Algèbre et début de l'analyse mathématique. 10 e année. Cahier de texte. Nikolski S.M. et etc.

Niveaux de base et profil

8e éd. - M. : Éducation, 2009. - 430 p.

Le manuel correspond aux composantes fédérales du niveau national d'enseignement général en mathématiques et contient du matériel pour les niveaux de base et spécialisés. Vous pouvez travailler avec quels que soient les manuels que les écoliers ont étudiés au cours des années précédentes.

Le manuel vise à préparer les étudiants à l'entrée à l'université.

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TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE I. RACINES, POUVOIRS, LOGARITHMES
§ 1. Nombres réels 3
1.1. Concept du vrai numéro 3
1.2. Beaucoup de chiffres. Propriétés des nombres réels. ... dix
1,3*. Méthode d'induction mathématique 16
1.4. Permutations 22
1.5. Placements 25
1.6. Combinaisons 27
1,7*. Preuve des inégalités numériques 30
1,8*. Divisibilité des entiers 35
1,9*. Comparaisons modulo t 38
1.10*. Problèmes avec les inconnus entiers 40
§ 2. Équations rationnelles et inégalités 44
2.1. Expressions rationnelles 44
2.2. Formules binomiales de Newton, sommes et différences de puissances. . 48
2,3*. Diviser des polynômes avec un reste. Algorithme euclidien... 53
2,4*. Théorème de Bezout 57
2,5*. Racine du polynôme 60
2.6. Équations rationnelles 65
2.7. Systèmes d'équations rationnelles 70
2.8. Méthode d'intervalle pour résoudre les inégalités 75
2.9. Inégalités rationnelles 79
2.10. Inégalités non strictes 84
2.11. Systèmes d'inégalités rationnelles 88
§ 3. Racine du diplôme n 93
3.1. Le concept de fonction et son graphe 93
3.2. Fonction y = x" 96
3.3. Le concept de racine de degré n 100
3.4. Racines des degrés pairs et impairs 102
3.5. Racine arithmétique 106
3.6. Propriétés des racines de degré l 111
3,7*. Fonction y = nx (x > 0) 114
3,8*. Fonction y = nVx 117
3,9*. Racine n de l'entier naturel 119
§ 4. Puissance du nombre positif 122
4.1. Puissance avec exposant rationnel 122
4.2. Propriétés des degrés avec exposant rationnel 125
4.3. Le concept de limite de séquence 131
4,4*. Propriétés des limites 134
4.5. Progression géométrique infiniment décroissante. . . 137
4.6. Numéro e 140
4.7. Le concept de diplôme avec un exposant irrationnel.... 142
4.8. Fonction exponentielle 144
§ 5. Logarithmes 148
5.1. Notion de logarithme 148
5.2. Propriétés des logarithmes 151
5.3. Fonction logarithmique 155
5,4*. Logarithmes décimaux 157
5,5*. Fonctions de puissance 159
§ 6. Équations et inégalités exponentielles et logarithmiques. . 164
6.1. Les équations exponentielles les plus simples 164
6.2. Équations logarithmiques simples 166
6.3. Equations réduites à la plus simple en remplaçant l'inconnue 169
6.4. Les inégalités exponentielles les plus simples 173
6.5. Les inégalités logarithmiques les plus simples 178
6.6. Des inégalités réduites à la plus simple en remplaçant l'inconnu 182
Informations historiques 187
CHAPITRE II. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
§ 7. Sinus et cosinus d'un angle 193
7.1. Notion d'angle 193
7.2. Mesure radian de l'angle 200
7.3. Détermination du sinus et du cosinus d'un angle 203
7.4. Formules de base pour sin a et cos a 211
7.5. Arc sinus 216
7.6. Arc cosinus 221
7,7*. Exemples d'utilisation de l'arc sinus et de l'arc cosinus.... 225
7,8*. Formules pour l'arc sinus et l'arc cosinus 231
§ 8. Tangente et cotangente de l'angle 233
8.1. Détermination de la tangente et de la cotangente d'un angle 233
8.2. Formules de base pour tg a et ctg a 239
8.3. Arctangente 243
8,4*. Arc tangent 246
8,5*. Exemples d'utilisation d'arctangente et d'arccotangente. . 249
8,6*. Formules pour arctangente et arccotangente 255
§ 9. Formules d'addition 258
9.1. Cosinus de la différence et cosinus de la somme de deux angles 258
9.2. Formules pour angles supplémentaires 262
9.3. Sinus de la somme et sinus de la différence de deux angles 264
9.4. Somme et différence des sinus et des cosinus 266
9.5. Formules pour les angles doubles et demi 268
9,6*. Produit des sinus et des cosinus 273
9,7*. Formules pour les tangentes 275
§ 10. Fonctions trigonométriques d'un argument numérique 280
10.1. Fonction y = péché x 281
10.2. Fonction y = cos x 285
10.3. Fonction y = tg * 288
10.4. Fonction y = ctg x 292
§ 11. Équations trigonométriques et inégalités 295
11.1. Équations trigonométriques simples 295
11.2. Equations réduites à la plus simple en remplaçant l'inconnue 299
11.3. Application de formules trigonométriques de base à la résolution d'équations 303
11.4. Équations homogènes 307
11,5*. Les inégalités les plus simples pour le sinus et le cosinus.... 310
11,6*. Les inégalités les plus simples pour la tangente et la cotangente. . . 315
11,7*. Des inégalités réduites au plus simple en remplaçant l'inconnu 319
11,8*. Introduction de l'angle auxiliaire 322
11,9*. Remplacement de l'inconnu t = sin x + cos x 327
Informations historiques 330
CHAPITRE III. ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS
§ 12. Probabilité de l'événement 333
12.1. Le concept de probabilité d'événement 333
12.2. Propriétés des probabilités d'événements 338
§ 13*. Fréquence. Probabilité conditionnelle 342
13.1*. Fréquence relative de l'événement 342
13.2*. Probabilite conditionnelle. Événements indépendants 344
§ 14*. Valeur attendue. Loi des grands nombres 348
14.1*. Attente mathématique 348
14.2*. Expérience difficile 353
14,3*. La formule de Bernoulli. Loi des grands nombres 355
Informations historiques 359
RÉVISER LES TÂCHES 362
Index des sujets 407
Réponses 410

Lieu de travail, poste : - MOU-SOSH r.p. Pouchkino, professeur

Région: — Région de Saratov

Caractéristiques du cours (session) Niveau d'enseignement : - enseignement général secondaire (complet)

Public cible : — Élève (étudiant)
Public cible : — Enseignant (enseignant)

Année(s) : – 10e année

Sujet(s) : – Algèbre

Le but du cours : - didactique : améliorer les techniques et méthodes de base de résolution des inégalités logarithmiques et exponentielles et s'assurer que tous les élèves maîtrisent les techniques algorithmiques de base de résolution des inégalités exponentielles et logarithmiques ; développemental : développer la pensée logique, la mémoire, l'intérêt cognitif, poursuivre la formation du discours mathématique, développer la capacité d'analyse et de comparaison ; pédagogique : enseigner la conception esthétique des notes dans un cahier, la capacité d'écoute des autres et la capacité de communiquer, inculquer la précision et le travail acharné.

Type de cours : – Leçon sur la généralisation et la systématisation des connaissances

Elèves en classe (public) : - 25

Brève description : - La résolution des inégalités exponentielles et logarithmiques est considérée comme l'un des sujets complexes en mathématiques et nécessite que les étudiants aient de bonnes connaissances théoriques, la capacité de les appliquer dans la pratique, nécessite de l'attention, du travail acharné et de l'intelligence. Le sujet abordé dans la leçon est également repris pour les examens d'entrée aux universités et les examens finaux. Ce type de cours développe la pensée logique, la mémoire, l'intérêt cognitif et contribue au développement de la capacité d'analyse, de comparaison et d'écoute des autres.

Étapes des cours et leur contenu

Temps

(minutes)

activité

enseignants

étudiant

1.Étape organisationnelle

organisationnel

Les absents sont signalés.

2. Fixation d'objectifs

Aujourd'hui, dans la leçon, nous continuerons à mettre en pratique les méthodes de base apprises et les méthodes de résolution des inégalités exponentielles et logarithmiques, et envisagerons également d'autres moyens de résoudre les inégalités logarithmiques et exponentielles : c'est la transition vers des inégalités rationnelles en remplaçant l'inconnu, ainsi qu'un méthode consistant à diviser les deux côtés de l’inégalité par un nombre positif.

Informe le sujet de la leçon, la date de la leçon, le but de la leçon

Écrire dans des cahiers

3.Vérification des devoirs

Convoque 3 personnes au tableau à la demande des étudiants, et mène en même temps une conversation frontale sur des questions théoriques

Quatre personnes travaillent au conseil d'administration, les autres participent à une enquête théorique

Comme devoir, on vous a demandé de résoudre des inégalités logarithmiques et exponentielles à deux niveaux de complexité. Voyons la solution à certains d'entre eux sur le tableau

6.49(a); 6.52(d), 6.56(b), 6.54(b).

4.Mise à jour des connaissances des étudiants

Rappelons-nous les méthodes dont nous avons discuté dans la dernière leçon.

Aujourd’hui, nous nous intéresserons aux inégalités qui, après avoir introduit une nouvelle inconnue, se transforment en inégalités rationnelles.

Pour ce faire, rappelons quelle est la solution d’une inégalité rationnelle de la forme A(x) / B(x)>0 ? Quelle méthode est utilisée pour résoudre les inégalités rationnelles ?

5. Améliorer les connaissances et les compétences des étudiants

xx

Exemple1)2 - 9 / (2 -1)0

3 minutes

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 minutes

5) Consolidation de nouvelles choses.

Faire des exercices au tableau

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -au tableau 6.62(c)

Vous guide pour choisir une méthode de solution rationnelle. surveille l'exactitude du raisonnement et l'enregistrement correct de la solution à l'inégalité. Donne une note pour le travail

Un élève décide au tableau. Les autres notent la solution dans un cahier.

6) Travail autonome différencié (Tâche à l'écran)

Niveau 1:

Option 12 option

n°6.48(b);n°6.48(e);

N° 6.58(a) ; N° 6.58(c)

Niveau 2:

Option 12 option

n°6.61(b);n°6.61(d);

n° 6.62(c);n° 6.62(d).

5 minutes

2 personnes travaillent individuellement sur une planche latérale. Les autres effectuent un travail indépendant à plusieurs niveaux sur le terrain

7)Vérification du travail indépendant

3 minutes

8) Devoirs (à l'écran)

Clause 6.6 de 1er niveau ; n° 6.48 (a.); n° 6.57 (1 er) ; n° 6.50 (a).

Niveau 2 : clause 6.6, n° 6.59(c) ; N° 6.62 (a); N° 158 (p. 382); N° 168 (a, b) (p. 383)

2 minutes

Explique les devoirs en attirant l'attention des élèves sur le fait que des tâches similaires ont été abordées en classe.

Les deux dernières tâches ont été proposées lors de l'admission à l'Université d'État de Moscou et au MTITF.

Après avoir écouté attentivement le professeur, notez vos devoirs. Vous choisissez vous-même le niveau de difficulté.

8) Résumé de la leçon : La résolution des inégalités exponentielles et logarithmiques est considérée comme l'un des sujets complexes du cours de mathématiques à l'école et nécessite que les élèves aient de bonnes connaissances théoriques, la capacité de les appliquer dans la pratique, nécessite de l'attention, du travail acharné et de l'intelligence ; c'est pour cette raison que les inégalités abordées dans la leçon sont incluses dans les examens d'introduction aux universités et les examens finaux. Aujourd'hui en classe tout le monde a très bien travaillé et a obtenu les notes suivantes

Merci à tous.

2 minutes

Des dossiers:
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Beaucoup de gens pensent que les inégalités exponentielles sont quelque chose de complexe et d’incompréhensible. Et qu'apprendre à les résoudre est presque un grand art, que seuls les Élus sont capables de comprendre...

Une absurdité totale ! Les inégalités exponentielles sont faciles. Et ils sont toujours résolus simplement. Enfin, presque toujours. :)

Aujourd'hui, nous allons examiner ce sujet de fond en comble. Cette leçon sera très utile pour ceux qui commencent tout juste à comprendre cette section des mathématiques scolaires. Commençons par des problèmes simples et passons à des problèmes plus complexes. Il n’y aura pas de travail acharné aujourd’hui, mais ce que vous lirez maintenant suffira à résoudre la plupart des inégalités dans toutes sortes de tests et de travail indépendant. Et lors de votre examen également.

Comme toujours, commençons par la définition. Une inégalité exponentielle est toute inégalité contenant une fonction exponentielle. Autrement dit, elle peut toujours se réduire à une inégalité de la forme

\[((a)^(x)) \gt b\]

Où le rôle de $b$ peut être un nombre ordinaire, ou peut-être quelque chose de plus difficile. Exemples? Oui s'il vous plait:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin (aligner)\]

Je pense que le sens est clair : il existe une fonction exponentielle $((a)^(x))$, elle est comparée à quelque chose, puis on lui demande de trouver $x$. Dans des cas particulièrement cliniques, au lieu de la variable $x$, ils peuvent mettre une fonction $f\left(x \right)$ et ainsi compliquer un peu l'inégalité. :)

Bien entendu, dans certains cas, l’inégalité peut paraître plus grave. Par exemple:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ou encore ceci :

En général, la complexité de telles inégalités peut être très différente, mais en fin de compte elles se réduisent toujours à la simple construction $((a)^(x)) \gt b$. Et nous trouverons d'une manière ou d'une autre une telle construction (dans les cas notamment cliniques, quand rien ne nous vient à l'esprit, les logarithmes nous aideront). Par conséquent, nous allons maintenant vous apprendre à résoudre des constructions aussi simples.

Résoudre des inégalités exponentielles simples

Considérons quelque chose de très simple. Par exemple, ceci :

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Évidemment, le nombre de droite peut être réécrit comme une puissance de deux : $4=((2)^(2))$. Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite sous une forme très pratique :

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Et maintenant, j'ai hâte de « rayer » les deux dans les bases des puissances afin d'obtenir la réponse $x \gt 2$. Mais avant de rayer quoi que ce soit, rappelons les puissances de deux :

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Comme vous pouvez le voir, plus le nombre de l’exposant est grand, plus le nombre de sortie est grand. "Merci, Cap!" - s'exclamera l'un des étudiants. Est-ce différent ? Malheureusement, cela arrive. Par exemple:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ droite))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ici aussi, tout est logique : plus le degré est grand, plus le nombre 0,5 est multiplié par lui-même (c'est-à-dire divisé en deux). Ainsi, la séquence de nombres résultante est décroissante et la différence entre la première et la deuxième séquence n'est que dans la base :

• Si la base du degré $a \gt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ augmentera également ;
• Et vice versa, si $0 \lt a \lt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ diminuera.

En résumant ces faits, nous obtenons l'énoncé le plus important sur lequel repose toute la solution des inégalités exponentielles :

Si $a \gt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \lt n$.

En d'autres termes, si la base est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer - le signe d'inégalité ne changera pas. Et si la base est inférieure à un, alors elle peut également être supprimée, mais vous devrez en même temps changer le signe d'inégalité.

Veuillez noter que nous n'avons pas pris en compte les options $a=1$ et $a\le 0$. Parce que dans ces cas-là, l’incertitude surgit. Disons comment résoudre une inégalité de la forme $((1)^(x)) \gt 3$ ? Un à n'importe quelle puissance en donnera à nouveau un - nous n'en aurons jamais trois ou plus. Ceux. il n'y a pas de solutions.

Avec des raisons négatives, tout est encore plus intéressant. Par exemple, considérons cette inégalité :

\[((\gauche(-2 \droite))^(x)) \gt 4\]

À première vue, tout est simple :

Droite? Mais non! Il suffit de remplacer $x$ par quelques nombres pairs et impairs pour s'assurer que la solution est incorrecte. Regarde:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, les signes alternent. Mais il existe aussi des pouvoirs fractionnaires et d’autres absurdités. Comment, par exemple, ordonneriez-vous de calculer $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (moins deux à la puissance sept) ? Certainement pas!

Par conséquent, pour être précis, nous supposons que dans toutes les inégalités exponentielles (et les équations, d'ailleurs aussi) $1\ne a \gt 0$. Et puis tout se résout très simplement :

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fin (aligner) \right.\]

De manière générale, rappelez-vous encore une fois la règle principale : si la base d'une équation exponentielle est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer ; et si la base est inférieure à un, elle peut également être supprimée, mais le signe de l'inégalité changera.

Exemples de solutions

Examinons donc quelques inégalités exponentielles simples :

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01 ; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin (aligner)\]

La tâche principale dans tous les cas est la même : réduire les inégalités à la forme la plus simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. C'est exactement ce que nous allons maintenant faire avec chaque inégalité, et en même temps nous répéterons les propriétés des degrés et des fonctions exponentielles. Alors allons-y!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Que pouvez-vous faire ici? Eh bien, à gauche, nous avons déjà une expression indicative - rien n'a besoin d'être changé. Mais à droite il y a une sorte de connerie : une fraction, et même une racine au dénominateur !

Rappelons cependant les règles pour travailler avec les fractions et les puissances :

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin (aligner)\]

Qu'est-ce que ça veut dire? Premièrement, nous pouvons facilement nous débarrasser de la fraction en la transformant en une puissance avec un exposant négatif. Et deuxièmement, puisque le dénominateur a une racine, ce serait bien de le transformer en puissance - cette fois avec un exposant fractionnaire.

Appliquons ces actions séquentiellement au côté droit de l'inégalité et voyons ce qui se passe :

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

N'oubliez pas qu'en élevant un degré à une puissance, les exposants de ces degrés s'additionnent. Et en général, lorsqu'on travaille avec des équations exponentielles et des inégalités, il est absolument nécessaire de connaître au moins les règles les plus simples pour travailler avec les puissances :

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin (aligner)\]

En fait, nous venons d'appliquer la dernière règle. Par conséquent, notre inégalité originale sera réécrite comme suit :

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Maintenant on se débarrasse des deux à la base. Puisque 2 > 1, le signe de l’inégalité restera le même :

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

C'est la solution ! La principale difficulté ne réside pas du tout dans la fonction exponentielle, mais dans la transformation compétente de l'expression originale : il faut la ramener soigneusement et rapidement à sa forme la plus simple.

Considérons la deuxième inégalité :

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tellement tellement. Des fractions décimales nous attendent ici. Comme je l'ai dit à plusieurs reprises, dans toutes les expressions avec des puissances, vous devez vous débarrasser des décimales - c'est souvent le seul moyen d'obtenir une solution simple et rapide. Ici, nous allons nous débarrasser de :

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Là encore nous avons l'inégalité la plus simple, et même avec une base de 1/10, c'est-à-dire moins d'un. Eh bien, on supprime les bases, en changeant simultanément le signe de « moins » à « plus », et on obtient :

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu la réponse finale : $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Attention : la réponse est précisément un ensemble, et en aucun cas une construction de la forme $x \lt -1$. Car formellement, une telle construction n'est pas du tout un ensemble, mais une inégalité par rapport à la variable $x$. Oui, c'est très simple, mais ce n'est pas la réponse !

Note importante. Cette inégalité pourrait être résolue d’une autre manière : en réduisant les deux côtés à une puissance dont la base est supérieure à un. Regarde:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Après une telle transformation, nous obtiendrons à nouveau une inégalité exponentielle, mais avec une base de 10 > 1. Cela signifie que nous pouvons simplement rayer les dix - le signe de l'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, la réponse était exactement la même. En même temps, nous nous sommes épargnés de la nécessité de changer de panneau et de nous souvenir généralement des règles. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cependant, ne vous laissez pas effrayer. Quel que soit le contenu des indicateurs, la technologie utilisée pour résoudre les inégalités reste la même. Notons donc d’abord que 16 = 2 4. Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte de ce fait :

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hourra! Nous avons l’inégalité quadratique habituelle ! Le signe n'a changé nulle part, puisque la base est deux - un nombre supérieur à un.

Zéros d'une fonction sur la droite numérique

Nous organisons les signes de la fonction $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - évidemment, son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, donc il y aura des « plus » " sur les côtés. Nous nous intéressons à la région où la fonction est inférieure à zéro, c'est-à-dire $x\in \left(2;5 \right)$ est la réponse au problème d'origine.

Enfin, considérons une autre inégalité :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Encore une fois, nous voyons une fonction exponentielle avec une fraction décimale à la base. Convertissons cette fraction en une fraction commune :

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\gauche(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Dans ce cas, nous avons utilisé la remarque donnée précédemment : nous avons réduit la base au nombre 5 > 1 afin de simplifier notre solution ultérieure. Faisons de même avec le côté droit :

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ à droite))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte des deux transformations :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Les bases des deux côtés sont les mêmes et dépassent un. Il n'y a pas d'autres termes à droite et à gauche, donc on « raye » simplement les cinq et on obtient une expression très simple :

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

C'est là qu'il faut être plus prudent. De nombreux étudiants aiment simplement prendre la racine carrée des deux côtés de l'inégalité et écrire quelque chose comme $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Cela ne doit en aucun cas être fait. , puisque la racine d'un carré exact est un module, et en aucun cas une variable originale :

\[\sqrt(((x)^(2)))=\gauche| x\droite|\]

Cependant, travailler avec des modules n’est pas l’expérience la plus agréable, n’est-ce pas ? Nous ne travaillerons donc pas. Au lieu de cela, nous déplaçons simplement tous les termes vers la gauche et résolvons l'inégalité habituelle en utilisant la méthode des intervalles :

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1 ; \\\fin(aligner)$

Nous marquons à nouveau les points obtenus sur la droite numérique et regardons les signes :

Attention : les points sont ombrés

Puisque nous résolvions une inégalité non stricte, tous les points du graphique sont ombrés. Par conséquent, la réponse sera : $x\in \left[ -1;1 \right]$ n'est pas un intervalle, mais un segment.

De manière générale, je voudrais souligner qu'il n'y a rien de compliqué dans les inégalités exponentielles. La signification de toutes les transformations que nous avons effectuées aujourd'hui se résume à un algorithme simple :

• Trouver la base à laquelle nous réduirons tous les degrés ;
• Effectuez soigneusement les transformations pour obtenir une inégalité de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Bien sûr, à la place des variables $x$ et $n$, il peut y avoir des fonctions beaucoup plus complexes, mais la signification ne changera pas ;
• Rayez les bases des diplômes. Dans ce cas, le signe de l'inégalité peut changer si la base $a \lt 1$.

En fait, il s’agit d’un algorithme universel permettant de résoudre toutes ces inégalités. Et tout le reste qu'ils vous diront sur ce sujet ne sont que des techniques et astuces spécifiques qui simplifieront et accéléreront la transformation. Nous allons parler d'une de ces techniques maintenant. :)

Méthode de rationalisation

Considérons un autre ensemble d'inégalités :

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Alors, qu’ont-ils de si spécial ? Ils sont légers. Mais arrêtez ! Le nombre π est-il élevé à une certaine puissance ? Quelle absurdité?

Comment élever le nombre $2\sqrt(3)-3$ à une puissance ? Ou $3-2\sqrt(2)$ ? Les rédacteurs du problème ont visiblement bu trop d'aubépine avant de se mettre au travail. :)

En fait, ces tâches n’ont rien d’effrayant. Permettez-moi de vous rappeler : une fonction exponentielle est une expression de la forme $((a)^(x))$, où la base $a$ est n'importe quel nombre positif sauf un. Le nombre π est positif – nous le savons déjà. Les nombres $2\sqrt(3)-3$ et $3-2\sqrt(2)$ sont également positifs - c'est facile à voir si vous les comparez à zéro.

Il s'avère que toutes ces inégalités « effrayantes » sont résolues de la même manière que les simples évoquées ci-dessus ? Et sont-ils résolus de la même manière ? Oui, c'est tout à fait vrai. Cependant, en utilisant leur exemple, je voudrais considérer une technique qui permet de gagner beaucoup de temps sur le travail indépendant et les examens. Nous parlerons de la méthode de rationalisation. Alors attention :

Toute inégalité exponentielle de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ à droite) \gt 0 $.

C'est toute la méthode. :) Pensiez-vous qu'il y aurait un autre jeu ? Rien de tel ! Mais ce simple fait, écrit littéralement sur une seule ligne, simplifiera grandement notre travail. Regarde:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Il n’y a donc plus de fonctions exponentielles ! Et vous n’avez pas besoin de vous rappeler si le signe change ou non. Mais un nouveau problème surgit : que faire de ce foutu multiplicateur \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] ? Nous ne savons pas quelle est la valeur exacte du nombre π. Cependant, le capitaine semble faire allusion à une évidence :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

En général, la valeur exacte de π ne nous concerne pas vraiment - il est seulement important pour nous de comprendre que dans tous les cas $\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. c'est une constante positive, et nous pouvons diviser les deux côtés de l'inégalité par elle :

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, à un moment donné, nous avons dû diviser par moins un - et le signe de l'inégalité a changé. À la fin, j'ai développé le trinôme quadratique en utilisant le théorème de Vieta - il est évident que les racines sont égales à $((x)_(1))=5$ et $((x)_(2))=-1$ . Ensuite, tout est résolu en utilisant la méthode classique des intervalles :

Résoudre l'inégalité à l'aide de la méthode des intervalles

Tous les points sont supprimés car l'inégalité d'origine est stricte. Nous nous intéressons à la région avec des valeurs négatives, donc la réponse est $x\in \left(-1;5 \right)$. C'est la solution. :)

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tout ici est généralement simple, car il y a une unité à droite. Et nous nous souvenons que un est n’importe quel nombre élevé à la puissance zéro. Même si ce nombre est une expression irrationnelle à la base à gauche :

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\fin (aligner)\]

Eh bien, rationalisons :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Il ne reste plus qu'à comprendre les signes. Le facteur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne contient pas la variable $x$ - c'est juste une constante, et nous devons connaître son signe. Pour ce faire, notez les points suivants :

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Il s’avère que le deuxième facteur n’est pas seulement une constante, mais une constante négative ! Et en divisant par celui-ci, le signe de l'inégalité d'origine change à l'opposé :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Maintenant, tout devient complètement évident. Les racines du trinôme carré de droite sont : $((x)_(1))=0$ et $((x)_(2))=2$. Nous les marquons sur la droite numérique et regardons les signes de la fonction $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ :

Le cas où l'on s'intéresse aux intervalles latéraux

Nous nous intéressons aux intervalles marqués d'un signe plus. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

Passons à l'exemple suivant :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ à droite))^(16-x))\]

Eh bien, tout est ici complètement évident : les bases contiennent des puissances du même nombre. Par conséquent, je vais tout écrire brièvement :

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ gauche(16-x \droite))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, au cours du processus de transformation, nous avons dû multiplier par un nombre négatif, le signe de l'inégalité a donc changé. À la toute fin, j'ai de nouveau appliqué le théorème de Vieta pour factoriser le trinôme quadratique. En conséquence, la réponse sera la suivante : $x\in \left(-8;4 \right)$ - n'importe qui peut le vérifier en traçant une droite numérique, en marquant les points et en comptant les signes. En attendant, nous allons passer à la dernière inégalité de notre « ensemble » :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Comme vous pouvez le voir, à la base il y a encore un nombre irrationnel, et à droite il y a encore une unité. Par conséquent, nous réécrivons notre inégalité exponentielle comme suit :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ à droite))^(0))\]

Nous appliquons la rationalisation :

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cependant, il est bien évident que $1-\sqrt(2) \lt 0$, puisque $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Par conséquent, le deuxième facteur est à nouveau une constante négative, par laquelle les deux côtés de l’inégalité peuvent être divisés :

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fin(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Déplacer vers une autre base

Un problème distinct lors de la résolution des inégalités exponentielles est la recherche de la base « correcte ». Malheureusement, il n'est pas toujours évident, au premier coup d'œil sur une tâche, de savoir quoi prendre comme base et quoi faire en fonction du degré de cette base.

Mais ne vous inquiétez pas : il n’y a pas de technologie magique ou « secrète » ici. En mathématiques, toute compétence qui ne peut pas être algorithmisée peut être facilement développée par la pratique. Mais pour cela, vous devrez résoudre des problèmes de différents niveaux de complexité. Par exemple, comme ceci :

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(aligner)\]

Difficile? Effrayant? C'est plus facile que de heurter un poulet sur l'asphalte ! Essayons. Première inégalité :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Eh bien, je pense que tout est clair ici :

Nous réécrivons l'inégalité d'origine, en réduisant tout à la base deux :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oui, oui, vous avez bien entendu : je viens d'appliquer la méthode de rationalisation décrite ci-dessus. Maintenant, nous devons travailler avec soin : nous avons une inégalité fractionnaire-rationnelle (c'est celle qui a une variable au dénominateur), donc avant d'assimiler quoi que ce soit à zéro, nous devons tout ramener à un dénominateur commun et nous débarrasser du facteur constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nous utilisons maintenant la méthode des intervalles standard. Zéros du numérateur : $x=\pm 4$. Le dénominateur ne tend vers zéro que lorsque $x=0$. Il y a trois points au total qui doivent être marqués sur la droite numérique (tous les points sont épinglés car le signe d'inégalité est strict). On a:

Cas plus complexe : trois racines

Comme vous pouvez le deviner, l'ombrage marque les intervalles auxquels l'expression de gauche prend des valeurs négatives. Par conséquent, la réponse finale comprendra deux intervalles à la fois :

Les extrémités des intervalles ne sont pas incluses dans la réponse car l’inégalité initiale était stricte. Aucune vérification supplémentaire de cette réponse n’est requise. À cet égard, les inégalités exponentielles sont bien plus simples que les inégalités logarithmiques : pas d'ODZ, pas de restrictions, etc.

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Il n'y a pas de problèmes ici non plus, puisque nous savons déjà que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, donc toute l'inégalité peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\gauche(-2 \droite) \droite. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Attention : dans la troisième ligne, j'ai décidé de ne pas perdre de temps en bagatelles et de tout diviser immédiatement par (−2). Minul est entré dans la première tranche (il y a maintenant des avantages partout) et deux ont été réduits avec un facteur constant. C'est exactement ce que vous devez faire lorsque vous préparez de vrais calculs pour des travaux indépendants et des tests : vous n'avez pas besoin de décrire directement chaque action et transformation.

Ensuite, la méthode familière des intervalles entre en jeu. Des zéros au numérateur : mais il n’y en a pas. Parce que le discriminant sera négatif. À son tour, le dénominateur n'est réinitialisé qu'à $x=0$ - comme la dernière fois. Eh bien, il est clair qu'à droite de $x=0$ la fraction prendra des valeurs positives et à gauche - négative. Puisque nous nous intéressons aux valeurs négatives, la réponse finale est : $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Que faire des fractions décimales dans les inégalités exponentielles ? C'est vrai : débarrassez-vous-en et transformez-les en objets ordinaires. Nous traduirons ici :

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\droite))^(x)). \\\fin (aligner)\]

Alors qu’avons-nous trouvé dans les fondements des fonctions exponentielles ? Et nous avons deux nombres mutuellement inverses :

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ droite))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin (aligner)\]

Bien sûr, lorsqu’on multiplie des puissances avec la même base, leurs exposants s’additionnent, ce qui s’est produit dans la deuxième ligne. De plus, nous avons représenté l'unité de droite, également comme puissance en base 4/25. Il ne reste plus qu'à rationaliser :

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Notez que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, c'est-à-dire le deuxième facteur est une constante négative, et lors de la division par celui-ci, le signe d'inégalité changera :

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Enfin, la dernière inégalité de « l’ensemble » actuel :

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

En principe, l'idée de la solution ici est également claire : toutes les fonctions exponentielles incluses dans l'inégalité doivent être réduites à la base « 3 ». Mais pour cela il va falloir bricoler un peu les racines et les pouvoirs :

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin (aligner)\]

Compte tenu de ces faits, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin (aligner)\]

Faites attention aux 2ème et 3ème lignes de calcul : avant de faire quoi que ce soit avec l'inégalité, assurez-vous de la mettre sous la forme dont nous avons parlé dès le début de la leçon : $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tant que vous avez des facteurs gauchers, des constantes supplémentaires, etc. à gauche ou à droite, aucune rationalisation ou « rayure » de motifs ne peut être effectuée! D’innombrables tâches ont été mal exécutées en raison d’une incapacité à comprendre ce simple fait. J'observe moi-même constamment ce problème avec mes étudiants alors que l'on commence tout juste à analyser les inégalités exponentielles et logarithmiques.

Mais revenons à notre tâche. Essayons cette fois de nous passer de rationalisation. Rappelons-nous : la base du degré est supérieure à un, donc les triplets peuvent simplement être barrés - le signe d'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

C'est tout. Réponse finale : $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isoler une expression stable et remplacer une variable

En conclusion, je propose de résoudre quatre inégalités exponentielles supplémentaires, déjà assez difficiles pour les étudiants non préparés. Pour y faire face, vous devez vous rappeler les règles relatives au travail avec les diplômes. En particulier, mettre entre parenthèses les facteurs communs.

Mais le plus important est d’apprendre à comprendre ce qui peut exactement être retiré des parenthèses. Une telle expression est dite stable - elle peut être désignée par une nouvelle variable et ainsi se débarrasser de la fonction exponentielle. Voyons donc les tâches :

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90 ; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500 ; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Commençons par la toute première ligne. Écrivons séparément cette inégalité :

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Notez que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, donc la main droite le côté peut être réécrit :

Notez qu'il n'y a pas d'autres fonctions exponentielles sauf $((5)^(x+1))$ dans l'inégalité. Et en général, la variable $x$ n'apparaît nulle part ailleurs, introduisons donc une nouvelle variable : $((5)^(x+1))=t$. On obtient la construction suivante :

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6 ; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Nous revenons à la variable d'origine ($t=((5)^(x+1))$), et en même temps rappelons que 1=5 0 . Nous avons:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Réponse : $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passons à la deuxième inégalité :

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tout est pareil ici. Notez que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Alors le côté gauche peut être réécrit :

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90 ; \\ & 10t\ge 90 ; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin (aligner)\]

C'est à peu près ainsi que vous devez élaborer une solution pour des tests réels et un travail indépendant.

Eh bien, essayons quelque chose de plus compliqué. Par exemple, voici l'inégalité :

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Quel est le problème ici ? Tout d'abord, les bases des fonctions exponentielles de gauche sont différentes : 5 et 25. Cependant, 25 = 5 2, donc le premier terme peut être transformé :

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(aligner )\]

Comme vous pouvez le voir, au début, nous avons tout mis sur la même base, puis nous avons remarqué que le premier terme peut facilement être réduit au second - il suffit de développer l'exposant. Vous pouvez maintenant introduire en toute sécurité une nouvelle variable : $((5)^(2x+2))=t$, et toute l'inégalité sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500 ; \\&4t\ge 2500 ; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Et encore une fois, aucune difficulté ! Réponse finale : $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passons à l'inégalité finale de la leçon d'aujourd'hui :

\[((\gauche(0,5 \droite))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

La première chose à laquelle vous devez faire attention est, bien sûr, la fraction décimale dans la base de la puissance première. Il faut s'en débarrasser, et en même temps ramener toutes les fonctions exponentielles à la même base - le chiffre « 2 » :

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Super, nous avons fait le premier pas : tout a conduit au même fondement. Vous devez maintenant sélectionner une expression stable. Notez que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si nous introduisons une nouvelle variable $((2)^(4x+6))=t$, alors l'inégalité d'origine peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768 ; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt2 ; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fin (aligner)\]

Naturellement, la question peut se poser : comment avons-nous découvert que 256 = 2 8 ? Malheureusement, ici, il suffit de connaître les puissances de deux (et en même temps les puissances de trois et cinq). Eh bien, ou divisez 256 par 2 (vous pouvez diviser, puisque 256 est un nombre pair) jusqu'à ce que nous obtenions le résultat. Cela ressemblera à ceci :

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Il en va de même avec trois (les nombres 9, 27, 81 et 243 sont ses degrés) et avec sept (les nombres 49 et 343 seraient également bons à retenir). Eh bien, le cinq a aussi de « beaux » diplômes qu’il faut connaître :

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625 ; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin (aligner)\]

Bien entendu, si vous le souhaitez, tous ces nombres peuvent être restitués dans votre esprit en les multipliant simplement successivement les uns par les autres. Cependant, lorsque vous devez résoudre plusieurs inégalités exponentielles et que chacune des inégalités suivantes est plus difficile que la précédente, la dernière chose à laquelle vous voulez penser est la puissance de certains nombres. Et en ce sens, ces problèmes sont plus complexes que les inégalités « classiques » résolues par la méthode des intervalles.

J'espère que cette leçon vous a aidé à maîtriser ce sujet. Si quelque chose n'est pas clair, demandez dans les commentaires. Et à bientôt dans les prochains cours. :)

Professeur de mathématiques Établissement d'enseignement municipal - École secondaire n° 2, site Web Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna

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Résumé de la leçon

Le sujet Inégalités exponentielles est un sujet essentiel en mathématiques. D'après le manuel de S. M. Nikolsky, il est étudié en 10e année et 2 heures sont allouées à son étude en planification : 1 heure - Les inégalités exponentielles les plus simples ; 1 heure – Les inégalités réduites au plus simple en remplaçant l'inconnu. Pendant ce temps, il est nécessaire de présenter aux étudiants du matériel nouveau et très volumineux, de leur apprendre à résoudre tous les types d'inégalités exponentielles et à bien mettre en pratique ces compétences et capacités. Par conséquent, des cours sur la formation de nouvelles connaissances sous forme de cours magistraux utilisant des informations et les technologies de communication permettent de résoudre ces problèmes rapidement et avec une plus grande efficacité.

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Albert Einstein

« Je dois partager mon temps entre la politique et la résolution d’équations et d’inégalités. Cependant, résoudre les équations et les inégalités est, à mon avis, bien plus important, car la politique n’existe que pour un moment donné, mais les équations et les inégalités existeront pour toujours.»

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Structure de la leçon

Moment organisationnel Fixer des buts et des objectifs Plan de cours Mettre à jour les connaissances des étudiants sous forme de répétition du matériel précédemment étudié Introduction de nouvelles connaissances Consolider les connaissances sous forme d'entretien Résumer la leçon Devoirs

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Organisation du temps

Accueillir les élèves Noter les noms des élèves absents du cours sur le registre de classe

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Fixer des buts et des objectifs

Annoncer aux étudiants au début de la leçon ses buts et objectifs. Présenter aux étudiants le plan de cours et le noter dans leur cahier.

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Objectifs de la leçon

Pédagogique Formation du concept d'inégalités exponentielles Familiarisation des étudiants avec les types d'inégalités exponentielles Formation de compétences et d'aptitudes pour résoudre les inégalités exponentielles

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Éducatif Cultiver le travail acharné Cultiver l'indépendance pour atteindre les objectifs Former des compétences informatiques Former des compétences esthétiques lors de la prise de notes

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Développemental Développement de l'activité mentale Développement de l'initiative créative Développement de l'activité cognitive Développement de la parole et de la mémoire

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Objectifs de la leçon

Revoir les propriétés de la fonction exponentielle Revoir les règles de résolution des inégalités rationnelles quadratiques et fractionnaires Élaborer l'algorithme pour résoudre les inégalités exponentielles les plus simples Enseigner aux élèves à distinguer les types d'inégalités exponentielles Enseigner aux élèves à résoudre les inégalités exponentielles

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Type de cours

Leçon dans la formation de nouvelles connaissances

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Type de cours

Leçon - conférence

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Méthodes d'enseignement

Recherche heuristique explicative et illustrative Problématique

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Technologie éducative

Technologies de l'information et de la communication basées sur l'apprentissage par problèmes

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Plan de la conférence

Répétition des propriétés de la fonction exponentielle Les inégalités exponentielles les plus simples Inégalités exponentielles qui se réduisent au plus simple Inégalités exponentielles qui se réduisent aux inégalités quadratiques Inégalités exponentielles homogènes du premier degré Inégalités exponentielles homogènes du deuxième degré Inégalités exponentielles qui se réduisent aux inégalités rationnelles Non-exponentielles exponentielles inégalités standards

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Répétition du matériel précédemment étudié

Résolvez au tableau et dans des cahiers : a) inégalités quadratiques : x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) inégalité rationnelle fractionnaire : (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0

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Répétition des propriétés de la fonction exponentielle

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diminue de manière monotone sur R L'axe Ox est une asymptote horizontale augmente de manière monotone sur R 8. Pour toute valeur réelle de x et y ; une>0, une≠1; b>0, b≠1. 7. Asymptote 6. Extrema 5. Monotonie 4. Pair, impair 3. Intervalles de comparaison des valeurs d'une fonction avec l'unité 2. Plage de valeurs d'une fonction 1 Plage de définition d'une fonction Propriétés d'une fonction exponentielle Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution La fonction exponentielle n'a pas d'extrema.La fonction n'est ni paire ni impaire (une fonction de forme générale).

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Tâche n°1 Trouver le domaine de définition de la fonction

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Tâche n°2 Déterminer les valeurs

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Tâche n°3 Déterminer le type de fonction croissante décroissante croissante décroissante

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Introduction de nouvelles connaissances

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution DÉFINITION des inégalités exponentielles les plus simples : Soit a un nombre positif donné non égal à un et b un nombre réel donné. Alors les inégalités ax>b (ax≥b) et ax

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution. COMMENT s'appelle la résolution d'une inégalité ? La solution d’une inégalité avec un x inconnu est le nombre x0, qui, lorsqu’il est substitué à l’inégalité, produit une véritable inégalité numérique.

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution QUE SIGNIFIE résoudre une inégalité ? Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou montrer qu’il n’y en a pas.

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Considérons la position relative du graphique de la fonction y=ax, a>0, a≠1et la droite y=b. Les inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1x0x0

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution CONCLUSION n°1 : Lorsque b≤0, la droite y=b ne coupe pas le graphe de la fonction y=ax, car est situé en dessous de la courbe y=ax, donc les inégalités ax>b(ax≥b) sont satisfaites pour xR, et les inégalités ax

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CONCLUSION n°2 : y x ​​​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Si a>1 et b > 0, alors pour chaque x1 x0- en dessous de la droite y=b . 1 Pour b> 0, la droite y = b coupe le graphique de la fonction y = ax en un seul point dont l'abscisse est x0 = logab

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CONCLUSION n°2 : y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Si a>1 et b > 0, alors pour chaque x1 >x0 le point correspondant du graphique de la fonction y=ax est située au dessus de la droite y=b, et pour chaque x2 0 la droite y = b coupe le graphique de la fonction y = ax en un seul point dont l'abscisse est x0 = logab x2

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Les inégalités exponentielles les plus simples Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Exemple n°1.1 Réponse : augmente sur tout le domaine de définition, Solution :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Exemple n°1.2 Solution : Réponse : diminue sur tout le domaine de définition,

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Exemple n°1.3 Solution : Réponse : augmente sur tout le domaine de définition,

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 1) Les inégalités exponentielles, réduites aux plus simples, augmentent sur tout le domaine de définition Exemple n°1 Réponse : Solution :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution Exemple n°1.4 Solution : augmente sur tout le domaine de définition, Réponse :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre Les inégalités exponentielles, réduites au plus simple Exemple n°2 augmentent sur tout le domaine de définition Réponse : Solution :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 2) Inégalités exponentielles, se réduisant aux inégalités quadratiques Exemple Revenons à la variable x augmente pour tout x du domaine de définition Réponse : Solution :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 3) Inégalités exponentielles homogènes du premier et du deuxième degré. Inégalités exponentielles homogènes du premier degré Exemple n°1 croissante sur tout le domaine de définition Réponse : Solution :

Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 4) Inégalités exponentielles, se réduisant à des inégalités rationnelles Exemple Revenons à la variable x augmente sur tout le domaine de définition Réponse : Solution :

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 5) Inégalités exponentielles non standard Exemple de solution : Résolvons chaque énoncé de l'ensemble séparément. L’inégalité est égale à l’agrégat

Diapositive 44

Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de résolution Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre 5) Inégalités exponentielles non standard Exemple de réponse : Solution : Vérifier La vérification a montré que x=1, x=3, x=1,5 sont des solutions à équation, et x=2 n’est pas une solution de l’équation. Donc,

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Consolidation des connaissances

Quelles inégalités sont dites exponentielles ? Quand une inégalité exponentielle a-t-elle une solution pour toute valeur de x ? Quand une inégalité exponentielle n’a-t-elle pas de solutions ? Quels types d’inégalités avez-vous appris dans cette leçon ? Comment les inégalités les plus simples sont-elles résolues ? Comment les inégalités qui se réduisent à des inégalités quadratiques sont-elles résolues ? Comment les inégalités homogènes sont-elles résolues ? Comment résoudre les inégalités qui peuvent être réduites à des inégalités rationnelles ?

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Résumé de la leçon

Découvrez ce que les nouveaux élèves ont appris dans cette leçon Donnez des notes aux élèves pour leur travail dans la leçon avec des commentaires détaillés

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Devoirs

Manuel pour la 10e année « Algèbre et débuts de l'analyse » auteur S.M. Nikolsky Étudier les paragraphes 6.4 et 6.6, n° 6.31-6.35 et n° 6.45-6.50 résoudre

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Inégalités exponentielles, leurs types et méthodes de solution

Thème 6. Équations et inégalités exponentielles et logarithmiques (11 heures)
Sujet de cours. Des inégalités réduites à la plus simple en remplaçant l'inconnu.
Objectif de la leçon : Développer des compétences pour résoudre des inégalités exponentielles et logarithmiques, en les réduisant au plus simple, en remplaçant l'inconnu.
Tâches:
Pédagogique : répéter et consolider les connaissances sur le thème « résoudre les inégalités exponentielles et logarithmiques les plus simples », apprendre à résoudre les inégalités logarithmiques et exponentielles en utilisant la méthode de substitution.
Développemental : développer la capacité de l'élève à identifier deux types d'inégalités et à déterminer les moyens de les résoudre (pensée logique et intuitive, justification des jugements, classification, comparaison), développer des compétences de maîtrise de soi et d'auto-test, la capacité de bouger selon un algorithme donné, évaluer et corriger le résultat obtenu.
Pédagogique : continuer à développer des qualités des élèves telles que : la capacité de s'écouter ; la capacité d'exercer un contrôle mutuel et une estime de soi.
Type de cours : combiné.
Manuel d'algèbre 10e année S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Chevkine
Pendant les cours
Organisation du temps.
Vérification des devoirs.
Actualisation des connaissances de base.
Frontale :
1. Quelles inégalités sont appelées inégalités exponentielles les plus simples ?
2. Expliquer la signification de résoudre des inégalités exponentielles simples.
3. Quelles inégalités sont appelées inégalités logarithmiques les plus simples ?
4. Expliquez l'importance de résoudre des inégalités logarithmiques simples.
Avec écriture au tableau (1 élève chacun) :
Résoudre les inégalités
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Explication du nouveau matériau et de son renforcement étape par étape.
1.1. Explication du nouveau matériel.
1. Résolvez l’inégalité :
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, alors
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
On s'intéresse au signe "−−", on obtient alors
Réponse : x∈(1;2)
2. Résoudre l'inégalité

1.2. Consolidation étape par étape.
N° 6.49(a, c).
N° 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Réponse : -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Réponse : -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Réponse : -2;-1∪3;42.1. Explication du nouveau matériel.
3. Résoudre l'inégalité

Alors 1 inégalité a du sens pour tout x, et la seconde

2.2. Consolidation étape par étape.
Résoudre l’inégalité n° 6.56(c)
3.1. Explication du nouveau matériel.
4. Résoudre l'inégalité

3.2. Consolidation étape par étape.
Résoudre l’inégalité n° 6.60(a)
Résumer la leçon.
Réflexion.
Devoirs.
P. 6.6
N° 6.49 (b, d)
N° 6.52 (a, b)
N° 6.56 (d)
N° 6.60 (b)

Fichiers joints