Développez le plus petit commun multiple. Recherche du multiple le moins commun, méthodes, exemples de recherche du LCM. Relation entre les CNO et les GCD

LCM est le plus petit commun multiple. Un tel nombre par lequel tous les nombres donnés seront divisés sans reste.

Par exemple, si les nombres donnés sont 2, 3, 5, alors LCM = 2 * 3 * 5 = 30

Et si les nombres donnés sont 2,4,8, alors LCM = 8

qu'est-ce que pgcd ?

GCD est le plus grand diviseur commun. Un nombre qui peut être utilisé pour diviser chacun des nombres donnés, sans reste.

Il est logique que si les nombres donnés sont premiers, alors le PGCD est égal à un.

Et si les nombres donnés sont 2, 4, 8, alors le PGCD est 2.

Nous ne le décrirons pas en termes généraux, mais montrerons simplement la solution par un exemple.

On donne deux nombres 126 et 44. Trouvez PGCD.

Alors si on nous donne deux nombres de la forme

Ensuite, GCD est calculé comme

où min est la valeur minimale de toutes les valeurs des puissances du nombre pn

et le CNO en tant que

où max est la valeur maximale de toutes les valeurs des puissances du nombre pn

En regardant les formules ci-dessus, on peut facilement prouver que le PGCD de deux nombres ou plus sera égal à un, alors lorsque parmi au moins une paire de valeurs données, il existe des nombres premiers entre eux.

Par conséquent, il est facile de répondre à la question de savoir quel est le PGCD de ces nombres 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 sans rien calculer.

les nombres 3 et 7 sont premiers entre eux, et donc PGCD = 1

Regardons un exemple.

Étant donné trois nombres 24654, 25473 et 954

Chaque nombre est développé dans les facteurs suivants

Ou, si nous écrivons sous une forme alternative

C'est-à-dire que le PGCD de ces trois nombres est égal à trois

Eh bien, le LCM peut être calculé de la même manière, et il est égal à

Notre bot vous aidera à calculer le PGCD et le LCM de n'importe quel nombre entier, deux, trois ou dix.

Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d'abord se prononcer sur la signification du terme « multiple ».

Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A. Ainsi, les multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, et ainsi de suite.

Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d'un nombre particulier, mais il y a une infinité de multiples.

Le multiple commun des nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans reste.

Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Le plus petit multiple commun (LCM) de nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.

Il existe plusieurs façons de trouver le LCM.

Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce qu'il y ait un commun entre eux. Les multiples sont désignés dans l'entrée par une lettre majuscule K.

Par exemple, les multiples de 4 peuvent s'écrire comme ceci :

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Ainsi, vous pouvez voir que le plus petit commun multiple de 4 et 6 est 24. Cette saisie s'effectue comme suit :

LCM (4, 6) = 24

Si les nombres sont grands, trouvez le multiple commun de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode pour calculer le LCM.

Pour terminer la tâche, vous devez décomposer les nombres proposés en facteurs premiers.

Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand des nombres sur une ligne, et en dessous - le reste.

Dans l'expansion de chaque nombre, il peut y avoir un nombre différent de facteurs.

Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.

Dans le développement d'un plus petit nombre, vous devez mettre l'accent sur les facteurs absents du développement du premier plus grand nombre, puis les y ajouter. Dans l'exemple présenté, il manque un deux.

Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Ainsi, le produit des facteurs premiers d'un plus grand nombre et des facteurs du second nombre qui ne sont pas inclus dans le développement d'un plus grand nombre sera le plus petit commun multiple.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, tous doivent être décomposés en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.

Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Ainsi, dans la factorisation d'un plus grand nombre, seuls deux deux de la factorisation de seize n'ont pas été inclus (un est dans la factorisation de vingt-quatre).

Ainsi, ils doivent être ajoutés à l'expansion du plus grand nombre.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Il existe des cas particuliers de détermination du plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit multiple commun.

Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre serait vingt-quatre.

Si vous avez besoin de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers entre eux qui n'ont pas les mêmes diviseurs, alors leur LCM sera égal à leur produit.

Par exemple, LCM (10, 11) = 110.

Trouvez le plus grand diviseur commun de PGCD (36; 24)

Étapes de la solution

Méthode numéro 1

36 - nombre composé
24 - nombre composé

Développer le nombre 36

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - divisible par un nombre premier 2
9: 3 = 3 - est divisible par un nombre premier 3.

Développer le nombre 24 par des facteurs premiers et les surligner en vert. Nous commençons à sélectionner le diviseur des nombres premiers, en commençant par le plus petit nombre premier 2, jusqu'à ce que le quotient s'avère être un nombre premier

24: 2 = 12 - divisible par un nombre premier 2
12: 2 = 6 - divisible par un nombre premier 2
6: 2 = 3
On complète la division, puisque 3 est un nombre premier

2) Surlignez en bleu et écrivez les facteurs communs

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Facteurs communs (36 ; 24) : 2, 2, 3

3) Maintenant, pour trouver le PGCD, vous devez multiplier les facteurs communs

Réponse : PGCD (36 ; 24) = 2 2 ∙ 3 = 12

Méthode numéro 2

1) Trouvez tous les diviseurs possibles de nombres (36; 24). Pour ce faire, on divisera un à un le nombre 36 en diviseurs de 1 à 36, et le nombre 24 en diviseurs de 1 à 24. Si le nombre est divisible sans reste, alors on écrit le diviseur dans la liste des diviseurs .

Pour le nombre 36
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

Pour le nombre 24 Écrivons tous les cas où il est divisible sans reste :
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) Écrivons tous les diviseurs communs des nombres (36; 24) et mettons en évidence en vert le plus grand, ce sera le plus grand diviseur commun du PGCD des nombres (36; 24)

Diviseurs communs des nombres (36 ; 24) : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Réponse : PGCD (36 ; 24) = 12

Trouvez le LCM multiple le moins commun (52; 49)

Étapes de la solution

Méthode numéro 1

1) Décomposons les nombres en facteurs premiers. Pour ce faire, vérifiez si chacun des nombres est premier (si le nombre est premier, alors il ne peut pas être décomposé en facteurs premiers, et c'est lui-même sa propre décomposition)

52 - nombre composé
49 - nombre composé

Développer le nombre 52 par des facteurs premiers et les surligner en vert. Nous commençons à sélectionner le diviseur des nombres premiers, en commençant par le plus petit nombre premier 2, jusqu'à ce que le quotient s'avère être un nombre premier

52: 2 = 26 - divisible par un nombre premier 2
26: 2 = 13 - est divisible par un nombre premier 2.
On complète la division, puisque 13 est un nombre premier

Développer le nombre 49 par des facteurs premiers et les surligner en vert. Nous commençons à sélectionner le diviseur des nombres premiers, en commençant par le plus petit nombre premier 2, jusqu'à ce que le quotient s'avère être un nombre premier

49: 7 = 7 - est divisible par un nombre premier 7.
Finir la division puisque 7 est premier

2) Tout d'abord, nous écrivons les facteurs du plus grand nombre, puis le plus petit nombre. Trouvez les facteurs manquants, surlignés en bleu dans l'expansion d'un plus petit nombre de facteurs qui n'étaient pas inclus dans l'expansion d'un plus grand nombre.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Maintenant, pour trouver le LCM, vous devez multiplier les facteurs du plus grand nombre avec les facteurs manquants, qui sont surlignés en bleu

LCM (52; 49) = 2 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Méthode numéro 2

1) Trouvez tous les multiples possibles (52; 49). Pour ce faire, on multipliera alternativement le nombre 52 par les nombres de 1 à 49, le nombre 49 par les nombres de 1 à 52.

Sélectionnez tous les multiples 52 en vert :

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

Sélectionnez tous les multiples 49 en vert :

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) Écrivons tous les multiples communs de nombres (52; 49) et mettons en évidence le plus petit en vert, ce sera le plus petit multiple commun de nombres (52; 49).

Multiples communs (52 ; 49) : 2548

Réponse : LCM (52 ; 49) = 2548

Les expressions et les problèmes mathématiques nécessitent beaucoup de connaissances supplémentaires. NOC est l'un des principaux, particulièrement souvent utilisé dans Le sujet est étudié au lycée, alors qu'il n'est pas particulièrement difficile de comprendre le matériel, une personne familière avec les diplômes et la table de multiplication n'aura pas de difficulté à sélectionner le nécessaire nombres et trouver le résultat.

Définition

Le multiple commun est un nombre qui peut être complètement divisé en deux nombres à la fois (a et b). Le plus souvent, ce nombre est obtenu en multipliant les nombres originaux a et b. Le nombre doit être divisible par les deux nombres à la fois, sans écarts.

NOC est un nom court adopté pour la désignation, assemblé à partir des premières lettres.

Façons d'obtenir le numéro

Pour trouver le LCM, la méthode de multiplication des nombres n'est pas toujours adaptée ; elle est bien mieux adaptée aux nombres simples à un chiffre ou à deux chiffres. il est d'usage de diviser par facteurs, plus le nombre est grand, plus il y aura de facteurs.

Exemple n°1

Pour l'exemple le plus simple, les écoles utilisent généralement des nombres simples, à un ou deux chiffres. Par exemple, vous devez résoudre le problème suivant, trouver le plus petit commun multiple des nombres 7 et 3, la solution est assez simple, il suffit de les multiplier. En conséquence, il y a un nombre 21, il n'y a tout simplement pas de plus petit nombre.

Exemple n°2

La deuxième variante de la tâche est beaucoup plus difficile. Compte tenu des numéros 300 et 1260, trouver le LCM est obligatoire. Pour résoudre la tâche, les actions suivantes sont supposées :

Décomposition des premier et deuxième nombres en facteurs les plus simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. La première étape est terminée.

La deuxième étape consiste à travailler avec des données déjà reçues. Chacun des numéros obtenus doit participer au calcul du résultat final. Pour chaque facteur, le plus grand nombre d'occurrences est tiré des nombres originaux. Le LCM est le nombre total, de sorte que les facteurs des nombres doivent être répétés à un, même ceux qui sont présents dans une copie. Les deux nombres originaux ont dans leur composition les nombres 2, 3 et 5, à des degrés différents, 7 n'est que dans un cas.

Pour calculer le résultat final, vous devez prendre chaque nombre dans la plus grande des puissances présentées dans l'équation. Il ne reste plus qu'à multiplier et obtenir la réponse, avec le bon remplissage, la tâche se déroule en deux étapes sans explication :

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

C'est tout le problème, si vous essayez de calculer le nombre requis en multipliant, alors la réponse ne sera certainement pas correcte, puisque 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300/300 = 21 - vrai ;

6300/1260 = 5 - correct.

L'exactitude du résultat obtenu est déterminée en vérifiant - en divisant le LCM par les deux nombres initiaux, si le nombre est un entier dans les deux cas, alors la réponse est correcte.

Que signifie LCM en mathématiques

Comme vous le savez, en mathématiques, il n'y a pas une seule fonction inutile, cela ne fait pas exception. L'utilisation la plus courante de ce nombre est d'amener des fractions à un dénominateur commun. Ce qui est généralement enseigné dans les 5e et 6e années du secondaire. C'est aussi en plus un diviseur commun pour tous les multiples, si de telles conditions sont dans le problème. Une expression similaire peut trouver un multiple non seulement de deux nombres, mais aussi d'un nombre beaucoup plus grand - trois, cinq, etc. Plus il y a de nombres - plus il y a d'actions dans la tâche, mais la complexité n'augmente pas à partir de là.

Par exemple, étant donné les nombres 250, 600 et 1500, vous devez trouver leur LCM total :

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dans cet exemple, la factorisation est décrite en détail, sans annulation.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pour composer une expression, il est nécessaire de mentionner tous les facteurs, dans ce cas 2, 5, 3 sont donnés, - pour tous ces nombres, il est nécessaire de déterminer le degré maximum.

Attention : tous les multiplicateurs doivent être amenés à une simplification complète, si possible, en s'étendant au niveau de ceux sans ambiguïté.

Examen:

1) 3000/250 = 12 - vrai ;

2) 3000/600 = 5 - vrai ;

3) 3000/1500 = 2 - vrai.

Cette méthode ne nécessite aucun gadget ou capacité de génie, tout est simple et direct.

Autrement

En mathématiques, beaucoup de choses sont liées, beaucoup peuvent être résolues de deux manières ou plus, il en va de même pour trouver le plus petit commun multiple, LCM. La méthode suivante peut être utilisée dans le cas de nombres simples à deux chiffres et à un chiffre. Un tableau est compilé dans lequel le multiplicateur est entré verticalement, le multiplicateur horizontalement et le produit est indiqué dans les cellules se croisant de la colonne. Vous pouvez refléter le tableau au moyen d'une ligne, un nombre est pris et les résultats de la multiplication de ce nombre par des nombres entiers, de 1 à l'infini, sont écrits à la suite, parfois 3 à 5 points suffisent, le deuxième nombre et les suivants sont soumis au même processus de calcul. Tout se passe jusqu'à ce que le multiple commun soit trouvé.

Étant donné les nombres 30, 35, 42, vous devez trouver le LCM reliant tous les nombres :

1) Multiples de 30 : 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiples de 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiples de 42 : 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Il est à noter que tous les nombres sont assez différents, le seul nombre commun parmi eux est 210, ce sera donc le LCM. Parmi les processus associés à ce calcul, il y a aussi le plus grand diviseur commun, qui est calculé selon des principes similaires et est souvent rencontré dans des problèmes voisins. La différence est petite, mais suffisamment significative, le LCM suppose le calcul d'un nombre qui est divisé par toutes les valeurs initiales données, et le GCD implique le calcul de la plus grande valeur par laquelle les nombres originaux sont divisés.

Multiples communs

En termes simples, tout nombre entier divisible par chacun des nombres donnés est Multiple commun données entières.

Vous pouvez trouver le multiple commun de deux nombres entiers ou plus.

Exemple 1

Calculez le multiple commun de deux nombres : 2 $ et 5 $.

Solution.

Par définition, les multiples communs de 2 $ et 5 $ sont de 10 $, puisque c'est un multiple de 2$ et 5$ :

Les multiples communs des nombres 2 $ et 5 $ seront aussi les nombres $ –10, 20, –20, 30, –30 $, etc. ils sont tous divisibles par les nombres 2$ et 5$.

Remarque 1

Zéro est un multiple commun d'un nombre quelconque d'entiers non nuls.

Selon les propriétés de divisibilité, si un nombre est un multiple commun de plusieurs nombres, alors le signe opposé sera également un multiple commun des nombres donnés. Cela peut être vu à partir de l'exemple considéré.

Pour des nombres entiers donnés, vous pouvez toujours trouver leur multiple commun.

Exemple 2

Calculez le multiple commun de 111 $ et 55 $.

Solution.

Multipliez les nombres donnés : 111 $ \ div 55 = 6105 $. Il est facile de s'assurer que le nombre 6105$ est divisible par le nombre 111$ et par le nombre 55$ :

6105 $ \ div 111 = 55 $;

6105 $ \ div 55 = 111 $.

Ainsi, 6105$ est le multiple commun de 111$ et 55$.

Réponse: le multiple commun de 111$ et 55$ est de 6105$.

Mais, comme nous l'avons vu dans l'exemple précédent, ce multiple commun n'est pas un. Les autres multiples communs sont $ –6105, 12210, –12210, 61050, –61050, etc. Ainsi, nous sommes arrivés à la conclusion suivante :

Remarque 2

Tout ensemble d'entiers a une infinité de multiples communs.

En pratique, ils se limitent à trouver des multiples communs de seuls nombres entiers positifs (naturels), puisque les ensembles de multiples d'un nombre donné et son contraire coïncident.

Détermination multiple la moins commune

Le plus petit commun multiple (LCM) est utilisé le plus souvent de tous les multiples des nombres donnés.

Définition 2

Le plus petit commun multiple positif des nombres entiers donnés est multiple moins commun ces chiffres.

Exemple 3

Calculez le LCM des nombres 4 $ et 7 $.

Solution.

Parce que ces nombres n'ont pas de diviseur commun, alors $ LCM (4,7) = $ 28.

Réponse: $ LCM (4.7) = $ 28.

Trouver le LCM via le GCD

Parce que il existe une relation entre LCM et GCD, avec son aide, vous pouvez calculer LCM de deux entiers positifs:

Remarque 3

Exemple 4

Calculez le LCM de 232 $ et 84 $.

Solution.

Utilisons la formule pour trouver le LCM via le GCD :

$ LCM (a, b) = \ frac (a \ cdot b) (GCD (a, b)) $

Trouvez le PGCD des nombres $ 232 $ et $ 84 $ en utilisant l'algorithme d'Euclide :

232 $ = 84 \ cdot 2 + 64 $,

84 $ = 64 \ cdot 1 + 20 $,

64 $ = 20 \ cdot 3 + 4 $,

Ceux. Gcd $ (232, 84) = 4 $.

Trouver $ LCM (232, 84) $ :

$ LCM (232,84) = \ frac (232 \ cdot 84) (4) = 58 \ cdot 84 = $ 4872

Réponse: $ LCM (232,84) = $ 4872.

Exemple 5

Calculez $ LCM (23, 46) $.

Solution.

Parce que 46 $ est divisible par 23 $, alors pgcd $ (23, 46) = 23 $. Trouvez le LCM :

$ LCM (23.46) = \ frac (23 \ cdot 46) (23) = 46 $

Réponse: $ LCM (23.46) = $ 46.

Ainsi, nous pouvons formuler la règle:

Remarque 4