Que signifie un nombre irrationnel ? Nombres rationnels et irrationnels : description et en quoi diffèrent-ils ? Nombres irrationnels, exemples

Nous avons précédemment montré que $1\frac25$ est proche de $\sqrt2$. S'il était exactement égal à $\sqrt2$, . Ensuite, le rapport est $\frac(1\frac25)(1)$, qui peut être transformé en un rapport entier $\frac75$ en multipliant le haut et le bas de la fraction par 5, et serait la valeur souhaitée.

Mais malheureusement, $1\frac25$ n'est pas la valeur exacte de $\sqrt2$. Une réponse plus précise, $1\frac(41)(100)$, nous donne la relation $\frac(141)(100)$. Nous obtenons une précision encore plus grande lorsque nous assimilons $\sqrt2$ à $1\frac(207)(500)$. Dans ce cas, le rapport en entiers sera égal à $\frac(707)(500)$. Mais $1\frac(207)(500)$ n'est pas la valeur exacte de la racine carrée de 2. Les mathématiciens grecs ont consacré beaucoup de temps et d'efforts pour calculer la valeur exacte de $\sqrt2$, mais ils n'ont jamais réussi. Ils n'étaient pas en mesure de représenter le rapport $\frac(\sqrt2)(1)$ sous forme de rapport d'entiers.

Enfin, le grand mathématicien grec Euclide a prouvé que même si la précision des calculs augmente, il est impossible d'obtenir la valeur exacte de $\sqrt2$. Il n'y a pas de fraction qui, une fois au carré, donnera le résultat 2. On dit que Pythagore a été le premier à arriver à cette conclusion, mais ce fait inexplicable a tellement étonné le scientifique qu'il s'est juré et a prêté serment à ses étudiants de garder ce secret de découverte. Cependant, cette information peut ne pas être vraie.

Mais si le nombre $\frac(\sqrt2)(1)$ ne peut pas être représenté comme un rapport d'entiers, alors aucun nombre contenant $\sqrt2$, par exemple $\frac(\sqrt2)(2)$ ou $\frac (4)(\sqrt2)$ ne peut pas non plus être représenté comme un rapport d'entiers, puisque toutes ces fractions peuvent être converties en $\frac(\sqrt2)(1)$ multiplié par un certain nombre. Donc $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Ou $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, qui peut être converti en multipliant le haut et le bas par $\sqrt2$ pour obtenir $\frac(4) (\sqrt2)$. (Nous devons nous rappeler que quel que soit le nombre $\sqrt2$, si nous le multiplions par $\sqrt2$, nous obtenons 2.)

Puisque le nombre $\sqrt2$ ne peut pas être représenté comme un rapport d'entiers, on l'appelle nombre irrationnel. D’un autre côté, tous les nombres pouvant être représentés sous forme de rapport d’entiers sont appelés rationnel.

Tous les nombres entiers et fractionnaires, positifs et négatifs, sont rationnels.

Il s’avère que la plupart des racines carrées sont des nombres irrationnels. Seuls les nombres de la série des nombres carrés ont des racines carrées rationnelles. Ces nombres sont aussi appelés carrés parfaits. Les nombres rationnels sont aussi des fractions constituées de ces carrés parfaits. Par exemple, $\sqrt(1\frac79)$ est un nombre rationnel puisque $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ou $1\frac13$ (4 est la racine la racine carrée de 16 et 3 est la racine carrée de 9).

Définition d'un nombre irrationnel

Les nombres irrationnels sont les nombres qui, en notation décimale, représentent des fractions décimales non périodiques infinies.

Ainsi, par exemple, les nombres obtenus en prenant la racine carrée d’un nombre naturel sont irrationnels et ne sont pas des carrés de nombres naturels. Mais tous les nombres irrationnels ne sont pas obtenus en prenant des racines carrées, car le nombre pi obtenu par division est également irrationnel, et il est peu probable que vous l'obteniez en essayant d'extraire la racine carrée d'un nombre naturel.

Propriétés des nombres irrationnels

Contrairement aux nombres écrits sous forme de décimales infinies, seuls les nombres irrationnels sont écrits sous forme de décimales infinies non périodiques.
La somme de deux nombres irrationnels non négatifs peut devenir un nombre rationnel.
Les nombres irrationnels définissent les coupes de Dedekind dans l'ensemble des nombres rationnels, dans la classe inférieure dont il n'y a pas de plus grand nombre, et dans la classe supérieure il n'y en a pas de plus petit.
Tout nombre transcendantal réel est irrationnel.
Tous les nombres irrationnels sont soit algébriques, soit transcendantaux.
L'ensemble des nombres irrationnels sur une ligne est densément localisé, et entre deux de ses nombres, il y a certainement un nombre irrationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels est infini, indénombrable et est un ensemble de 2ème catégorie.
Lorsque vous effectuez une opération arithmétique sur des nombres rationnels, à l'exception de la division par 0, le résultat sera un nombre rationnel.
Lorsqu’on ajoute un nombre rationnel à un nombre irrationnel, le résultat est toujours un nombre irrationnel.
En additionnant des nombres irrationnels, nous pouvons obtenir un nombre rationnel.
L’ensemble des nombres irrationnels n’est pas pair.

Les chiffres ne sont pas irrationnels

Parfois, il est assez difficile de répondre à la question de savoir si un nombre est irrationnel, en particulier dans les cas où le nombre se présente sous la forme d'une fraction décimale ou sous la forme d'une expression numérique, d'une racine ou d'un logarithme.

Il ne sera donc pas superflu de savoir quels nombres ne sont pas irrationnels. Si nous suivons la définition des nombres irrationnels, alors nous savons déjà que les nombres rationnels ne peuvent pas être irrationnels.

Les nombres irrationnels ne sont pas :

Premièrement, tous les nombres naturels ;
Deuxièmement, les nombres entiers ;
Troisièmement, les fractions ordinaires ;
Quatrièmement, divers nombres fractionnaires ;
Cinquièmement, ce sont des fractions décimales périodiques infinies.

En plus de tout ce qui précède, un nombre irrationnel ne peut pas être une combinaison de nombres rationnels effectuée par les signes d'opérations arithmétiques, telles que +, -, , :, puisque dans ce cas le résultat de deux nombres rationnels sera également un nombre rationnel.

Voyons maintenant quels nombres sont irrationnels :

Connaissez-vous l'existence d'un fan club où les fans de ce mystérieux phénomène mathématique recherchent de plus en plus d'informations sur Pi, essayant de percer son mystère ? Toute personne connaissant par cœur un certain nombre de nombres Pi après la virgule peut devenir membre de ce club ;

Saviez-vous qu'en Allemagne, sous la protection de l'UNESCO, se trouve le palais Castadel Monte, grâce aux proportions duquel on peut calculer Pi. Le roi Frédéric II a dédié tout le palais à ce numéro.

Il s’avère qu’ils ont essayé d’utiliser le nombre Pi lors de la construction de la Tour de Babel. Mais malheureusement, cela a conduit à l’effondrement du projet, car à cette époque le calcul exact de la valeur de Pi n’était pas suffisamment étudié.

La chanteuse Kate Bush a enregistré dans son nouveau disque une chanson intitulée «Pi», dans laquelle cent vingt-quatre numéros de la célèbre série de numéros 3, 141… ont été entendus.

Tous les nombres rationnels peuvent être représentés comme une fraction commune. Cela s'applique aux nombres entiers (par exemple, 12, –6, 0), aux fractions décimales finies (par exemple, 0,5 ; –3,8921) et aux fractions décimales périodiques infinies (par exemple, 0,11(23); –3, (87). )).

Cependant nombres décimaux non périodiques infinis ne peut pas être représenté comme des fractions ordinaires. C'est ce qu'ils sont nombres irrationnels(c'est-à-dire irrationnel). Un exemple d'un tel nombre est le nombre π, qui est approximativement égal à 3,14. Cependant, il est impossible de déterminer exactement à quoi il correspond, car après le chiffre 4, il existe une série infinie d'autres nombres dans lesquels des périodes répétitives ne peuvent être distinguées. De plus, bien que le nombre π ne puisse être exprimé avec précision, il a une signification géométrique spécifique. Le nombre π est le rapport entre la longueur d'un cercle et la longueur de son diamètre. Ainsi, les nombres irrationnels existent réellement dans la nature, tout comme les nombres rationnels.

Un autre exemple de nombres irrationnels est celui des racines carrées de nombres positifs. Extraire les racines de certains nombres donne des valeurs rationnelles, d'autres - irrationnelles. Par exemple, √4 = 2, c'est-à-dire que la racine de 4 est un nombre rationnel. Mais √2, √5, √7 et bien d’autres donnent des nombres irrationnels, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent être extraits que par approximation, en arrondissant à une certaine décimale. Dans ce cas, la fraction devient non périodique. Autrement dit, il est impossible de dire avec exactitude et certitude quelle est la racine de ces chiffres.

Donc √5 est un nombre compris entre les nombres 2 et 3, puisque √4 = 2, et √9 = 3. On peut aussi conclure que √5 est plus proche de 2 que de 3, puisque √4 est plus proche de √5 que √9 à √5. En effet, √5 ≈ 2,23 ou √5 ≈ 2,24.

Des nombres irrationnels sont également obtenus dans d'autres calculs (et pas seulement lors de l'extraction de racines) et peuvent être négatifs.

En ce qui concerne les nombres irrationnels, on peut dire que quel que soit le segment unitaire que nous prenons pour mesurer la longueur exprimée par un tel nombre, nous ne pourrons pas la mesurer avec certitude.

Dans les opérations arithmétiques, les nombres irrationnels peuvent participer aux côtés des nombres rationnels. Dans le même temps, il existe un certain nombre de régularités. Par exemple, si seuls des nombres rationnels sont impliqués dans une opération arithmétique, alors le résultat est toujours un nombre rationnel. Si seuls les irrationnels participent à l'opération, il est alors impossible de dire sans ambiguïté si le résultat sera un nombre rationnel ou irrationnel.

Par exemple, si vous multipliez deux nombres irrationnels √2 * √2, vous obtenez 2 - c'est un nombre rationnel. D’un autre côté, √2 * √3 = √6 est un nombre irrationnel.

Si une opération arithmétique implique des nombres rationnels et irrationnels, alors le résultat sera irrationnel. Par exemple, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Pourquoi √17 – 4 est-il un nombre irrationnel ? Imaginons que nous obtenions un nombre rationnel x. Alors √17 = x + 4. Mais x + 4 est un nombre rationnel, car nous avons supposé que x est rationnel. Le nombre 4 est également rationnel, donc x + 4 est rationnel. Cependant, un nombre rationnel ne peut pas être égal au nombre irrationnel √17. Par conséquent, l’hypothèse selon laquelle √17 – 4 donne un résultat rationnel est incorrecte. Le résultat d’une opération arithmétique sera irrationnel.

Il existe cependant une exception à cette règle. Si l’on multiplie un nombre irrationnel par 0, on obtient le nombre rationnel 0.

Les mathématiciens anciens connaissaient déjà un segment de longueur unité : ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, ce qui équivaut à l'irrationalité du nombre.

Les irrationnels sont :

Exemples de preuves d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire : elle est rationnelle, c'est-à-dire qu'elle est représentée sous la forme d'une fraction irréductible, où et sont des nombres entiers. Mettons au carré l'égalité supposée :

Il s'ensuit que même est pair et . Que ce soit là où se trouve le tout. Alors

Par conséquent, même signifie pair et . Nous avons trouvé cela et sommes pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Cela signifie que l’hypothèse initiale était incorrecte et qu’il s’agit d’un nombre irrationnel.

Logarithme binaire du nombre 3

Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers. Depuis , et peut être choisi positif. Alors

Mais pair et impair. Nous obtenons une contradiction.

e

Histoire

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (environ 750 avant JC - environ 690 avant JC) a compris que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne pouvaient pas être exprimées explicitement. .

La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 avant JC), un pythagoricien qui a trouvé cette preuve en étudiant la longueur des côtés du pentagramme. À l’époque des Pythagoriciens, on croyait qu’il existait une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui pénétrait dans n’importe quel segment un nombre entier de fois. Cependant, Hippasus a soutenu qu'il n'existe pas d'unité de longueur unique, car l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci :

• Le rapport entre la longueur de l’hypoténuse et la longueur de la jambe d’un triangle rectangle isocèle peut être exprimé comme suit : un:b, Où un Et b choisi le plus petit possible.
• D'après le théorème de Pythagore : un² = 2 b².
• Parce que un- même, un doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
• Parce que le un:b irréductible bça doit être bizarre.
• Parce que un même, nous désignons un = 2oui.
• Alors un² = 4 oui² = 2 b².
• b² = 2 oui², donc b- même à ce moment là b même.
• Cependant, il a été prouvé que b impair. Contradiction.

Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport de quantités incommensurables alogos(indescriptible), mais selon les légendes, ils n'ont pas rendu hommage à Hippasus. Il existe une légende selon laquelle Hippasus a fait la découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres Pythagoriciens « pour avoir créé un élément de l'univers qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et à leurs rapports ». La découverte d'Hippase a posé un sérieux problème aux mathématiques pythagoriciennes, détruisant l'hypothèse sous-jacente selon laquelle les nombres et les objets géométriques ne faisaient qu'un et étaient inséparables.

voir également

Remarques

Exemple:
\(4\) est un nombre rationnel, car il peut s'écrire \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) est également rationnel, car il peut s'écrire sous la forme \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0.333(3)...\) - et c'est un nombre rationnel : peut être représenté par \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) est rationnel, car il peut être représenté par \(\frac(1)(2)\) . En effet, on peut réaliser une chaîne de transformations \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être écrit sous forme de fraction avec un numérateur et un dénominateur entiers.

C'est impossible parce que c'est sans fin fractions, et même non périodiques. Par conséquent, il n’existe pas de nombres entiers qui, divisés les uns par les autres, donneraient un nombre irrationnel.

Exemple:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) est un nombre irrationnel ;
\(π≈3.1415926… \) est un nombre irrationnel ;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) est un nombre irrationnel.

Exemple (Mission de l'OGE). La signification de quelle expression est un nombre rationnel ?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Solution:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – la racine de \(14\) ne peut pas être prise, ce qui signifie qu'il est également impossible de représenter un nombre sous forme de fraction avec des entiers, donc le nombre est irrationnel.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – il n'y a plus de racines, le nombre peut être facilement représenté sous forme de fraction, par exemple \(\frac(-5)(1)\), ce qui signifie qu'il est rationnel.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – la racine ne peut pas être extraite – le nombre est irrationnel.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) est également irrationnel.