Testez 6 produits scalaires de vecteurs option 1. Produit scalaire de vecteurs. Éléments de géométrie analytique dans l'espace

Produit scalaire un  b deux vecteurs non nuls un Et b est un nombre égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare. Si au moins un de ces vecteurs est égal à zéro, le produit scalaire est égal à zéro. Ainsi, par définition, nous avons

où  est l'angle entre les vecteurs un Et b .

Produit scalaire des vecteurs un , b également indiqué par des symboles un B .

Le signe du produit scalaire est déterminé par la valeur  :

si 0    Que un  b  0,

si    , alors un  b  0.

Le produit scalaire est défini pour seulement deux vecteurs.

Opérations sur les vecteurs sous forme de coordonnées

Laissez entrer le système de coordonnées Ohoo les vecteurs sont donnés un = (X 1 ; oui 1) = X 1 je + oui 1 j Et b = (X 2 ; oui 2) = X 2 je + oui 2 j .

1. Chaque coordonnée de la somme de deux (ou plus) vecteurs est égale à la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs composants, c'est-à-dire un + b = = (X 1 + X 2 ; oui 1 + oui 2).

2. Chaque coordonnée de la différence de deux vecteurs est égale à la différence des coordonnées correspondantes de ces vecteurs, c'est-à-dire un – b = (X 1 – X 2 ; oui 1 – oui 2).

3. Chaque coordonnée du produit d'un vecteur par un nombre  est égale au produit de la coordonnée correspondante de ce vecteur par , c'est-à-dire  UN = ( X 1 ;  à 1).

4. Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces vecteurs, c'est-à-dire un  b = X 1  X 2 + + oui 1  oui 2 .

Conséquence. Longueur du vecteur UN = (X; oui) est égal à la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées, soit

=
(5)

Exemple 4. Les vecteurs sont donnés
b = 3je – j .

Requis:

1. Trouver

2. Trouver le produit scalaire des vecteurs Avec , d .

3. Trouvez la longueur du vecteur Avec .

Solution

1. En utilisant la propriété 3, on trouve les coordonnées des vecteurs 2 UN , –UN , 3b , 2b : 2UN = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –UN = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

En utilisant les propriétés 2, 1 on trouve les coordonnées des vecteurs Avec , d : Avec = 2un – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –un + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Par propriété 4 CD = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Par corollaire de la propriété 4 | Avec | =
=
.

Essai 3 . Déterminer les coordonnées vectorielles UN + b , Si UN = (–3; 4), b = = (5; –2):

Essai 4. Déterminer les coordonnées vectorielles UN – b , Si UN = (2; –1), b = = (3; –4):

Essai 5 . Trouver les coordonnées du vecteur 3 UN , Si UN = (2; –1):

Essai 6 . Trouver le produit scalaire un , b vecteurs UN = (1; –4), b = (–2; 3):

Essai 7 . Trouver la longueur du vecteur UN = (–12; 5):

3)
;

Réponses aux tâches de test

1.3. Éléments de géométrie analytique dans l'espace

Un système de coordonnées rectangulaires dans l'espace se compose de trois axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires, se coupant au même point (origine 0) et ayant une direction, ainsi qu'une unité d'échelle le long de chaque axe (Figure 17).

Figure 17

Position des points M sur l'avion est déterminé uniquement par trois nombres - ses coordonnées M(X T ; à T ; z T), Où X T– en abscisse, à T– ordonnée, z T– postuler.

Chacun d'eux donne la distance du point Mà l'un des plans de coordonnées avec un signe qui prend en compte de quel côté de ce plan se situe le point : s'il est pris dans le sens de la direction positive ou négative du troisième axe.

Trois plans de coordonnées divisent l'espace en 8 parties (octants).

Distance entre deux points UN(X UN ; à UN ; z UN) Et B(X DANS ; à DANS ; z DANS) est calculé par la formule

Que des points soient donnés UN(X 1 ; à 1 ; z 1) et B(X 2 ; à 2 ; z 2). Puis les coordonnées du point AVEC(X; à; z), divisant le segment
en relation, sont exprimés par les formules suivantes :

Exemple 1 . Trouver la distance UN B, Si UN(3 ; 2 ; –10) et DANS(–1; 4; –5).

Solution

Distance UN B calculé par la formule

L'ensemble de tous les points dont les coordonnées satisfont une équation à trois variables constitue une certaine surface.

L'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à deux équations constitue une certaine ligne - la ligne d'intersection des deux surfaces correspondantes.

Toute équation du premier degré représente un plan, et inversement tout plan peut être représenté par des équations du premier degré.

Possibilités UN, B, C sont les coordonnées du vecteur normal perpendiculaire au plan, c'est-à-dire n = (UN; B; C).

Equation du plan en segments coupés sur les axes : un– le long de l'axe BŒUF, b– le long de l'axe OY, Avec– le long de l'axe once:

Soit deux avions UN 1 X + B 1 oui + C 1 z + D 1 = 0, UN 2 X + B 2 oui + C 2 z + + D 2 = 0.

Condition pour les plans parallèles :
.

Condition pour que les plans soient perpendiculaires :

L'angle entre les plans est déterminé par la formule suivante :

.

Laisse l'avion passer par les points M 1 (X 1 ; oui 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; oui 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; oui 3 ; z 3).

Son équation ressemble alors à :

Distance du point M 0 (X 0 ; oui 0 ; z 0) planer Hache + Par + CZ + D= 0 est trouvé par la formule

.

Essai 1. Avion
passe par le point :

1) UN(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Essai 2 . Équation plane OXY suivant:

1) z = 0;

2) X = 0;

3) oui = 0.

Exemple 2 . Écrire l'équation d'un plan parallèle au plan OXY et passant par le point (2; –5; 3).

Solution

Puisque le plan est parallèle au plan OXY, son équation a la forme Cz + D= 0 (vecteur  = (0; 0; AVEC)  OHOui).

Puisque le plan passe par le point (2 ; –5 ; 3), alors C  3 + D= 0 ou autre D = –3C.

Ainsi, CZ – 3C= 0. Depuis AVEC≠ 0, alors z – 3 = 0.

Répondre: z – 3 = 0.

Essai 3 . L'équation du plan passant par l'origine et perpendiculaire au vecteur (3 ; –1 ; –4) a la forme :

1)

2)

3)

4)

Essai 4 . La taille du segment coupé le long de l'axe OY avion
est égal à:

Exemple 3 . Écrivez l'équation du plan :

1. Plan parallèle
et en passant par le point UN(2; 0; –1).

2. Perpendiculaire au plan
et en passant par le point B(0; 2; 0).

Solution

Nous chercherons des équations planes sous la forme UN 1 X + B 1 oui + C 1 z + D 1 = 0.

1. Puisque les plans sont parallèles, alors
D'ici UN= 3t,B= –t,C= 2t, Où tR.. Laisser t= 1. Alors UN = 3, B = –1, C= 2. Par conséquent, l’équation prend la forme
Coordonnées des points UN, appartenant au plan, transformez l’équation en une véritable égalité. Donc 32 – 10 + 2(–1) + D= 0. De D= 4.

Répondre:

2. Puisque les plans sont perpendiculaires, alors 3  UN – 1  B + 2  C = 0.

Puisqu'il y a trois variables, mais une équation, deux variables prennent en même temps des valeurs arbitraires qui ne sont pas égales à zéro. Laisser UN = 1, B= 3. Alors C= 0. L'équation devient
D= –6.

Répondre:

Essai 5 . Spécifier un plan parallèle au plan X – 2oui + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Essai 6 . Spécifiez un plan perpendiculaire au plan X– 2oui+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Essai 7 . Cosinus de l'angle entre les plans 3 X + oui – z– 1 = 0 et X – 4oui – – 5z+ 3 = 0 est déterminé par la formule :

1)

2)

3)

Essai 8 . Distance du point (3 ; 1 ; –1) au plan 3 X – oui + 5z+ 1 = 0 est déterminé par la formule :

1)

2)

2. Simplifions l'équation en multipliant les deux côtés par 7. Nous obtenons 7y 2 -9y+2=0. D'après le théorème de Vieta, la somme des racines de l'équation quadratique ax 2 +bx+c=0 est égale à –b/a. Moyens:

3. Un total de 880 passagers. Parmi eux, 35 % sont des hommes, soit 100 % de femmes et d'enfants -35 % = 65 %. Trouvons 65 % de 880. Pour trouver le pourcentage d'un nombre, vous devez transformer le pourcentage en fraction décimale et multiplier par le nombre donné.

65%=0,65 ; multipliez 880 par 0,65, nous obtenons 572. Il y a tant de femmes et d'enfants, et 75 % d'entre eux sont des femmes, les 25 % restants sur 572 sont des enfants. Encore une fois, nous retrouvons le pourcentage du nombre. 25% de 572. Convertissez 25% en fraction décimale (ce sera 0,25) et multipliez par 572. Calculez : 572·0,25= 143. Ce sont des enfants. Femmes : 572-143= 429 .

Et bref ?

25% fait un quart de 100%, donc on raisonne ainsi : divisez 572 par 4, on obtient 143 (diviser par 4 est plus facile que de multiplier par 0,25) - ce sont des enfants, et 75 % des femmes sont les trois quarts, donc on multiplie 143 par 3 et on obtient 429.

4. D'après la condition, on compose l'inégalité :

11x+3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:

6x<-9; делим обе части неравенства на 6:

X<-1,5. Ответ: E).

5. Nous écrivons 990° sous la forme 2·360°+270°. Alors cos 990°=cos(2·360°+270°)=cos 270°= 0.

6. Appliquons la formule pour résoudre l'équation la plus simple tgt=a.

t=arctg a +πn, nєZ. Nous avons t=4x.

7. On a : le premier terme d'une progression arithmétique un 1 =25. Différence de progression arithmétique d=une 2 -une 1 =30-25 =5. Appliquons la formule pour trouver la somme du premier n termes d'une progression arithmétique et y substituons nos valeurs a 1 =25, d=5 et n=22, puisqu'il faut trouver la somme 22 membres de la progression.

8. Graphique de cette fonction quadratique y=x 2 -x-6 sert de parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et le sommet de la parabole est au point O'(m;n). C'est le point le plus bas du graphique, donc sa valeur la plus basse n la fonction aura à x=m=-b/(2a)=1/2. Réponse : D).

9. Un triangle isocèle a des côtés égaux. Notons la base par X. Alors chaque côté sera égal (x+3). Sachant que le périmètre d'un triangle est 15,6 cm, créons une équation :

x+(x+3)+(x+3)=15,6;

3x=9,6 → x=3,2- c'est la base du triangle, et chaque côté sera égal à 3,2+3= 6,2 . Réponse : les côtés d'un triangle sont égaux 6,2 cm ; 6,2 cm et 3,2 cm.

10. Tout est clair avec la première inégalité du système. Nous résolvons la deuxième inégalité en utilisant la méthode des intervalles. Pour ce faire, trouvons les racines du trinôme quadratique 4x2 +5x-6 et le décomposer en facteurs linéaires.

11. A droite, par l'identité logarithmique principale on obtient 7 . Omettre les fondements des pouvoirs (7) sur les côtés gauche et droit de l’équation. Restes: x2 =1, d'ici x=±1. Réponse : C).

12. Mettons au carré les deux côtés de l’équation. En appliquant les formules du logarithme de la puissance et du logarithme du produit, on obtient une équation quadratique pour le logarithme du nombre 5 basé sur X. Introduisons une variable à, résolvez l'équation quadratique de à et retour à la variable X. Trouvons les valeurs X et analyser les réponses.

13. Tâche : résoudre le système. Nous ne déciderons pas, nous vérifierons. Remplaçons les réponses proposées dans la deuxième équation du système, car elle est plus simple : x+y=35. De toutes les paires de solutions proposées au système, seule la réponse convient D).

8+27=35 Et 27+8=35 . Il ne sert à rien de substituer ces paires dans la première équation du système, mais si une ou plusieurs des réponses devaient correspondre à la deuxième équation, il faudrait alors la substituer dans la première égalité du système.

14. Le domaine d'une fonction est l'ensemble des valeurs d'argument X, pour lequel le côté droit de l’égalité a du sens. Puisque la racine carrée arithmétique ne peut être extraite que d’un nombre non négatif, la condition suivante doit être remplie : 6+2х≥0, il s'ensuit que 2x≥-6 ou x≥-3. Puisque le dénominateur de la fraction doit être différent de zéro, on écrit : x≠5. Il s'avère que vous pouvez prendre tous les nombres supérieurs ou égaux à -3 , mais pas égal 5 . Réponse : [-3 ; 5)U(5; +∞).

15. Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment donné, vous devez trouver les valeurs de cette fonction aux extrémités du segment et aux points critiques qui appartiennent à ce segment, puis sélectionner la plus grande. et la plus petite de toutes les valeurs de fonction obtenues.

16 . Considérons un cercle inscrit dans un hexagone régulier et rappelez-vous comment le rayon du cercle inscrit est exprimé r par le côté d'un hexagone régulier UN. Trouvons le rayon, puis le côté et le périmètre de l'hexagone.

17 . Puisque tous les bords latéraux de la pyramide sont inclinés par rapport à la base du même angle, le sommet de la pyramide est projeté au point À PROPOS- l'intersection des diagonales du rectangle situé à la base de la pyramide, car le point À PROPOS doit être équidistant de tous les sommets de la base de la pyramide.

Trouvez la diagonale AC du rectangle ABCD. AC2 =AD2 +CD2;

CA 2 =32 2 +24 2 =1024+576=1600 → CA=40 cm. Alors OS=20cm. Puisque Δ MOS est rectangulaire et isocèle (/OSM = 45°), alors MO = OS = 20 cm. Appliquons la formule du volume d'une pyramide en substituant les valeurs nécessaires.

18. Chaque section d'une balle par un plan est un cercle.

Soit un cercle de centre au point O 1 et de rayon OA perpendiculaire au rayon de la balle OB et passant par son milieu O 1. Puis dans un triangle rectangle AO 1 O, l'hypoténuse OA = 10 cm (rayon de la boule), la jambe OO 1 = 5 cm. D'après le théorème de Pythagore O 1 A 2 = OA 2 -OO 1 2. D'où O 1 A 2 =10 2 -5 2 =100-25=75. L'aire de la section transversale est l'aire de notre cercle, on la trouve à l'aide de la formule S=πr 2 =π∙O 1 A 2 =75π cm 2.

19. Laisser un 1 Et un 2– les coordonnées requises du vecteur. Puisque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, leur produit scalaire est égal à zéro. Écrivons : 2a 1 +7a 2 =0. Exprimons un 1 par un 2. Alors a 1 = -3,5a 2. Puisque les longueurs des vecteurs sont égales, on a l'égalité : une 1 2 +une 2 2 =2 2 +7 2. Remplaçons la valeur a 1 dans cette égalité. On obtient : (3,5a 2) 2 +a 2 2 =4+49 ; simplifier : 12,25a 2 2 +a 2 2 =53 ;

13,25a 2 2 =53, donc a 2 2 =53:13,25=4. Cela donne deux valeurs et 2 = ±2. Si un 2 =-2, alors un 1 =-3,5∙(-2)=7. Si un 2 =2, alors un 1 =-7. Coordonnées requises (7; -2) ou (-7; 2) . Répondre: DANS).

20. Simplifions le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, ouvrez les parenthèses et ramenez les fractions sous le signe racine à un dénominateur commun.

21. Réduisons l'expression entre parenthèses à un dénominateur commun. On remplace la division par la multiplication par la fraction inverse du diviseur. Nous appliquons les formules du carré de la différence de deux expressions et de la différence des carrés de deux expressions. Réduisons la fraction.

22. Pour résoudre ce système d’inégalités, vous devez résoudre chaque inégalité séparément et trouver une solution commune aux deux inégalités. Décidons 1er inégalité. Déplaçons tous les termes vers la gauche et retirons le facteur commun des parenthèses.

x 2 ∙4 x -4 x +1 >0 ;

x 2 ∙4 x -4 x ∙4>0 ;

4x (x2-4)>0. Puisque la fonction exponentielle pour tout exposant ne prend que des valeurs positives, alors 4 x >0, donc x 2 -4>0.

(x-2)(x+2)>0.

Décidons 2ème inégalité.

Nous représentons les côtés gauche et droit comme des puissances de base 2.

2 - x ≥2 3 . Puisqu'une fonction exponentielle de base supérieure à un augmente de R., on omet les bases, en conservant le signe d'inégalité.

X≥3 → x≤-3.

Nous trouvons une solution générale.

Réponse : (-∞ ; -3].

23. En utilisant la formule de réduction, le cosinus est converti en sinus 3x. Après avoir apporté des termes similaires et divisé les deux côtés de l’inégalité par 2 , on obtient l'inégalité la plus simple de la forme : péché t > a. La solution à cette inégalité se trouve par la formule :

arc sinus a+2πn Nous avons t=3x.