Angle d'inclinaison par rapport à l'axe (en degrés) f \u003d 56,309932474019

Coefficient p \u003d 3,0508510792386

Coefficient q \u003d 2,5535900500422

Distance entre les points \u003d 7,211102550928

On voit que la première ligne coupe l'axe à un angle 56.309932474019 degrés.

Les données originales ne disent pas exactement comment la deuxième ligne traverse la première. Après tout, vous pouvez créer deux lignes satisfaisant les conditions, la première tournée de 30 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre et la seconde de 30 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Attrapons-les et comptons-les

Si la deuxième ligne est tournée de 30 degrés dans le sens antihoraire, la deuxième ligne aura un degré d'intersection avec l'axe des abscisses 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 degrés

line_p xa \u003d -2; ya \u003d -8; f \u003d 86,309932474019

Paramètres de ligne droite par paramètres spécifiés

Équation générale Ax + By + C \u003d 0

Coefficient А \u003d 23,011106998916

Coefficient B \u003d -1,4840558255286

Coefficient C \u003d 34,149767393603

Équation d'une droite en segments x / a + y / b \u003d 1

Coefficient a \u003d -1,4840558255286

Coefficient b \u003d 23,011106998916

Équation d'une droite avec coefficient angulaire y \u003d kx + b

Coefficient k \u003d 15,505553499458

Angle d'inclinaison par rapport à l'axe (en degrés) f \u003d 86,309932474019

Équation normale d'une droite x * cos (q) + y * sin (q) -p \u003d 0

Coefficient p \u003d -1,4809790664999

Coefficient q \u003d 3,0771888256405

Distance entre les points \u003d 23,058912962428

Distance du point à la ligne li \u003d

c'est-à-dire que notre deuxième équation de ligne est y \u003d 15,505553499458x+ 23.011106998916

Si les lignes se croisent en un point, ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d'intersection des lignes? Résolvez le système.

Tant pis pour toi signification géométrique d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues Sont deux lignes droites qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Il est pratique de diviser la tâche en plusieurs étapes. L'analyse de la condition suggère ce qui est nécessaire:
1) Faites l'équation d'une ligne droite.
2) Faites l'équation de la deuxième ligne droite.
3) Découvrez la position relative des lignes droites.
4) Si les lignes se croisent, trouvez le point d'intersection.

Exemple 13.

Trouvez le point d'intersection des lignes

Décision: Il est conseillé de rechercher le point d'intersection en utilisant la méthode analytique. Résolvons le système:

Répondre:

A.6.4. Distance d'un point à l'autre

Devant nous se trouve une bande droite de la rivière et notre tâche est de l'atteindre par le chemin le plus court. Il n'y a pas d'obstacles et l'itinéraire le plus optimal sera le mouvement le long de la perpendiculaire. Autrement dit, la distance d'un point à une ligne droite est la longueur d'une ligne perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement désignée par la lettre grecque "ro", par exemple: - la distance du point "em" à la droite "de".

Distance du point à droite exprimé par la formule

Exemple 14.

Trouvez la distance d'un point à l'autre

Décision: tout ce dont vous avez besoin est de substituer soigneusement les nombres dans la formule et d'effectuer les calculs:

Répondre:

A.6.5. Angle entre les lignes droites.

Exemple 15.

Trouvez l'angle entre les lignes droites.

1. Vérifiez si les lignes droites sont perpendiculaires:

Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs des droites:
par conséquent, les lignes droites ne sont pas perpendiculaires.
2. L'angle entre les lignes droites est déterminé à l'aide de la formule:

Donc:

Répondre:

Courbes du second ordre. Cercle

Soit un repère rectangulaire 0xy donné sur le plan.

Courbe du second ordre est appelée une ligne sur un plan, déterminée par une équation du second degré par rapport aux coordonnées courantes du point M (x, y, z). En général, cette équation a la forme:

où les coefficients A, B, C, D, E, L sont des nombres réels, et au moins l'un des nombres A, B, C est différent de zéro.

1. cercle appelé l'ensemble des points sur le plan, la distance à partir de laquelle un point fixe M 0 (x 0, y 0) est constante et égale à R. Le point M 0 est appelé le centre du cercle, et le nombre R est son rayon

- l'équation d'un cercle centré au point M 0 (x 0, y 0) et de rayon R.

Si le centre du cercle coïncide avec l'origine, alors nous avons:

- l'équation canonique du cercle.

Ellipse.

Ellipse on appelle un ensemble de points sur un plan, pour chacun desquels la somme des distances à deux points donnés est une valeur constante (de plus, cette valeur est supérieure aux distances entre ces points). Ces points sont appelés foyers d'une ellipse.

- l'équation canonique de l'ellipse.

La relation s'appelle excentricité ellipse et désignée par:,. Depuis< 1.

Par conséquent, avec la diminution, le rapport tend vers 1, c'est-à-dire b diffère peu de a et la forme de l'ellipse se rapproche de la forme d'un cercle. Dans le cas limite à , on obtient un cercle dont l'équation est

x 2 + y 2 \u003d un 2.

Hyperbole

Hyperbole est appelé l'ensemble des points sur le plan, pour chacun desquels la valeur absolue de la différence entre les distances à deux points donnés, appelée des trucs, est une valeur constante (à condition que cette valeur soit inférieure à la distance entre les foyers et ne soit pas égale à 0).

Soit F 1, F 2 des foyers, la distance entre eux sera notée 2c, le paramètre de la parabole).

- l'équation canonique de la parabole.

Notez que l'équation pour p négatif définit également une parabole, qui sera située à gauche de l'axe 0y. L'équation décrit une parabole symétrique autour de l'axe 0y, située au-dessus de l'axe 0x pour p\u003e 0 et au-dessous de l'axe 0x pour p< 0.

Lors de la résolution de certains problèmes géométriques par la méthode des coordonnées, il faut trouver les coordonnées du point d'intersection des droites. Le plus souvent, il est nécessaire de rechercher les coordonnées du point d'intersection de deux lignes droites sur un plan, mais il devient parfois nécessaire de déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux lignes droites dans l'espace. Dans cet article, nous traiterons simplement de trouver les coordonnées du point d'intersection de deux lignes.

Navigation dans les pages.

Point d'intersection de deux lignes - définition.

Commençons par définir le point d'intersection de deux lignes.

Ainsi, afin de trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites, définies sur le plan par des équations générales, vous devez résoudre un système composé d'équations de droites données.

Considérons la solution d'un exemple.

Exemple.

Trouvez le point d'intersection de deux lignes définies dans un système de coordonnées rectangulaire sur un plan par les équations x-9y + 14 \u003d 0 et 5x-2y-16 \u003d 0.

Décision.

On nous donne deux équations générales de droites, nous allons composer un système à partir d'elles: ... Les solutions du système d'équations résultant sont faciles à trouver si nous résolvons sa première équation par rapport à la variable x et substituons cette expression dans la deuxième équation:

La solution trouvée du système d'équations nous donne les coordonnées requises du point d'intersection de deux droites.

Répondre:

M 0 (4, 2) x-9y + 14 \u003d 0 et 5x-2y-16 \u003d 0.

Ainsi, trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites, déterminées par des équations générales sur le plan, se réduit à résoudre un système de deux équations linéaires à deux variables inconnues. Mais que se passe-t-il si les droites sur un plan ne sont pas données par des équations générales, mais par des équations d'un autre type (voir les types d'équations d'une droite sur un plan)? Dans ces cas, vous pouvez d'abord amener les équations des lignes droites à une forme générale, et seulement après cela, trouver les coordonnées du point d'intersection.

Exemple.

et.

Décision.

Avant de trouver les coordonnées du point d'intersection des droites données, amenons leurs équations à une forme générale. Transition d'équations paramétriques à une ligne droite à l'équation générale de cette droite est la suivante:

Maintenant, nous effectuons les actions nécessaires avec l'équation canonique de la ligne:

Ainsi, les coordonnées recherchées du point d'intersection de droites sont une solution à un système d'équations de la forme ... Nous utilisons pour le résoudre:

Répondre:

M 0 (-5, 1)

Il existe une autre façon de trouver les coordonnées du point d'intersection de deux lignes droites sur un plan. Il est pratique de l'utiliser lorsque l'une des droites est donnée par des équations paramétriques de la forme , et l'autre est une équation d'une ligne droite d'un type différent. Dans ce cas, au lieu des variables x et y, les expressions peuvent être substituées dans une autre équation et d'où vous pouvez obtenir la valeur qui correspond au point d'intersection des lignes données. Dans ce cas, le point d'intersection des lignes a des coordonnées.

Trouvons ainsi les coordonnées du point d'intersection des lignes de l'exemple précédent.

Exemple.

Déterminez les coordonnées du point d'intersection des lignes et.

Décision.

Remplaçons l'expression directe dans l'équation:

Après avoir résolu l'équation résultante, nous obtenons. Cette valeur correspond au point commun des lignes et. Nous calculons les coordonnées du point d'intersection, en remplaçant la ligne droite dans les équations paramétriques:
.

Répondre:

M 0 (-5, 1).

Pour compléter le tableau, un autre point doit être discuté.

Avant de trouver les coordonnées de l'intersection de deux lignes sur le plan, il est utile de s'assurer que les lignes données se croisent. S'il s'avère que les lignes d'origine coïncident ou sont parallèles, alors il ne peut être question de trouver les coordonnées du point d'intersection de telles lignes.

Il est possible, bien sûr, de se passer d'un tel contrôle, et de composer immédiatement un système d'équations de la forme et résolvez-le. Si le système d'équations a une solution unique, il donne les coordonnées du point où les lignes d'origine se croisent. Si le système d'équations n'a pas de solutions, alors nous pouvons conclure que les droites originales sont parallèles (puisqu'il n'y a pas de paire de nombres réels x et y qui satisferaient les deux équations des droites données simultanément). De la présence d'un ensemble infini de solutions au système d'équations, il s'ensuit que les droites originales ont une infinité de points communs, c'est-à-dire qu'elles coïncident.

Regardons des exemples qui correspondent à ces situations.

Exemple.

Découvrez si les lignes et se croisent, et si c'est le cas, trouvez les coordonnées du point d'intersection.

Décision.

Les équations données des droites correspondent aux équations et ... Résolvons le système composé de ces équations .

De toute évidence, les équations du système sont exprimées linéairement les unes par rapport aux autres (la deuxième équation du système est obtenue à partir de la première en multipliant ses deux parties par 4), par conséquent, le système d'équations a un ensemble infini de solutions. Ainsi, les équations et déterminent la même ligne droite, et on ne peut pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces droites.

Répondre:

Les équations et définissent la même ligne droite dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy, nous ne pouvons donc pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection.

Exemple.

Trouvez les coordonnées de l'intersection des lignes et , si possible.

Décision.

L'état du problème admet que les lignes peuvent être disjointes. Composons un système de ces équations. Nous pouvons l'appliquer pour le résoudre, car il vous permet d'établir la compatibilité ou l'incohérence du système d'équations, et dans le cas de sa compatibilité, trouver une solution:

La dernière équation du système après l'exécution directe de la méthode de Gauss s'est transformée en une égalité incorrecte, par conséquent, le système d'équations n'a pas de solutions. Par conséquent, nous pouvons conclure que les lignes droites d'origine sont parallèles, et nous ne pouvons pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces lignes droites.

Deuxième solution.

Voyons si les lignes données se croisent.

est le vecteur normal de la ligne et le vecteur est le vecteur normal de la ligne ... Vérifier l'exécution et : égalité est vrai, puisque, par conséquent, les vecteurs normaux des droites données sont colinéaires. Ensuite, ces lignes sont parallèles ou coïncident. Ainsi, nous ne pouvons pas trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes d'origine.

Répondre:

Il est impossible de trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes données, car ces lignes sont parallèles.

Exemple.

Trouvez les coordonnées du point d'intersection des lignes 2x-1 \u003d 0 et si elles se croisent.

Décision.

Composons un système d'équations qui sont des équations générales de lignes données: ... Le déterminant de la matrice principale de ce système d'équations est différent de zéro , par conséquent, le système d'équations a une solution unique, qui indique l'intersection des lignes données.

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes droites, nous devons résoudre le système:

La solution résultante nous donne les coordonnées du point d'intersection des lignes, c'est-à-dire 2x-1 \u003d 0 et.

Répondre:

Recherche des coordonnées du point d'intersection de deux lignes droites dans l'espace.

Les coordonnées du point d'intersection de deux lignes droites dans l'espace tridimensionnel se trouvent de la même manière.

Considérons des solutions d'exemples.

Exemple.

Trouvez les coordonnées du point d'intersection de deux droites, données dans l'espace par des équations et .

Décision.

Composons un système d'équations à partir d'équations de lignes données: ... La solution de ce système nous donnera les coordonnées requises du point d'intersection des droites dans l'espace. Trouvons la solution du système écrit d'équations.

La matrice principale du système a la forme et étendu - .

Nous définissons A et le rang de la matrice T. Nous utilisons

Dans l'espace bidimensionnel, deux lignes droites ne se croisent qu'en un seul point, spécifié par les coordonnées (x, y). Puisque les deux lignes passent par le point de leur intersection, les coordonnées (x, y) doivent satisfaire les deux équations qui décrivent ces lignes. Avec quelques compétences supplémentaires, vous pouvez trouver les points d'intersection des paraboles et d'autres courbes quadratiques.

Pas

Point d'intersection de deux lignes

Écrivez l'équation pour chaque ligne, en isolant la variable «y» sur le côté gauche de l'équation. Les autres termes de l'équation doivent être placés sur le côté droit de l'équation. Peut-être que l'équation qui vous est donnée au lieu de "y" contiendra la variable f (x) ou g (x); dans ce cas, isolez une telle variable. Pour isoler une variable, effectuez les calculs appropriés des deux côtés de l'équation.

• Si les équations des droites ne vous sont pas données, sur la base des informations que vous connaissez.
• Exemple... Les lignes sont données, décrites par des équations et y - 12 \u003d - 2 x (\\ Displaystyle y-12 \u003d -2x)... Pour isoler le y dans la deuxième équation, ajoutez 12 aux deux côtés de l'équation:

1. Vous recherchez le point d'intersection des deux lignes, c'est-à-dire le point dont les coordonnées (x, y) satisfont les deux équations. Puisque la variable «y» est située sur le côté gauche de chaque équation, les expressions situées sur le côté droit de chaque équation peuvent être assimilées. Écrivez la nouvelle équation.

   • Exemple... Comme y \u003d x + 3 (\\ Displaystyle y \u003d x + 3) et y \u003d 12 - 2 x (\\ Displaystyle y \u003d 12-2x), alors vous pouvez écrire l'égalité suivante:.

2. Trouvez la valeur de la variable "x". La nouvelle équation ne contient qu'une seule variable «x». Pour trouver le «x», isolez cette variable sur le côté gauche de l'équation en faisant le calcul approprié des deux côtés de l'équation. Vous devriez obtenir une équation de la forme x \u003d __ (si vous ne pouvez pas faire cela, cette section).

   • Exemple. x + 3 \u003d 12 - 2 x (\\ Displaystyle x + 3 \u003d 12-2x)
   • Ajouter 2 x (\\ Displaystyle 2x) de chaque côté de l'équation:
   • 3 x + 3 \u003d 12 (\\ Displaystyle 3x + 3 \u003d 12)
   • Soustrayez 3 de chaque côté de l'équation:
   • 3 x \u003d 9 (\\ Displaystyle 3x \u003d 9)
   • Divisez chaque côté de l'équation par 3:
   • x \u003d 3 (\\ Displaystyle x \u003d 3).

3. Utilisez la valeur trouvée de la variable «x» pour calculer la valeur de la variable «y». Pour ce faire, remplacez la valeur trouvée "x" dans l'équation (n'importe quelle) ligne droite.

   • Exemple. x \u003d 3 (\\ Displaystyle x \u003d 3) et y \u003d x + 3 (\\ Displaystyle y \u003d x + 3)
   • y \u003d 3 + 3 (\\ Displaystyle y \u003d 3 + 3)
   • y \u003d 6 (\\ Displaystyle y \u003d 6)

4. Vérifie ta réponse. Pour ce faire, remplacez la valeur "x" dans une autre équation de la ligne et trouvez la valeur "y". Si vous obtenez des valeurs y différentes, vérifiez que vos calculs sont corrects.

   • Exemple: x \u003d 3 (\\ Displaystyle x \u003d 3) et y \u003d 12 - 2 x (\\ Displaystyle y \u003d 12-2x)
   • y \u003d 12 - 2 (3) (\\ Displaystyle y \u003d 12-2 (3))
   • y \u003d 12 - 6 (\\ Displaystyle y \u003d 12-6)
   • y \u003d 6 (\\ Displaystyle y \u003d 6)
   • Vous avez la même valeur pour "y", il n'y a donc aucune erreur dans vos calculs.

5. Notez les coordonnées (x, y). En calculant les valeurs de "x" et "y", vous avez trouvé les coordonnées de l'intersection de deux lignes. Écrivez les coordonnées du point d'intersection sous la forme (x, y).

   • Exemple. x \u003d 3 (\\ Displaystyle x \u003d 3) et y \u003d 6 (\\ Displaystyle y \u003d 6)
   • Ainsi, les deux droites se croisent au point de coordonnées (3,6).

6. Calculs dans des cas particuliers. Dans certains cas, la valeur de la variable "x" est introuvable. Mais cela ne veut pas dire que vous avez fait une erreur. Un cas particulier se produit lorsque l'une des conditions suivantes est remplie:

   • Si deux lignes sont parallèles, elles ne se croisent pas. Dans ce cas, la variable «x» sera simplement annulée et votre équation se transformera en une égalité dénuée de sens (par exemple, 0 \u003d 1 (\\ Displaystyle 0 \u003d 1)). Dans ce cas, écrivez dans la réponse que les lignes ne se croisent pas ou qu'il n'y a pas de solution.
   • Si les deux équations décrivent une ligne droite, alors il y aura un ensemble infini de points d'intersection. Dans ce cas, la variable «x» sera simplement annulée et votre équation se transformera en une égalité stricte (par exemple, 3 \u003d 3 (\\ Displaystyle 3 \u003d 3)). Dans ce cas, notez dans votre réponse que les deux lignes droites coïncident.

   Problèmes avec les fonctions quadratiques

   1. Définition d'une fonction quadratique. Dans une fonction quadratique, une ou plusieurs variables ont le deuxième degré (mais pas plus élevé), par exemple, x 2 (\\ Displaystyle x ^ (2)) ou y 2 (\\ Displaystyle y ^ (2))... Les tracés de fonctions quadratiques sont des courbes qui ne peuvent pas se croiser ou se croiser en un ou deux points. Dans cette section, nous allons vous montrer comment trouver le point ou les points d'intersection des courbes quadratiques.

   2. Réécrivez chaque équation en isolant la variable «y» sur le côté gauche de l'équation. Les autres termes de l'équation doivent être placés sur le côté droit de l'équation.

      • Exemple... Trouvez le (s) point (s) d'intersection des graphes x 2 + 2 x - y \u003d - 1 (\\ Displaystyle x ^ (2) + 2x-y \u003d -1) et
      • Isolez la variable "y" sur le côté gauche de l'équation:
      • et y \u003d x + 7 (\\ Displaystyle y \u003d x + 7) .
      • Dans cet exemple, vous recevez une fonction quadratique et une fonction linéaire. N'oubliez pas que si vous disposez de deux fonctions quadratiques, les calculs sont similaires aux étapes ci-dessous.

   3. Égalisez les expressions du côté droit de chaque équation. Puisque la variable «y» est située sur le côté gauche de chaque équation, les expressions situées sur le côté droit de chaque équation peuvent être assimilées.

      • Exemple. y \u003d x 2 + 2 x + 1 (\\ Displaystyle y \u003d x ^ (2) + 2x + 1) et y \u003d x + 7 (\\ Displaystyle y \u003d x + 7)

   4. Transférez tous les termes de l'équation résultante sur son côté gauche et écrivez 0 sur le côté droit. Pour ce faire, effectuez des opérations mathématiques de base. Cela vous permettra de résoudre l'équation résultante.

      • Exemple. x 2 + 2 x + 1 \u003d x + 7 (\\ Displaystyle x ^ (2) + 2x + 1 \u003d x + 7)
      • Soustrayez "x" des deux côtés de l'équation:
      • x 2 + x + 1 \u003d 7 (\\ Displaystyle x ^ (2) + x + 1 \u003d 7)
      • Soustrayez 7 des deux côtés de l'équation:

   5. Résolvez l'équation quadratique. En déplaçant tous les termes de l'équation sur son côté gauche, vous obtenez une équation quadratique. Il peut être résolu de trois manières: en utilisant une formule spéciale, et.

      • Exemple. x 2 + x - 6 \u003d 0 (\\ Displaystyle x ^ (2) + x-6 \u003d 0)
      • Lors de la factorisation d'une équation, vous obtenez deux binômes que vous multipliez pour obtenir l'équation d'origine. Dans notre exemple, le premier terme x 2 (\\ Displaystyle x ^ (2)) peut être développé en x * x. Faites l'entrée suivante: (x) (x) \u003d 0
      • Dans notre exemple, le terme libre -6 peut être étendu aux facteurs suivants: - 6 ∗ 1 (\\ displaystyle -6 * 1), - 3 ∗ 2 (\\ Displaystyle -3 * 2), - 2 ∗ 3 (\\ Displaystyle -2 * 3), - 1 ∗ 6 (\\ Displaystyle -1 * 6).
      • Dans notre exemple, le deuxième terme est x (ou 1x). Ajoutez chaque paire de facteurs d'interception (dans notre exemple -6) jusqu'à obtenir 1. Dans notre exemple, la paire appropriée de facteurs d'interception est -2 et 3 ( - 2 ∗ 3 \u003d - 6 (\\ displaystyle -2 * 3 \u003d -6)), comme - 2 + 3 \u003d 1 (\\ Displaystyle -2 + 3 \u003d 1).
      • Remplissez les espaces avec la paire de nombres trouvée:.

   6. N'oubliez pas le deuxième point d'intersection des deux graphiques. Si vous résolvez le problème rapidement et pas très soigneusement, vous pouvez oublier le deuxième point d'intersection. Voici comment trouver les coordonnées x de deux points d'intersection:

      • Exemple (factorisation)... Si dans l'équation (x - 2) (x + 3) \u003d 0 (\\ Displaystyle (x-2) (x + 3) \u003d 0) l'une des expressions entre parenthèses sera égale à 0, alors toute l'équation sera égale à 0. Par conséquent, vous pouvez l'écrire comme ceci: x - 2 \u003d 0 (\\ Displaystyle x-2 \u003d 0) → x \u003d 2 (\\ Displaystyle x \u003d 2) et x + 3 \u003d 0 (\\ Displaystyle x + 3 \u003d 0) → x \u003d - 3 (\\ Displaystyle x \u003d -3) (c'est-à-dire que vous avez trouvé deux racines de l'équation).
      • Exemple (utiliser une formule ou compléter un carré)... Lorsque vous utilisez l'une de ces méthodes, la racine carrée apparaîtra dans le processus de résolution. Par exemple, l'équation de notre exemple prend la forme x \u003d (- 1 + 25) / 2 (\\ Displaystyle x \u003d (- 1 + (\\ sqrt (25))) / 2)... N'oubliez pas que vous obtenez deux solutions lorsque vous utilisez la racine carrée. Dans notre cas: 25 \u003d 5 ∗ 5 (\\ Displaystyle (\\ sqrt (25)) \u003d 5 * 5), et 25 \u003d (- 5) ∗ (- 5) (\\ Displaystyle (\\ sqrt (25)) \u003d (- 5) * (- 5))... Alors écrivez deux équations et trouvez les deux valeurs x.

   7. Les graphiques se coupent en un point ou ne se croisent pas du tout. De telles situations se produisent lorsque les conditions suivantes sont remplies:

      • Si les graphiques se coupent en un point, l'équation quadratique est décomposée en les mêmes facteurs, par exemple, (x-1) (x-1) \u003d 0 et la racine carrée de 0 ( 0 (\\ Displaystyle (\\ sqrt (0)))). Dans ce cas, l'équation n'a qu'une seule solution.
      • Si les graphiques ne se croisent pas du tout, l'équation n'est pas décomposée en facteurs et la racine carrée d'un nombre négatif apparaît dans la formule (par exemple, - 2 (\\ Displaystyle (\\ sqrt (-2)))). Dans ce cas, écrivez dans votre réponse qu'il n'y a pas de solution.

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooPar conséquent, nous allons passer à la première section, j'espère qu'à la fin de l'article, je conserverai un état d'esprit joyeux.

La position relative de deux lignes droites

Le cas où le public chante avec le chœur. Deux lignes droites peuvent:

1) match;

2) être parallèle :;

3) ou se croisent en un seul point:.

Aide pour les nuls : rappelez-vous le signe mathématique de l'intersection, ce sera très courant. La notation indique qu'une ligne droite coupe une ligne droite en un point.

Comment déterminer la position relative de deux lignes droites?

Commençons par le premier cas:

Deux droites coïncident si et seulement si leurs coefficients correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire qu'il existe un nombre tel "lambda" que les égalités

Considérez des lignes droites et composez trois équations à partir des coefficients correspondants:. Il résulte de chaque équation que, par conséquent, ces lignes coïncident.

En effet, si tous les coefficients de l'équation multiplier par -1 (changer les signes), et tous les coefficients de l'équation réduit de 2, vous obtenez la même équation:.

Le deuxième cas, lorsque les lignes sont parallèles:

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients pour les variables sont proportionnels: mais.

À titre d'exemple, considérons deux lignes. Nous vérifions la proportionnalité des coefficients correspondants pour les variables:

Cependant, il est tout à fait clair que.

Et le troisième cas, lorsque les lignes se croisent:

Deux droites se croisent si et seulement si leurs coefficients pour les variables ne sont PAS proportionnels, c'est-à-dire qu'il n'y a AUCUNE valeur "lambda" pour faire les égalités

Donc, pour les lignes droites, nous allons composer le système:

De la première équation il suit que, et de la deuxième équation:, donc, le système est incohérent (pas de solutions). Ainsi, les coefficients des variables ne sont pas proportionnels.

Conclusion: les lignes se croisent

Dans les problèmes pratiques, vous pouvez utiliser le schéma de solution que vous venez de considérer. À propos, il est très similaire à l'algorithme de vérification de la colinéarité des vecteurs, que nous avons considéré dans la leçon Le concept de (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle... Mais il existe un emballage plus civilisé:

Exemple 1

Découvrez la position relative des lignes droites:

Décision basé sur l'étude des vecteurs directeurs de droites:

a) À partir des équations, nous trouvons les vecteurs directeurs des droites: .

, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les lignes se croisent.

Au cas où, je poserai une pierre avec des pointeurs au carrefour:

Les autres sautent par-dessus la pierre et continuent, tout droit vers Kashchei l'Immortel \u003d)

b) Trouvez les vecteurs de direction des droites:

Les lignes ont le même vecteur de direction, ce qui signifie qu'elles sont parallèles ou coïncident. Il n'est pas nécessaire de compter le déterminant ici.

Il est évident que les coefficients pour les inconnues sont proportionnels, tandis que.

Voyons si l'égalité est vraie:

Donc,

c) Trouvez les vecteurs de direction des droites:

Calculons le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs:
par conséquent, les vecteurs de direction sont colinéaires. Les lignes sont parallèles ou coïncident.

Le coefficient de proportionnalité "lambda" n'est pas difficile à voir directement à partir du rapport des vecteurs de direction colinéaire. Cependant, il peut également être trouvé à travers les coefficients des équations elles-mêmes: .

Voyons maintenant si l'égalité est vraie. Les deux termes gratuits sont nuls, donc:

La valeur résultante satisfait cette équation (tout nombre la satisfait généralement).

Ainsi, les lignes coïncident.

Répondre:

Très bientôt, vous apprendrez (ou même avez déjà appris) à résoudre oralement le problème considéré en quelques secondes. À cet égard, je ne vois aucune raison de proposer quelque chose pour une solution indépendante, il vaut mieux poser une autre brique importante dans la fondation géométrique:

Comment construire une droite parallèle à une donnée?

Pour l'ignorance de cette tâche la plus simple, le Nightingale the Robber punit sévèrement.

Exemple 2

La ligne droite est donnée par l'équation. Assimilez une ligne parallèle qui passe par un point.

Décision: Désignons la lettre directe inconnue. Que dit la condition sur elle? La ligne droite passe par le point. Et si les droites sont parallèles, alors il est évident que le vecteur directeur de la droite "tse" convient également pour construire la droite "de".

Nous retirons le vecteur de direction de l'équation:

Répondre:

La géométrie de l'exemple semble simple:

La vérification analytique comprend les étapes suivantes:

1) On vérifie que les droites ont le même vecteur de direction (si l'équation de la droite n'est pas correctement simplifiée, alors les vecteurs seront colinéaires).

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation obtenue.

L'examen analytique est dans la plupart des cas facile à faire oralement. Regardez les deux équations, et vous serez nombreux à déterminer rapidement le parallélisme des lignes droites sans aucun dessin.

Les exemples d'auto-solution d'aujourd'hui seront créatifs. Parce que vous devez encore rivaliser avec Baba Yaga, et elle, vous savez, est une amoureuse de toutes sortes d'énigmes.

Exemple 3

Faire une équation d'une ligne droite passant par un point parallèle à une ligne droite si

Il existe une solution rationnelle et pas très rationnelle. Le chemin le plus court est à la fin de la leçon.

Nous avons fait un peu de travail avec des lignes parallèles et nous y reviendrons plus tard. Le cas des lignes droites qui coïncident n'a que peu d'intérêt, alors considérez un problème que vous connaissez bien dans le programme scolaire:

Comment trouver le point d'intersection de deux lignes?

Si droit se croisent en un point, alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d'intersection des lignes? Résolvez le système.

Tant pis pour toi signification géométrique d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues Sont deux lignes droites qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Exemple 4

Trouvez le point d'intersection des lignes

Décision: Il existe deux façons de résoudre - graphique et analytique.

La manière graphique consiste simplement à dessiner les lignes de données et à trouver le point d'intersection directement à partir du dessin:

Voici notre point:. Pour le vérifier, vous devez substituer ses coordonnées dans chaque équation d'une ligne droite, elles doivent s'adapter à la fois là et là. En d'autres termes, les coordonnées d'un point sont la solution du système. Fondamentalement, nous avons examiné une manière graphique de résoudre systèmes d'équations linéaires avec deux équations, deux inconnues.

La méthode graphique, bien sûr, n'est pas mauvaise, mais il y a des inconvénients notables. Non, le fait n'est pas que les élèves de septième en décident ainsi, le fait est qu'il faudra du temps pour obtenir un dessin correct et EXACT. De plus, certaines lignes droites ne sont pas si faciles à construire, et le point d'intersection lui-même peut être situé quelque part dans le trente royaume à l'extérieur de la feuille de cahier.

Par conséquent, il est plus opportun de rechercher le point d'intersection en utilisant la méthode analytique. Résolvons le système:

Pour résoudre le système, la méthode d'addition d'équations terme par terme a été utilisée. Visitez la leçon pour développer des compétences pertinentes. Comment résoudre un système d'équations?

Répondre:

La vérification est triviale - les coordonnées du point d'intersection doivent satisfaire toutes les équations du système.

Exemple 5

Trouvez le point d'intersection des lignes si elles se croisent.

Voici un exemple de solution à faire soi-même. Il est pratique de diviser la tâche en plusieurs étapes. L'analyse de la condition suggère ce qui est nécessaire:
1) Faites l'équation de la ligne droite.
2) Faites l'équation de la ligne droite.
3) Découvrez la position relative des lignes droites.
4) Si les lignes se croisent, trouvez le point d'intersection.

Le développement d'un algorithme d'actions est typique de nombreux problèmes géométriques, et je me concentrerai sur cela à plusieurs reprises.

Solution complète et réponse à la fin du tutoriel:

Une paire de chaussures n'est pas encore usée, car nous sommes arrivés à la deuxième partie de la leçon:

Lignes droites perpendiculaires. Distance d'un point à l'autre.
Angle entre les lignes droites

Commençons par une tâche typique et très importante. Dans la première partie, nous avons appris à construire une ligne droite parallèle à celle-ci, et maintenant la hutte sur les cuisses de poulet tournera à 90 degrés:

Comment construire une ligne perpendiculaire à une ligne donnée?

Exemple 6

La ligne droite est donnée par l'équation. Égalisez une ligne perpendiculaire passant par un point.

Décision: Par condition, on sait que. Ce serait bien de trouver le vecteur de direction de la ligne droite. Puisque les lignes sont perpendiculaires, le truc est simple:

De l'équation "supprimer" le vecteur normal:, qui sera le vecteur de direction de la ligne droite.

Composons l'équation d'une droite par un point et un vecteur direction:

Répondre:

Développons l'esquisse géométrique:

Hmmm ... Ciel orange, mer orange, chameau orange.

Vérification analytique de la solution:

1) Retirez les vecteurs de direction des équations et avec l'aide produit scalaire des vecteurs nous arrivons à la conclusion que les droites sont bien perpendiculaires:.

Au fait, vous pouvez utiliser des vecteurs normaux, c'est encore plus facile.

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation obtenue .

Le contrôle est, encore une fois, facile à faire oralement.

Exemple 7

Trouvez le point d'intersection des droites perpendiculaires si l'équation est connue et point.

Voici un exemple de solution à faire soi-même. Il y a plusieurs actions dans la tâche, il est donc pratique de dresser la solution point par point.

Notre voyage passionnant continue:

Distance d'un point à l'autre

Devant nous se trouve une bande droite de la rivière et notre tâche est de l'atteindre par le chemin le plus court. Il n'y a pas d'obstacles et l'itinéraire le plus optimal sera le mouvement le long de la perpendiculaire. Autrement dit, la distance d'un point à une ligne droite est la longueur d'une ligne perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement désignée par la lettre grecque "ro", par exemple: - la distance du point "em" à la droite "de".

Distance d'un point à l'autre exprimé par la formule

Exemple 8

Trouvez la distance d'un point à l'autre

Décision: tout ce dont vous avez besoin est de brancher soigneusement les nombres dans la formule et d'effectuer les calculs:

Répondre:

Exécutons le dessin:

La distance entre le point et la ligne trouvée correspond exactement à la longueur de la ligne rouge. Si vous dessinez un dessin sur papier quadrillé à l'échelle de 1 unité. \u003d 1 cm (2 cellules), alors la distance peut être mesurée avec une règle ordinaire.

Considérez une autre tâche pour le même plan:

La tâche consiste à trouver les coordonnées d'un point symétrique à un point par rapport à une ligne droite ... Je propose d'effectuer les actions vous-même, mais je vais décrire l'algorithme de solution avec des résultats intermédiaires:

1) Trouvez une ligne perpendiculaire à la ligne.

2) Trouvez le point d'intersection des lignes: .

Les deux étapes sont détaillées dans ce didacticiel.

3) Le point est le milieu du segment de ligne. Nous connaissons les coordonnées du milieu et de l'une des extrémités. Par formules pour les coordonnées du milieu du segment nous trouvons.

Il ne sera pas superflu de vérifier que la distance est également de 2,2 unités.

Des difficultés peuvent survenir dans les calculs, mais dans la tour, une micro-calculatrice aide beaucoup, vous permettant de compter les fractions ordinaires. A plusieurs reprises conseillé, conseillera et encore.

Comment trouver la distance entre deux lignes parallèles?

Exemple 9

Trouvez la distance entre deux lignes parallèles

Ceci est un autre exemple de solution indépendante. Je vais vous donner un petit indice: il existe une infinité de façons de le résoudre. Débriefing à la fin de la leçon, mais mieux vaut essayer de deviner par vous-même, je pense que vous avez assez bien dispersé votre ingéniosité.

Angle entre deux lignes droites

Chaque angle est un montant:


En géométrie, l'angle entre deux droites est considéré comme le PLUS PETIT angle, ce qui implique automatiquement qu'il ne peut pas être obtus. Dans la figure, l'angle indiqué par l'arc rouge n'est pas considéré comme l'angle entre les droites qui se croisent. Et son voisin "vert" est considéré comme tel, ou orienté à l'opposé Coin "Crimson".

Si les lignes droites sont perpendiculaires, alors l'un des 4 angles peut être considéré comme l'angle entre eux.

Comment les angles diffèrent-ils? Orientation. Premièrement, le sens du "défilement" du coin est d'une importance fondamentale. Deuxièmement, un angle orienté négativement est écrit avec un signe moins, par exemple, si.

Pourquoi ai-je dit cela? Il semble que vous puissiez faire avec le concept habituel d'un angle. Le fait est que dans les formules par lesquelles nous trouverons les angles, vous pouvez facilement obtenir un résultat négatif, et cela ne devrait pas vous surprendre. Un angle avec un signe moins n'est pas pire et a une signification géométrique très spécifique. Dans le dessin, pour un angle négatif, assurez-vous d'indiquer son orientation avec une flèche (dans le sens des aiguilles d'une montre).

Comment trouver l'angle entre deux droites? Il existe deux formules de travail:

Exemple 10

Trouvez l'angle entre les lignes droites

Décision et Première méthode

Considérons deux droites données par des équations sous forme générale:

Si droit pas perpendiculairepuis orienté l'angle entre eux peut être calculé à l'aide de la formule:

Faisons très attention au dénominateur - c'est exactement produit scalaire vecteurs de direction des droites:

Si, alors le dénominateur de la formule disparaît, et les vecteurs seront orthogonaux et les droites sont perpendiculaires. C'est pourquoi une réserve a été faite sur la non-perpendicularité des droites dans la formulation.

Sur la base de ce qui précède, il est pratique d'organiser une solution en deux étapes:

1) Calculez le produit scalaire des vecteurs directeurs des droites:
par conséquent, les lignes droites ne sont pas perpendiculaires.

2) L'angle entre les droites se trouve par la formule:

En utilisant la fonction inverse, il est facile de trouver le coin lui-même. Dans ce cas, nous utilisons la bizarrerie de l'arc tangente (voir. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires):

Répondre:

Dans la réponse, nous indiquons la valeur exacte, ainsi que la valeur approximative (de préférence à la fois en degrés et en radians), calculée à l'aide d'une calculatrice.

Eh bien, moins, donc moins, ça va. Voici une illustration géométrique:

Il n'est pas surprenant que l'angle se soit avéré avoir une orientation négative, car dans l'énoncé du problème, le premier nombre est une ligne droite et la "torsion" de l'angle a commencé avec elle.

Si vous voulez vraiment obtenir un angle positif, vous devez permuter les lignes droites, c'est-à-dire prendre les coefficients de la deuxième équation , et les coefficients sont tirés de la première équation. En bref, vous devez commencer par une ligne droite .