Expressions, conversion d'expressions

Expressions de pouvoir (expressions avec pouvoirs) et leur transformation

Dans cet article, nous parlerons de la conversion d'expressions avec des puissances. Tout d’abord, nous nous concentrerons sur les transformations effectuées avec des expressions de toute sorte, y compris des expressions de pouvoir, telles que l’ouverture de parenthèses et l’apport de termes similaires. Et puis nous analyserons les transformations inhérentes spécifiquement aux expressions avec degrés : travail avec la base et l'exposant, utilisation des propriétés des degrés, etc.

Navigation dans les pages.

Que sont les expressions de pouvoir ?

Le terme « expressions de pouvoir » n'apparaît pratiquement pas dans les manuels scolaires de mathématiques, mais il apparaît assez souvent dans les recueils de problèmes, notamment ceux destinés à la préparation à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles il est nécessaire d'effectuer des actions avec des expressions de pouvoir, il devient clair que les expressions de pouvoir sont comprises comme des expressions contenant des pouvoirs dans leurs entrées. Par conséquent, vous pouvez accepter la définition suivante pour vous-même :

Définition.

Expressions de pouvoir sont des expressions contenant des degrés.

Donne moi exemples d'expressions de pouvoir. De plus, nous les présenterons selon la manière dont se produit l'évolution des vues d'un degré à exposant naturel à un degré à exposant réel.

Comme on le sait, on se familiarise d'abord avec la puissance d'un nombre avec un exposant naturel ; à ce stade, les premières expressions de puissance les plus simples du type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 apparaissent −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un peu plus tard, la puissance d'un nombre à exposant entier est étudiée, ce qui conduit à l'apparition d'expressions de puissance à puissances entières négatives, comme les suivantes : 3 −2, , une −2 +2 b −3 +c 2 .

Au lycée, ils retournent aux diplômes. Là, un degré avec un exposant rationnel est introduit, ce qui entraîne l'apparition des expressions de puissance correspondantes : , , et ainsi de suite. Enfin, les degrés avec des exposants irrationnels et les expressions les contenant sont considérés : , .

Le sujet ne se limite pas aux expressions de puissance répertoriées : en outre, la variable pénètre dans l'exposant et, par exemple, les expressions suivantes apparaissent : 2 x 2 +1 ou . Et après avoir pris connaissance de , des expressions avec des puissances et des logarithmes commencent à apparaître, par exemple x 2·lgx −5·x lgx.

Nous avons donc abordé la question de savoir ce que représentent les expressions de pouvoir. Nous apprendrons ensuite à les convertir.

Principaux types de transformations des expressions de pouvoir

Avec les expressions de pouvoir, vous pouvez effectuer n’importe quelle transformation d’identité de base des expressions. Par exemple, vous pouvez ouvrir des parenthèses, remplacer des expressions numériques par leurs valeurs, ajouter des termes similaires, etc. Naturellement, dans ce cas, il est nécessaire de suivre la procédure acceptée pour effectuer les actions. Donnons des exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression de puissance 2 3 ·(4 2 −12) .

Solution.

Selon l'ordre d'exécution des actions, effectuez d'abord les actions entre parenthèses. Là, d'une part, on remplace la puissance 4 2 par sa valeur 16 (si nécessaire, voir), et d'autre part, on calcule la différence 16−12=4. Nous avons 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dans l'expression résultante, nous remplaçons la puissance 2 3 par sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8·4=32. C'est la valeur souhaitée.

Donc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Répondre:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemple.

Simplifier les expressions avec des puissances 3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7.

Solution.

Évidemment, cette expression contient des termes similaires 3·a 4 ·b −7 et 2·a 4 ·b −7 , et nous pouvons les présenter : .

Répondre:

3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7 =5 une 4 b −7 −1.

Exemple.

Exprimez une expression avec des pouvoirs en tant que produit.

Solution.

Vous pouvez faire face à la tâche en représentant le nombre 9 comme une puissance de 3 2, puis en utilisant la formule de multiplication abrégée - différence des carrés :

Répondre:

Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes spécifiquement aux expressions de pouvoir. Nous les analyserons plus en détail.

Travailler avec la base et l'exposant

Il existe des degrés dont la base et/ou l’exposant ne sont pas seulement des nombres ou des variables, mais des expressions. A titre d'exemple, nous donnons les entrées (2+0.3·7) 5−3.7 et (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Lorsque vous travaillez avec de telles expressions, vous pouvez remplacer à la fois l'expression dans la base du degré et l'expression dans l'exposant par une expression identiquement égale dans l'ODZ de ses variables. Autrement dit, selon les règles que nous connaissons, on peut transformer séparément la base du degré et séparément l'exposant. Il est clair qu'à la suite de cette transformation, on obtiendra une expression identiquement égale à l'originale.

De telles transformations nous permettent de simplifier les expressions avec des pouvoirs ou d'atteindre d'autres objectifs dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression de puissance mentionnée ci-dessus (2+0,3 7) 5−3,7, vous pouvez effectuer des opérations avec les nombres en base et en exposant, ce qui vous permettra de passer à la puissance 4,1 1,3. Et après avoir ouvert les parenthèses et ramené les termes similaires à la base du degré (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nous obtenons une expression puissance d'une forme plus simple a 2·(x+ 1) .

Utilisation des propriétés du diplôme

L'un des principaux outils pour transformer les expressions dotées de pouvoirs est l'égalité qui reflète . Rappelons les principaux. Pour tout nombre positif a et b et nombre réel arbitraire r et s, les propriétés de puissances suivantes sont vraies :

• a r ·a s =a r+s ;
• une r:une s =une r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Notez que pour les exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent ne pas être aussi strictes. Par exemple, pour les nombres naturels m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie non seulement pour a positif, mais aussi pour a négatif et pour a=0.

À l'école, l'accent principal lors de la transformation des expressions de pouvoir est la capacité de choisir la propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans ce cas, les bases des diplômes sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés des diplômes sans restrictions. Il en va de même pour la transformation d'expressions contenant des variables dans les bases de puissances - la plage des valeurs admissibles des variables est généralement telle que les bases ne prennent que des valeurs positives, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés des puissances. . En général, vous devez constamment vous demander s'il est possible d'utiliser une propriété des diplômes dans ce cas, car une utilisation inexacte des propriétés peut conduire à un rétrécissement de la valeur éducative et à d'autres problèmes. Ces points sont discutés en détail et avec des exemples dans l'article transformation d'expressions en utilisant les propriétés des degrés. Nous nous limiterons ici à considérer quelques exemples simples.

Exemple.

Exprimer l'expression a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 comme puissance de base a.

Solution.

Tout d'abord, nous transformons le deuxième facteur (a 2) −3 en utilisant la propriété d'élever une puissance en puissance : (une 2) −3 =une 2·(−3) =une −6. L'expression de puissance originale prendra la forme a 2,5 ·a −6:a −5,5. Reste évidemment à utiliser les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base, on a
une 2,5 ·une −6:une −5,5 =
une 2,5−6 :une −5,5 =une −3,5 :une −5,5 =
une −3,5−(−5,5) =une 2 .

Répondre:

une 2,5 ·(une 2) −3:une −5,5 =une 2.

Les propriétés des pouvoirs lors de la transformation des expressions de pouvoir sont utilisées à la fois de gauche à droite et de droite à gauche.

Exemple.

Trouvez la valeur de l’expression de puissance.

Solution.

L'égalité (a·b) r =a r ·b r, appliquée de droite à gauche, permet de passer de l'expression originale à un produit de la forme et au-delà. Et en multipliant des puissances avec les mêmes bases, les exposants s'additionnent : .

Il était possible de transformer l'expression originale d'une autre manière :

Répondre:

.

Exemple.

Étant donné l'expression de puissance a 1,5 −a 0,5 −6, introduisez une nouvelle variable t=a 0,5.

Solution.

Le degré a 1,5 peut être représenté par a 0,5 3 puis, en fonction de la propriété du degré au degré (a r) s = a r s, appliqué de droite à gauche, le transformer sous la forme (a 0,5) 3. Ainsi, une 1,5 −une 0,5 −6=(une 0,5) 3 −une 0,5 −6. Il est maintenant facile d’introduire une nouvelle variable t=a 0,5, nous obtenons t 3 −t−6.

Répondre:

t 3 −t−6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Les expressions de puissance peuvent contenir ou représenter des fractions avec des puissances. Toutes les transformations de base des fractions inhérentes aux fractions de toute nature sont pleinement applicables à ces fractions. C'est-à-dire que les fractions qui contiennent des puissances peuvent être réduites, réduites à un nouveau dénominateur, travaillées séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer ces mots, considérons des solutions à plusieurs exemples.

Exemple.

Simplifier l'expression du pouvoir .

Solution.

Cette expression de pouvoir est une fraction. Travaillons avec son numérateur et son dénominateur. Au numérateur, nous ouvrons les parenthèses et simplifions l'expression résultante en utilisant les propriétés des puissances, et au dénominateur nous présentons des termes similaires :

Et changeons également le signe du dénominateur en plaçant un moins devant la fraction : .

Répondre:

.

La réduction des fractions contenant des puissances à un nouveau dénominateur s'effectue de la même manière que la réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans ce cas, un facteur supplémentaire est également trouvé et le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par celui-ci. Lors de l'exécution de cette action, il convient de rappeler que la réduction à un nouveau dénominateur peut conduire à un rétrécissement de la VA. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) au dénominateur a, b) au dénominateur.

Solution.

a) Dans ce cas, il est assez facile de déterminer quel multiplicateur supplémentaire permet d'obtenir le résultat souhaité. Il s'agit d'un multiplicateur de a 0,3, puisque a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Notez que dans la plage des valeurs admissibles de la variable a (c'est l'ensemble de tous les nombres réels positifs), la puissance de a 0,3 ne disparaît pas, nous avons donc le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'un donné fraction par ce facteur supplémentaire :

b) En regardant de plus près le dénominateur, vous constaterez que

et multiplier cette expression par donnera la somme des cubes et , c'est-à-dire . Et c’est le nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction originale.

C'est ainsi que nous avons trouvé un facteur supplémentaire. Dans la plage des valeurs admissibles des variables x et y, l'expression ne disparaît pas, nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celle-ci :

Répondre:

UN) , b) .

Il n'y a rien de nouveau non plus dans la réduction des fractions contenant des puissances : le numérateur et le dénominateur sont représentés comme un certain nombre de facteurs, et les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur sont réduits.

Exemple.

Réduire la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits des nombres 30 et 45, ce qui est égal à 15. Il est aussi évidemment possible d'effectuer une réduction de x 0,5 +1 et de . Voici ce que nous avons :

b) Dans ce cas, les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur ne sont pas immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préalables. Dans ce cas, elles consistent à factoriser le dénominateur à l’aide de la formule de la différence des carrés :

Répondre:

UN)

b) .

La conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions sont principalement utilisées pour faire des choses avec des fractions. Les actions sont effectuées selon des règles connues. Lors de l'addition (soustraction) de fractions, elles sont réduites à un dénominateur commun, après quoi les numérateurs sont ajoutés (soustraits), mais le dénominateur reste le même. Le résultat est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs. La division par une fraction est une multiplication par son inverse.

Exemple.

Suis les étapes .

Solution.

Tout d’abord, nous soustrayons les fractions entre parenthèses. Pour ce faire, nous les ramenons à un dénominateur commun, qui est , après quoi on soustrait les numérateurs :

Maintenant, nous multiplions les fractions :

Évidemment, il est possible de réduire d’une puissance de x 1/2, après quoi on a .

Vous pouvez également simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : .

Répondre:

Exemple.

Simplifiez l'expression de puissance .

Solution.

Évidemment, cette fraction peut être réduite de (x 2,7 +1) 2, cela donne la fraction . Il est clair qu’il faut faire autre chose avec les pouvoirs de X. Pour ce faire, on transforme la fraction résultante en produit. Cela nous donne la possibilité de profiter de la propriété de diviser les pouvoirs avec les mêmes bases : . Et à la fin du processus on passe du dernier produit à la fraction.

Répondre:

.

Et ajoutons aussi qu'il est possible, et dans de nombreux cas souhaitable, de transférer des facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur ou du dénominateur au numérateur, en changeant le signe de l'exposant. De telles transformations simplifient souvent les actions ultérieures. Par exemple, une expression de puissance peut être remplacée par .

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Souvent, dans les expressions dans lesquelles certaines transformations sont nécessaires, des racines avec des exposants fractionnaires sont également présentes avec les puissances. Pour transformer une telle expression à la forme souhaitée, il suffit dans la plupart des cas d'aller uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des puissances, elles passent généralement des racines aux puissances. Il est cependant conseillé d'effectuer une telle transition lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin de se référer au module ou de découper l'ODZ en plusieurs intervalles (nous en avons parlé en détail dans l'article transition des racines aux puissances et vice-versa Après avoir pris connaissance du degré avec un exposant rationnel, on introduit le degré avec un exposant irrationnel, ce qui nous permet de parler d'un degré avec un exposant réel arbitraire. À ce stade, l'école commence à étude fonction exponentielle, qui est analytiquement donné par une puissance dont la base est un nombre et l'exposant est une variable. Nous sommes donc confrontés à des expressions de puissance contenant des nombres dans la base de la puissance et dans l'exposant - des expressions avec des variables, et naturellement il est nécessaire d'effectuer des transformations de telles expressions.

Il faut dire que la transformation des expressions du type indiqué doit généralement être effectuée lors de la résolution équations exponentielles Et inégalités exponentielles, et ces conversions sont assez simples. Dans l’écrasante majorité des cas, ils reposent sur les propriétés du diplôme et visent, pour la plupart, à introduire une nouvelle variable dans le futur. L'équation nous permettra de les démontrer 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Premièrement, les puissances, dont les exposants sont la somme d'une certaine variable (ou expression avec variables) et d'un nombre, sont remplacées par des produits. Ceci s'applique au premier et au dernier terme de l'expression du côté gauche :
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ensuite, les deux côtés de l'égalité sont divisés par l'expression 7 2 x, qui sur l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine ne prend que des valeurs positives (il s'agit d'une technique standard pour résoudre des équations de ce type, nous ne sommes pas en parlant maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec des pouvoirs ) :

Maintenant nous pouvons annuler des fractions avec des puissances, ce qui donne .

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de relations, ce qui donne l'équation , ce qui est équivalent . Les transformations effectuées permettent d'introduire une nouvelle variable, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution d'une équation quadratique

I. V. Boykov, L. D. Romanova Ensemble de tâches pour la préparation à l'examen d'État unifié. Partie 1. Penza 2003.

Puissance avec exposant rationnel

Khassianova T.G.,

professeur de mathématiques

Le matériel présenté sera utile aux professeurs de mathématiques lors de l'étude du sujet « Exposant avec un exposant rationnel ».

Le but du matériel présenté : révéler mon expérience de conduite d'un cours sur le thème « Diplôme avec un exposant rationnel » du programme de travail de la discipline « Mathématiques ».

La méthodologie de conduite de la leçon correspond à son type - une leçon d'étude et de consolidation initiale de nouvelles connaissances. Les connaissances et compétences de base ont été mises à jour sur la base de l'expérience acquise précédemment ; mémorisation primaire, consolidation et application de nouvelles informations. La consolidation et l'application du nouveau matériel ont eu lieu sous la forme de résolution de problèmes que j'ai testés de complexité variable, donnant un résultat positif dans la maîtrise du sujet.

Au début du cours, j'ai fixé les objectifs suivants aux élèves : pédagogiques, développementaux, pédagogiques. Pendant le cours j'ai utilisé différentes méthodes d'activité : frontale, individuelle, en binôme, indépendante, test. Les tâches étaient différenciées et permettaient d'identifier, à chaque étape de la leçon, le degré d'acquisition des connaissances. Le volume et la complexité des tâches correspondent aux caractéristiques d'âge des étudiants. D'après mon expérience, les devoirs, à l'instar des problèmes résolus en classe, permettent de consolider de manière fiable les connaissances et compétences acquises. À la fin du cours, une réflexion a été menée et le travail de chaque élève a été évalué.

Les objectifs ont été atteints. Les étudiants ont étudié le concept et les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel et ont appris à utiliser ces propriétés pour résoudre des problèmes pratiques. Pour le travail indépendant, les notes sont annoncées au cours suivant.

Je crois que la méthodologie que j'utilise pour enseigner les mathématiques peut être utilisée par les professeurs de mathématiques.

Sujet de la leçon : Puissance avec exposant rationnel

Le but de la leçon :

Identifier le niveau de maîtrise par les étudiants d'un ensemble de connaissances et de compétences et, sur cette base, appliquer certaines solutions pour améliorer le processus éducatif.

Objectifs de la leçon:

Éducatif: former de nouvelles connaissances parmi les étudiants sur les concepts de base, les règles, les lois pour déterminer les diplômes avec un indicateur rationnel, la capacité d'appliquer de manière indépendante les connaissances dans des conditions standard, dans des conditions modifiées et non standard ;

développement: penser logiquement et réaliser ses capacités créatives ;

élevage: développez un intérêt pour les mathématiques, reconstituez votre vocabulaire avec de nouveaux termes et obtenez des informations supplémentaires sur le monde qui vous entoure. Cultivez la patience, la persévérance et la capacité à surmonter les difficultés.

Organisation du temps

Actualisation des connaissances de référence

Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, les exposants sont ajoutés, mais la base reste la même :

Par exemple,

2. Lors de la division de degrés avec les mêmes bases, les exposants des degrés sont soustraits, mais la base reste la même :

Par exemple,

3. Lorsqu'on élève un degré à une puissance, les exposants sont multipliés, mais la base reste la même :

Par exemple,

4. Le degré du produit est égal au produit des degrés des facteurs :

Par exemple,

5. Le degré du quotient est égal au quotient des degrés du dividende et du diviseur :

Par exemple,

Exercices avec solutions

Trouvez le sens de l'expression :

Solution:

Dans ce cas, aucune des propriétés d’un degré avec un exposant naturel ne peut être appliquée explicitement, puisque tous les degrés ont des bases différentes. Écrivons quelques puissances sous une forme différente :

(le degré du produit est égal au produit des degrés des facteurs) ;

(lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, les exposants sont ajoutés, mais la base reste la même ; lorsqu'on élève un degré à une puissance, les exposants sont multipliés, mais la base reste la même).

On obtient alors :

Dans cet exemple, les quatre premières propriétés d’un degré avec un exposant naturel ont été utilisées.

Racine carrée arithmétique
est un nombre non négatif dont le carré est égal àun,
. À
- expression
pas défini, parce que il n'existe pas de nombre réel dont le carré est égal à un nombre négatifun.

Dictée mathématique(8-10 minutes)

Option

II. Option

1.Trouver la valeur de l'expression

UN)

b)

1.Trouver la valeur de l'expression

UN)

b)

2.Calculer

UN)

b)

DANS)

2.Calculer

UN)

b)

V)

Auto-test(sur le tableau de revers) :

Matrice de réponse :

№ option/tâche

Problème 1

Problème 2

Option 1

a)2

b)2

une) 0,5

b)

V)

Option 2

une) 1,5

b)

UN)

b)

à 4 heures

II. Formation de nouvelles connaissances

Considérons quel sens a l'expression, où - nombre positif– nombre fractionnaire et m-entier, n-naturel (n›1)

Définition : puissance de a›0 avec exposant rationnelr = , m-entier, n-naturel ( n›1) le numéro est appelé.

Donc:

Par exemple:

Remarques:

1. Pour tout nombre a positif et tout nombre r rationnel positivement.

2. Quand
puissance rationnelle d'un nombreunnon déterminé.

Des expressions comme
cela n'a pas de sens.

3.Si un nombre fractionnaire positif est
.

Si fractionnaire nombre négatif, alors -cela n'a pas de sens.

Par exemple: - ça n'a pas de sens.

Considérons les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel.

Soit a >0, b>0 ; r, s - tous les nombres rationnels. Alors un degré avec n’importe quel exposant rationnel a les propriétés suivantes :

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidation. Formation de nouvelles compétences et capacités.

Les fiches de tâches fonctionnent en petits groupes sous la forme d'un test.

Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est diplôme de. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

Navigation dans les pages.

Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l’avenir, disons que la définition de la puissance d’un nombre a d’exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire la notation a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».

Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base de la puissance 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases de la puissance qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .

L’un des problèmes inverses à l’élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base d’une puissance à partir d’une valeur connue de la puissance et d’un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de fractions, et chaque fraction peut être représentée comme une fraction ordinaire positive ou négative. Nous avons défini un degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si nous prenons en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valides (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.

Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre a dont l'exposant est , est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition ci-dessous ). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens) ; pour m négatif, le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie , Mais , UN .

A partir des exposants entiers du nombre a, le passage aux exposants rationnels s'impose. Ci-dessous, nous définirons un degré avec un exposant rationnel, et nous le ferons de manière à ce que toutes les propriétés d'un degré avec un exposant entier soient préservées. Cela est nécessaire car les nombres entiers font partie des nombres rationnels.

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de fractions, et chaque fraction peut être représentée comme une fraction ordinaire positive ou négative. Nous avons défini un degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré du nombre un avec un indicateur fractionnaire m/n, Où m est un entier, et n- naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si nous prenons en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé la racine n du degré, alors il est logique d'accepter, à condition que compte tenu de l'information donnée m, n Et un l'expression a du sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valides (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si données données m, n Et un l'expression a du sens, alors la puissance du nombre un avec un indicateur fractionnaire m/n appelé la racine n le degré de unà un degré m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à quel moment m, n Et un l'expression a du sens. En fonction des restrictions imposées m, n Et un Il existe deux approches principales.

1. Le moyen le plus simple consiste à imposer une restriction un, ayant accepté a≥0 pour du positif m Et une>0 pour le négatif m(depuis quand m≤0 degré 0 m non déterminé). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif un avec un indicateur fractionnaire m/n , Où m- entier, et n– un nombre naturel, appelé racine n-ème du numéro unà un degré m, c'est, .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n , Où m est un entier positif, et n– nombre naturel, défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains négatifs un et certaines m Et n l'expression a du sens, mais nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

2. Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre un, dont l'exposant est une fraction ordinaire réductible, est considérée comme une puissance du nombre un, dont l'indicateur est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée ci-dessous). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k Le diplôme est provisoirement remplacé par .

Même pour n et positif m l'expression a du sens pour tout résultat non négatif un(une racine paire d'un nombre négatif n'a aucune signification), pour un nombre négatif m nombre un doit encore être différent de zéro (sinon il y aura division par zéro). Et pour bizarre n et positif m nombre un peut être n'importe lequel (une racine impaire est définie pour tout nombre réel) et pour un nombre négatif m nombre un doit être différent de zéro (pour qu’il n’y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Laisser m/n– fraction irréductible, m- entier, et n- entier naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . Diplôme de un avec un exposant fractionnaire irréductible m/n- c'est pour

o n'importe quel nombre réel un, tout à fait positif m et étrange naturel n, Par exemple, ;

o tout nombre réel non nul un, entier négatif m et étrange n, Par exemple, ;

o tout nombre non négatif un, tout à fait positif m et même n, Par exemple, ;

o tout positif un, entier négatif m et même n, Par exemple, ;

o dans d'autres cas, le diplôme avec un indicateur fractionnaire n'est pas déterminé, comme par exemple les diplômes ne sont pas définis .a on n'attache aucune signification à l'entrée ; on définit la puissance du nombre zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n Comment , pour les exposants fractionnaires négatifs, la puissance du nombre zéro n'est pas déterminée.

En conclusion de ce point, attirons l'attention sur le fait qu'un exposant fractionnaire peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire, par exemple : . Pour calculer les valeurs d'expressions de ce type, vous devez écrire l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire, puis utiliser la définition de l'exposant avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous avons Et

L'expression a n (puissance à exposant entier) sera définie dans tous les cas, sauf le cas où a = 0 et n est inférieur ou égal à zéro.

Propriétés des diplômes

Propriétés de base des degrés avec un exposant entier :

une m *une n = une (m+n) ;

une m : une n = une (m-n) (avec un différent de zéro);

(une m) n = une (m*n) ;

(a*b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (avec b différent de zéro);

a 0 = 1 (avec un différent de zéro);

Ces propriétés seront valables pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n. Il convient également de noter la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n, pour a>1 et a m

Nous pouvons généraliser le concept de degré d'un nombre aux cas où les nombres rationnels agissent comme exposant. En même temps, j'aimerais que toutes les propriétés ci-dessus soient remplies, ou du moins certaines d'entre elles.

Par exemple, si la propriété (a m) n = a (m*n) était satisfaite, l'égalité suivante serait vérifiée :

(une (m/n)) n = une m .

Cette égalité signifie que le nombre a (m/n) doit être la nième racine du nombre a m.

La puissance d'un nombre a (supérieur à zéro) avec un exposant rationnel r = (m/n), où m est un nombre entier, n est un nombre naturel supérieur à un, est le nombre n√(un m). Basé sur la définition : a (m/n) = n√(a m).

Pour tout r positif, la puissance de zéro sera déterminée. Par définition, 0 r = 0. Notez également que pour tout entier, tout m et n naturel, et positif UN l'égalité suivante est vraie : a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Par exemple : 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

De la définition d'un degré avec un exposant rationnel, il résulte directement que pour tout a positif et tout r rationnel, le nombre a r sera positif.

Propriétés de base d'un degré avec un exposant rationnel

Pour tout nombre rationnel p, q et tout a>0 et b>0, les égalités suivantes sont vraies :

1. (un p)*(un q) = un (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Ces propriétés découlent des propriétés des racines. Toutes ces propriétés sont prouvées de manière similaire, nous nous limiterons donc à prouver une seule d'entre elles, par exemple la première (a p)*(a q) = a (p + q) .

Soit p = m/n et q = k/l, où n, l sont des nombres naturels et m, k sont des nombres entiers. Ensuite, vous devez prouver que :

(une (m/n))*(une (k/l)) = une ((m/n) + (k/l)) .

Tout d'abord, ramenons les fractions m/n k/l à un dénominateur commun. On obtient les fractions (m*l)/(n*l) et (k*n)/(n*l). Réécrivons le côté gauche de l'égalité en utilisant ces notations et obtenons :

(une (m/n))*(une (k/l)) = (une ((m*l)/(n*l)))*(une ((k*n)/(n*l)) ).

(une (m/n))*(une (k/l)) = (une ((m*l)/(n*l)))*(une ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .