Formes quadratiques Rapping

Considérez la manière la plus simple et la plus courante dans la pratique de la méthode d'apporter une forme quadratique aux espèces canoniques, appelées par lagrange. Il est basé sur la libération d'un carré complet sur une forme quadratique.

Théorème 10.1.(Théorème de Lagrange). Amour Forme quadratique (10.1):

en utilisant une transformation linéaire non singulière (10.4), vous pouvez entraîner une forme canonique (10,6):

□ Théorèse de la preuve que nous effectuons une méthode constructive utilisant la méthode de la Lagrange d'attribution de carrés complets. La tâche consiste à trouver une matrice non singulière qui, à la suite d'une transformation linéaire (10,4), une forme quadratique (10,6) des espèces canoniques est obtenue. Cette matrice sera obtenue progressivement en tant que produit d'un nombre fini de matrices de type spéciales.

Paragraphe 1 (préparatoire).

1.1. Nous mettons en évidence parmi les variables telles, qui sont incluses dans la forme quadratique sur la place et dans le premier degré en même temps (appelons-le variable de pointe). Allons-nous au paragraphe 2.

1.2. S'il n'y a pas de variables de pointe sur une forme quadratique (pour tous :), sélectionnez une paire de variables dont le produit est sous une forme avec un coefficient non nul et se tourne vers le paragraphe 3.

1.3. S'il n'y a pas de travaux sur une forme quadratique, cette forme quadratique est déjà présentée sous forme canonique (10.6). La preuve du théorème est terminée.

Paragraphe 2 (isolation complète carré).

2.1. Sur la variable principale, nous mettons en valeur la place complète. Sans la restriction de la généralité, supposons que la variable principale soit la variable. Travaux de regroupement contenant, obtenir

Avoir un carré complet dans une variable dans, nous obtenons

Ainsi, à la suite de l'attribution d'un carré complet avec une variable, nous obtenons la somme du carré de la forme linéaire.

qui comprend une variable de pointe et une forme quadratique à partir de variables dans lesquelles la variable la plus forte n'est plus incluse. Nous remplacerons les variables (insérer de nouvelles variables)

nous obtenons une matrice

() transformation linéaire non singulière, à la suite de laquelle la forme quadratique (10.1) prendra la forme suivante

Avec une forme quadratique, acceptée ainsi que au paragraphe 1.

2.1. Si la variable principale est une variable, vous pouvez alors vous inscrire de deux manières: allouer un carré complet avec cette variable ou effectuer renommée (renuméroter) Variables:

avec une matrice de conversion non sociable:

Paragraphe 3 (création d'une variable de premier plan).La paire de variables sélectionnées sera remplacée pour la quantité et la différence de deux nouvelles variables, et les anciennes variables restantes seront remplacées par les nouvelles variables correspondantes. Si, par exemple, au paragraphe 1, le terme a été mis en évidence

ensuite, le changement de variables correspondant a la forme

et sous une forme quadratique (10.1), une variable de pointe sera obtenue.

Par exemple, en cas de remplacement de variables:

la matrice de cette transformation linéaire non singulière a la forme

À la suite de l'algorithme (utilisation séquentielle des paragraphes 1, 2, 3), la forme quadratique (10.1) sera donnée à la forme canonique (10,6).

Notez que, à la suite de transformations supérieures de la forme quadratique (affectation d'un carré complet, de renommer et de créer une variable de pointe), nous avons utilisé des matrices élémentaires non singulières de trois types (elles sont des matrices de transition de la base à la base). La matrice souhaitée d'une transformation linéaire non singulière (10,4), dans laquelle la forme (10.1) a une forme canonique (10,6) est obtenue au moyen d'un nombre fini de matrices élémentaires non singulières de trois types. ■.

Exemple 10.2. Créer une forme quadratique

À la forme canonique de Lagrange. Spécifiez la transformation linéaire non singulière correspondante. Effectuer le chèque.

Décision. Sélectionnez la variable principale (coefficient). Regrouper les termes contenant et soulignant un carré complet dessus, nous obtenons

où est indiqué

Nous remplacerons les variables (insérer de nouvelles variables)

Exprimer de vieilles variables à travers le nouveau:

nous obtenons une matrice

Calculez la matrice de transformation linéaire non singulière (10.4). Égalité donnée

nous obtenons que la matrice est

Vérifions les calculs effectués. Les matrices de la forme quadratique initiale et de la forme canonique sont visualisées

Soyons convaincus de la justice de l'égalité (10.5).

Apporter une forme quadratique à la forme canonique.

Type canonique et normal de forme quadratique.

Transformations linéaires des variables.

Le concept de forme quadratique.

Formes quadratiques.

Définition: La forme quadratique des variables s'appelle un polynôme homogène d'un second degré par rapport à ces variables.

Les variables peuvent être considérées comme des coordonnées affines du point d'espace arithmétique A N ou des coordonnées du vecteur de l'espace N-dimensionnel V n. Nous indiquerons une forme quadratique des variables comme.

Exemple 1:

Si la forme quadratique a déjà effectué la création de tels membres, les coefficients sont indiqués et à () -. Donc, on croit que. La forme quadratique peut être écrite comme suit:

Exemple 2:

Système Matrix (1):

- appelé la matrice de forme quadratique.

Exemple: Les matrices de formes quadratiques de l'exemple 1 sont les suivantes:

Matrice de la forme quadratique de l'exemple 2:

Transformation linéaire des variables Appelez une telle transition du système de variables au système de variable, dans laquelle les anciennes variables sont exprimées par de nouvelles formes:

où les coefficients forment une matrice nondégénérée.

Si les variables sont considérées comme les coordonnées du vecteur dans l'espace euclidien par rapport à une certaine base, la transformation linéaire (2) peut être considérée comme une transition dans cet espace à une nouvelle base, par rapport au même vecteur des coordonnées. .

À l'avenir, nous examinerons des formes quadratiques uniquement avec des coefficients valides. Nous supposons que les variables ne prennent que des valeurs valides. Si dans une forme quadratique (1) variables soumises à une transformation linéaire (2), la forme quadratique de nouvelles variables. À l'avenir, nous montrerons, avec le bon choix de transformation (2), la forme quadratique (1) peut être mise à l'esprit contenant uniquement les carrés de nouvelles variables, c'est-à-dire . Ce type de forme quadratique est appelé canonique. La matrice de forme quadratique dans ce cas est la diagonale :.

Si tous les coefficients ne peuvent prendre qu'une des valeurs: -1,0,1 la vue correspondante est appelée normal.

Exemple: L'équation de la courbe centrale du second ordre par transition au nouveau système de coordonnées

vous pouvez mener à l'esprit: et la forme quadratique dans ce cas prendra la forme:

Lemma 1: Si la forme quadratique(1) Il ne contient pas les carrés des variables, puis en utilisant une conversion linéaire, elle peut être amenée dans une forme contenant une carrée au moins une variable.

Preuve: Par état, la forme quadratique ne contient que des membres avec les œuvres de variables. Supposons que les différentes valeurs de I et J, diffèrent de zéro, c'est-à-dire - L'un des membres inclus dans la forme quadratique. Si vous effectuez une transformation linéaire et que tous les autres ne peuvent pas être changés, c'est-à-dire (Le déterminant de cette transformation est différent de zéro), même deux membres avec des carrés de variables apparaîtront sous une forme quadratique :. Ces composants ne peuvent pas disparaître lors de la mise en place de ces membres, car Chacun des termes restants contient au moins une variable, excellente ou de ou à partir de.

Exemple:

Lemma 2: Si forme carrée (1) contient un croquis de la variable, par exemple, au moins une catégorie avec une variable , ensuite, en utilisant une transformation linéaire, F. peut être traduit en forme à partir de variables , avoir une vue: (2), où G - forme quadratique qui ne contient pas de variable .

Preuve: Nous soulignons sur une forme quadratique (1) la quantité de membres contenant: (3) ici par G 1 est indiquée par la somme de tous les composants qui ne contiennent pas.

Dénoter

(4), où à travers la somme de tous les termes ne contenant pas.

Nous divisons les deux parties (4) et subit l'égalité résultante de (3), après avoir apporté les goûts:

L'expression dans la partie droite ne contient pas de variable et est une forme quadratique à partir de variables. Notez cette expression par G, et le coefficient à travers, puis F sera égal à :. Si vous produisez une transformation linéaire: le déterminant dont le déterminant est différent de zéro, puis g sera une forme quadratique à partir de variables et que la forme quadratique f sera montrée à l'esprit (2). Le lemme est prouvé.

Théorème: Toute forme quadratique peut être donnée à la forme canonique en convertissant des variables.

Preuve: Nous effectuons une induction par le nombre de variables. La forme quadratique de la vue: qui est déjà canonique. Supposons que le théorème soit correct pour une forme quadratique à partir de variables N-1 et prouve qu'il est vrai pour une forme quadratique de n variables.

Si F ne contient pas de carrés de variables, alors dans le lemme 1, il peut être amené à une forme contenant un carré d'au moins une variable, dans le lemme 2, la forme quadratique résultante peut être représentée comme (2). Car La forme quadratique dépend des variables N-1, puis par une hypothèse inductive, elle peut être donnée à la forme canonique par la conversion linéaire de ces variables aux variables, si nous obtenons la formule de la conversion linéaire, qui conduit à la canonique de l'espèce de la forme quadratique contenue dans l'égalité (2). La composition de toutes les transformations considérées comme des variables est la transformation linéaire souhaitée menant aux espèces canoniques de la forme quadratique (1).

Si la forme quadratique (1) contient un carré de toute variable, il n'est pas nécessaire d'appliquer le lemme 1. Le résultat est appelé par lagrange.

D'une vue canonique, où, vous pouvez aller à une forme normale, où, si, et, si, par conversion:

Exemple: Conduire à la forme canonique de Lagrange par une forme quadratique:

Car La forme quadratique F contient déjà les carrés de certaines variables, puis le lemme 1 n'a pas besoin d'être appliqué.

Nous allouons des membres contenant:

3. Pour obtenir une transformation linéaire qui conduit directement le formulaire F sur la forme (4), nous trouverons d'abord la conversion, les transformations inverse (2) et (3).

Maintenant, avec l'aide de ces transformations, nous construirons leur composition:

Si nous remplacons les valeurs obtenues (5) dans (1), nous obtenons immédiatement la présentation de la forme quadratique sous la forme (4).

Du type canonique (4) par conversion

vous pouvez aller à la forme normale:

La transformation linéaire, qui conduit la forme quadratique (1) aux formules normales, est exprimée par des formules:

Bibliographie:

1. VOVODIN V.V. Algèbre linéaire. Saint-Pétersbourg: LAN, 2008, 416 p.

2. Beklemishev D.V. Cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire. M.: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3.Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. Partie II. Principes de base de l'algèbre: tutoriel pour les universités, -M. : Littérature physique et mathématique, 2000, 368 p.

Conférence №26 (semestre II)

Sujet: Loi de l'inertie. Formes définies positivement.

220400 Algèbre et géométrie Tolstikov A.V.

Conférences 16. Formes bilinéar et quadratique.

Planifier

1. forme bilinéaire et ses propriétés.

2. forme quadratique. La matrice de la forme quadratique. Coordonner la conversion.

3. Rapportez une forme quadratique à une forme canonique. Méthode de Lagrange.

4. La loi de l'inertie de formes quadratiques.

5. Rapportez une forme quadratique à la forme canonique par la méthode de valeurs propres.

6. Critère de la définition positive de Siliversto de la forme quadratique.

1. Cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire. M.: Science, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique. 1997.

3. VOVODIN V.V. Algèbre linéaire .. M.: Science 1980.

4. Collecte de tâches logicielles pour la THIP. Algèbre linéaire et bases de l'analyse mathématique. Ed. Efimova A.v., Demidovich B.P. M.: Science, 1981.

5. Butuzov v.f., Krutskaya N.c., Shishkin A.A. Algèbre linéaire dans les domaines et les tâches. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Forme bilinéaire et ses propriétés. Laisser V. - n.- Espace vectoriel dimensionnel sur le terrain P.

Définition 1.Forme bilinéaireDéfini par V, appelé un tel affichage g.: V 2 ® P.que chaque paire commandée ( x. , y. vecteurs x. , y. De mettre B. V. Numéro de conformité du champ P.désigné g.(x. , y. ), et linéaire pour chacune des variables X. , y. . Posséder des propriétés:

1) ("x. , y. , z. Î V.) G.(x. + y. , z. ) = g.(x. , z. ) + g.(y. , z. );

2) ("x. , y. Î V.) ("Un î P.) G.(UNE. x. , y. ) \u003d A. g.(x. , y. );

3) ("x. , y. , z. Î V.) G.(x. , y. + z. ) = g.(x. , y. ) + g.(x. , z. );

4) ("x. , y. Î V.) ("Un î P.) G.(x. , UNE. y. ) \u003d A. g.(x. , y. ).

Exemple 1.. Tout produit scalaire défini dans l'espace vectoriel V. C'est une forme bilinéaire.

2 . Une fonction h.(x. , y. ) = 2x. 1 Y. 1 - x. 2 Y. 2 + X. 2 y. 1, où x. = (x. 1 , X. 2), y. = (y. 1 , Y. 2) Î R 2, forme bilinéaire sur R 2 .

Définition 2.Laisser v. = (v. 1 , v. 2 ,…, v. N. V.La matrice de forme bilinéaireg.(x. , y. ) en ce qui concerne de basev. appelé la matrice B.=(b jj.) N. ´ N.dont les éléments sont calculés par la formule b jj. = g.(v. JE., v. J.):

Exemple 3.. Matrice de forme bilinéaire h.(x. , y. ) (voir exemple 2) par rapport à la base e. 1 = (1,0), e. 2 \u003d (0,1) est égal.

Théorème 1.. LaisserX, Y - Colonnes de coordonnées, respectivement, vecteurs X. , y. dans la basev, b - matrice de forme bilinéaireg.(x. , y. ) en ce qui concerne de basev.. Alors la forme bilinéaire peut être écrite comme

g.(x. , y. )=X t par.. (1)

Preuve. Selon les propriétés de la forme bilinéaire, nous obtenons

Exemple 3.. Forme bilinéaire h.(x. , y. ) (voir exemple 2) peut être écrit comme h.(x. , y. )=.

Théorème 2.. Laisser v. = (v. 1 , v. 2 ,…, v. N.), u. = (u. 1 , u. 2 ,…, u. N.) - deux bases d'espace vectoriel V, matrice de transition de basev pour baseru. Laisser B.= (b jj.) N. ´ N. et AVEC=(avec ij.) N. ´ N. - matrices de forme bilinéaireg.(x. , y. ) en conséquence, par rapport aux basesv i.u. Puis

AVEC= T t bt.(2)

Preuve. Par définition de la matrice de transition et de la matrice de forme bilinéaire, nous trouvons:



Définition 2.Forme bilinéaire g.(x. , y. ) Appelé symétrique, si un g.(x. , y. ) = g.(y. , x. ) Pour toute x. , y. Î V.

Théorème 3.. Forme bilinéaireg.(x. , y. )- symétrique alors et seulement lorsque la matrice de forme bilinéaire par rapport à une base est symétrique.

Preuve.Laisser v. = (v. 1 , v. 2 ,…, v. N.) - base d'espace vectoriel V, B.= (b jj.) N. ´ N. - matrices de forme bilinéaire g.(x. , y. ) En ce qui concerne de base v.Laissez la forme bilinéaire g.(x. , y. ) - symétrique. Puis par définition 2 pour tout j. = 1, 2,…, n. avoir b jj. = g.(v. JE., v. J.) = g.(v. J., v. JE.) = b ji.. Puis la matrice B. - symétrique.

Retour, laissez la matrice B. - symétrique. Puis B T.= B. et pour tous les vecteurs x. = x. 1 v. 1 + …+ x N. v. N. = vx Y. = y. 1 v. 1 + y. 2 v. 2 +…+ y n. v. N. = vy Î V. Selon la formule (1), nous obtenons (nous considérons que le nombre est la matrice d'environ 1, et ne change pas pendant la transposition)

g.(x. , y. ) = G.(x. , y. ) T. = (X t par.) T. = Y t b t x = g.(y. , x. ).

2. forme quadratique. La matrice de la forme quadratique. Coordonner la conversion.

Définition 1.Forme quadratique Défini par V, appelé affichage f.: V ®. P.qui pour tous les vecteurs x. de V. Déterminé par l'égalité f.(x. ) = g.(x. , x. ), où g.(x. , y. ) - forme bilinéaire symétrique déterminée sur V. .

Propriété 1.Sur une forme quadratique donnée F.(x. ) La forme bilinéaire est définitivement par la formule

g.(x. , y. ) = 1/2(f.(x. + y. ) - f.(x. )- F.(y. )). (1)

Preuve.Pour tous les vecteurs x. , y. Î V. Nous obtenons selon les propriétés de la forme bilinéaire

f.(x. + y. ) = g.(x. + y. , x. + y. ) = g.(x. , x. + y. ) + g.(y. , x. + y. ) = g.(x. , x. ) + g.(x. , y. ) + g.(y. , x. ) + g.(y. , y. ) = f.(x. ) + 2g.(x. , y. ) + f.(y. ).

D'où la formule (1).

Définition 2.Matrice de forme quadratiquef.(x. ) en ce qui concerne de basev. = (v. 1 , v. 2 ,…, v. N.) appelé la matrice de la forme bilinéaire symétrique correspondante g.(x. , y. ) En ce qui concerne de base v..

Théorème 1.. LaisserX.= (x. 1 , X. 2 ,…, x N.) T.- Coordonner le vecteur de colonne X. dans la basev, b - matrice quadratiquef.(x. ) en ce qui concerne de basev.. Puis la forme quadratiquef.(x. )

introduction

Équation de vue canonique de forme quadratique

Initialement, la théorie des formes quadratiques a été utilisée pour étudier les courbes et les surfaces définies par les équations de second ordre contenant deux ou trois variables. Plus tard, cette théorie a trouvé d'autres applications. En particulier, dans la modélisation mathématique des processus économiques, les fonctions cibles peuvent contenir des termes quadratiques. De nombreuses applications de formes quadratiques ont exigé la construction d'une théorie commune, lorsque le nombre de variables est à qui que ce soit, et les coefficients de la forme quadratique ne sont pas toujours des nombres réels.

La théorie des formes quadratiques a d'abord été développée par le mathématicien français Lagrange, qui détient de nombreuses idées dans cette théorie, en particulier, il introduisit un concept important d'une forme donnée, avec l'aide dont ils ont prouvé le membre du nombre de quadratiques binaires formes du discriminant spécifié. Ensuite, cette théorie a été considérablement élargie par Gauss, qui a introduit de nombreux nouveaux concepts, sur la base desquels il a réussi à obtenir des preuves de la théorie difficile et profonde de la théorie des chiffres qui ont échappé à ses prédécesseurs dans ce domaine.

L'objectif du travail est d'étudier des espèces de formes quadratiques et de méthodes pour apporter des formes quadratiques à une forme canonique.

Dans cet article, les tâches suivantes sont livrées: choisir la littérature nécessaire, envisager les définitions et les théorèmes principaux, résoudre un certain nombre de tâches sur ce sujet.

Frapper une forme quadratique à une forme canonique

Les origines de la théorie des formes quadratiques se trouvent dans la géométrie analytique, nommément dans la théorie des courbes (et des surfaces) du second ordre. On sait que l'équation de courbe centrale de second ordre sur le plan, après avoir transféré le début des coordonnées rectangulaires au centre de cette courbe, a la forme

que dans les nouvelles coordonnées, l'équation de notre courbe aura des espèces "canoniques"

dans cette équation, le coefficient de l'œuvre d'inconnu est par conséquent égal à zéro. La conversion des coordonnées (2) peut être interprétée évidemment en tant que transformation linéaire d'inconnues, de plus, est désagrégée, car le déterminant de ses coefficients est égal à un. Cette conversion est appliquée sur le côté gauche de l'équation (1) et on peut donc dire que la partie gauche de l'équation (1) avec une transformation linéaire non négociée (2) se transforme en la partie gauche de l'équation (3).

De nombreuses applications ont nécessité les constructions d'une théorie similaire pour le cas lorsque le nombre d'inconnu au lieu de deux est égal à tout et les coefficients sont soit valables, soit par des nombres complexes.

Résumant l'expression sur le côté gauche de l'équation (1), nous arrivons au concept suivant.

La forme quadratique des inconnu est appelée la quantité, dont chaque membre est ou un carré de l'un de ces inconnu, ou le travail de deux inconnus différents. La forme quadratique est appelée réelle ou complexe selon que ses coefficients sont valides ou peuvent être des nombres complexes.

Considérant que sur une forme quadratique, la création de ces membres a déjà été effectuée, nous introduisons la notation suivante pour les coefficients de cette forme: le coefficient avec le coefficient à noter et le coefficient de travail pour le travail (comparé avec (1)!).

Depuis, cependant, le coefficient en même temps pourrait être indiqué et à travers, c'est-à-dire Nous avons introduit les désignations suggérer une égalité de validité

Membre peut être enregistré maintenant comme

et toute la forme quadratique est sous la forme de la somme de toutes sortes de membres, où elle est déjà indépendante des autres valeurs de 1 à:

en particulier, quand un membre tourne

Des coefficients, il est évident que la matrice carrée de l'ordre est évidente; Il s'appelle une matrice de forme quadratique et son rang est le rang de cette forme quadratique.

Si, en particulier, c'est-à-dire La matrice est non négative, la forme quadratique est appelée non -égénérée. Compte tenu de l'égalité (4), les éléments de la matrice a, symétrique par rapport à la diagonale principale, sont égaux à l'autre, c'est-à-dire Matrix A - Symmetric. Retour, pour toute matrice symétrique, la commande peut être spécifiée une forme quadratique entièrement définie (5) d'un inconnu, ayant des éléments de la matrice et de ses coefficients.

La forme quadratique (5) peut être écrite sous une autre forme à l'aide de la multiplication des matrices rectangulaires. Nous considérons d'abord à propos de la désignation suivante: Si une matrice carrée ou généralement rectangulaire est donnée, la matrice obtenue à partir de la matrice et de la transposition sera notée. Si les matrices sont ainsi que leur travail est déterminée, l'égalité a lieu:

ceux. La matrice obtenue en transposant le travail est égale au travail des matrices entraînant la transposition des facteurs, de plus, pris dans l'ordre inverse.

En fait, si le produit AV est défini, il sera défini comment être facilement vérifié et le produit: le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de chaînes matricielles. L'élément de la matrice, debout dans sa rangée et la colonne, dans la matrice de l'AV est situé dans la rangée et la colonne. Il est donc égal à la quantité des œuvres des éléments respectifs de la chaîne matricielle A et la colonne de la matrice dans, c'est-à-dire égal à la quantité de produits des éléments correspondants de la colonne de la matrice et de la rangée de la matrice. Cette égalité (6) est prouvée.

Notez que la matrice, puis et seulement alors, alors sera symétrique si elle coïncide avec sa transposée, c'est-à-dire si un

Nous désignons maintenant via la colonne compilée d'un inconnu.

c'est une matrice ayant des rangées et une colonne. Transposer cette matrice, nous obtenons une matrice

Compilé d'une ligne.

La forme quadratique (5) avec la matrice peut être enregistrée maintenant comme le travail suivant:

En effet, le produit sera une matrice constituée d'une colonne:

Multiplier cette matrice à gauche à la matrice, nous obtenons une "matrice" composée d'une rangée et d'une colonne, à savoir le côté droit de l'égalité (5).

Que se passera-t-il avec une forme quadratique si les inconnus seront soumis à une transformation linéaire

D'ici par (6)

Substitution (9) et (10) sous la forme (7) formes, nous obtenons:

La matrice en sera symétrique, car, compte tenu de l'égalité (6), juste, évidemment, pour un nombre quelconque de multiplicateurs et l'égalité de symétrie équivalente de la matrice, nous avons:

Ainsi, le théorème suivant est prouvé:

La forme quadratique de l'inconnu, ayant une matrice, après avoir effectué une conversion linéaire d'inconnu avec la matrice, se transforme en une forme quadratique de la nouvelle inconnue, et la matrice de cette forme est un travail.

Supposons maintenant que nous effectuons une transformation linéaire non dégénérée, c'est-à-dire Et par conséquent - les matrices sont désagrégnées. Le travail est obtenu dans ce cas en multipliant la matrice sur des matrices non dégénéré et par conséquent, le rang de ce produit est égal à la marge de la matrice. Ainsi, le rang de la forme quadratique ne change pas lors de la transformation linéaire non négative.

Considérez maintenant, par analogie avec la tâche géométrique spécifiée au début du paragraphe de l'équation du deuxième ordre à la forme canonique (3), la question de la constitution d'une forme quadratique arbitraire par une transformation linéaire non dégénérée au type de la somme des carrés des inconnus, c'est-à-dire à ce formulaire lorsque tous les coefficients des œuvres de différentes inconnues sont nuls; Ce type spécial de forme quadratique est appelé canonique. Supposons d'abord que la forme quadratique de l'inconnu est déjà présentée avec une conversion linéaire nongénérée à Canonical

où - Nouveau inconnu. Certains des coefficients peuvent. Bien sûr, être des zéros. Nous prouvons que le nombre de coefficients non nuls dans (11) est certainement égal à la forme de forme.

En fait, puisque nous sommes arrivés à (11) avec l'aide d'une transformation non négociée, la forme quadratique qui se tient dans le côté droit de l'égalité (11) devrait également être au rang.

Cependant, la matrice de cette forme quadratique a une vue en diagonale.

et l'exigence de cette matrice d'avoir un rang est équivalente à l'hypothèse que sur sa diagonale principale est exactement différente de zéro éléments.

Passons à la preuve du prochain théorémique principal sur les formes quadratiques.

Toute forme quadratique peut être donnée par une conversion linéaire non dégénérée à la forme canonique. Si la forme quadratique réelle est considérée, tous les coefficients de la transformation linéaire spécifiée peuvent être considérés comme valides.

Ce théorème est vrai pour le cas de formes quadratiques d'un inconnu, car toute forme de ce type a la forme canonique. Nous pouvons donc, par conséquent, la preuve ouest par induction dans le nombre d'inconnus, c'est-à-dire Prouvez le théorème des formes quadratiques de n inconnu, en considérant qu'il est déjà prouvé que des formulaires avec un plus petit nombre d'inconnus.

Vide est donné une forme quadratique

de n inconnu. Nous allons essayer de trouver une telle transformation linéaire non négative, qui allouerait du carré de l'un des inconnus, c'est-à-dire Conduit comme la somme de la somme de ce carré et une forme quadratique du reste de l'inconnu. Cet objectif est facilement réalisé dans le cas où parmi les coefficients du formulaire de la forme matricielle sur la diagonale principale, il est différent de zéro, c'est-à-dire Si in (12) entre dans la différence de zéro coefficients carré au moins un de l'inconnu

Laisser, par exemple. Ensuite, il est facile de vérifier, l'expression qui est une forme quadratique contient les mêmes membres avec un inconnu, comme notre formulaire, et donc la différence

ce sera une forme quadratique ne contenant que des inconnus, mais pas. D'ici

Si nous entrons la notation

que nous obtenons

où sera maintenant une forme quadratique d'inconnue. L'expression (14) est l'expression souhaitée pour la forme, telle qu'elle est obtenue à partir de (12) avec une transformation linéaire non négative, à savoir la transformation, la transformation linéaire inversée (13), qui a son déterminant et ne dégénère donc pas.

Si le lieu de l'égalité, il effectue une transformation linéaire auxiliaire pré-exécutant, entraînant l'apparition de carrés inconnus sous notre forme. Puisque parmi les coefficients de l'enregistrement (12) de ce formulaire devraient être différents de zéro, - sinon, il n'y aurait rien à prouver, puis le laisser être, par exemple, c'est-à-dire. C'est la somme du membre et des membres, chacune comprenant au moins une des inconnues.

Nous sommes maintenant une transformation linéaire

Il sera désagrégé parce qu'il a un déterminant

À la suite de cette transformation, le membre de notre formulaire prendra

ceux. sous la forme apparaîtra, avec des coefficients non nuls, les carrés à la fois des deux inconnues, et ils ne peuvent réduire aucun des autres membres, car dans chacun de ces dures, au moins une des inconnues, nous sommes maintenant dans les conditions de le cas ci-dessus, ceux-ci. Une autre transformation linéaire non dégénérée peut provoquer une forme (14).

Pour mettre fin à la preuve, il reste à noter que la forme quadratique dépend du plus petit que le nombre inconnu et, par conséquent, par l'hypothèse d'induction, une transformation non dégénérée d'inconnues est entraînée à une forme canonique. Cette transformation considérée comme (refoulée, aussi facile à voir) la transformation de tout inconnu, dans laquelle il reste inchangé, conduit donc (14) à la forme canonique. Ainsi, la forme quadratique de deux ou trois transformations linéaires non négociées, qui peut être remplacée par une transformation non dégénérée - leur travail est maintenu à la somme de la somme des carrés d'inconnu avec certains coefficients. Le nombre de ces carrés est égal comme nous le savons, grades de la forme. Si, au-dessus de cela, la forme quadratique est valide, les coefficients de la forme canonique de la forme et dans une transformation linéaire menant à cette apparence seront valables; En fait, la transformation linéaire, inverse (13) et transformation linéaire (15) ont des coefficients valides.

La preuve du théorème principal est terminée. La méthode utilisée dans cette preuve peut être appliquée dans des exemples spécifiques pour apporter une forme quadratique à une forme canonique. Il n'est nécessaire qu'au lieu d'induction que nous avons utilisé dans la preuve, d'allouer séquentiellement les carrés des inconnues décrites ci-dessus la méthode.

Exemple 1. Pour mener aux espèces canoniques de la forme quadratique

En raison de l'absence de carrés inconnus sous cette forme, nous remplirons d'abord la transformation linéaire non négative

avec une matrice

après cela, nous obtenons:

Maintenant, les coefficients sont différents de zéro et donc le carré d'un inconnu peut être distingué de notre formulaire. A cru

ceux. Faire une transformation linéaire pour laquelle le contraire aura une matrice

nous donnons l'esprit

Tant que la place est inconnue, car la forme contient toujours le travail de deux autres inconnus. L'utilisation de l'inégalité zéro du coefficient, une nouvelle fois appliqué la méthode ci-dessus. Faire une transformation linéaire

pour lequel l'inverse a une matrice

nous allons enfin donner la forme à Canonical

Transformation linéaire, conduisant (16) immédiatement à la forme (17), aura une matrice de travail

Il est possible de vérifier la substitution directe qu'elle est non négative (puisque le déterminant est égale) transformation linéaire

tourne (16) dans (17).

La théorie de la formulaire quadratique à la forme canonique est construite par analogie avec la théorie géométrique des courbes centrales de second ordre, mais ne peut être considérée comme une généralisation de cette dernière théorie. En fait, dans notre théorie, il est permis d'utiliser toutes les transformations linéaires non dégénérées, tout en apportant une courbe de seconde commande à une forme canonique, en utilisant des transformations linéaires d'un type très spécial,

qui sont la rotation de l'avion. Cette théorie géométrique peut toutefois être généralisée dans le cas de formes quadratiques d'une inconnue avec des coefficients valides. La présentation de cette généralisation, appelée la mention de formes quadratiques aux axes principaux, sera donnée ci-dessous.

Et avec la matrice.

Cette conversion symétrique peut être écrite comme suit:

y 1 \u003d A 11 x 1 + A 12 x 2

y 2 \u003d A 12 x 1 + A 22 x 2

où dans 1 et en 2 - les coordonnées du vecteur dans la base.

De toute évidence, la forme quadratique peut être enregistrée sous la forme:

F (x 1, x 2) \u003d x 1 en 1 + x 2 en 2.

Comme on peut le voir, la signification géométrique de la valeur numérique de la forme quadratique F au point avec les coordonnées X 1 et X 2 est un produit scalaire.

Si vous prenez une autre base orthonormale sur le plan, la forme quadratique F sera différente, bien que sa valeur numérique dans chaque point géométrique ne change pas. Si vous trouvez une telle base dans laquelle la forme quadratique ne contient pas de coordonnées au premier degré, mais uniquement les coordonnées sur le carré, la forme quadratique peut être donnée à une forme canonique.

Si vous prenez une combinaison de vecteurs de transformation linéaire comme base, alors dans cette base, la matrice de conversion linéaire a la forme:

Lorsque vous passez une nouvelle base à partir de variables X 1 et X 2, nous nous tournons vers des variables et. Puis:

L'expression est appelée espèces canoniques Forme quadratique. De même, il est possible de conduire à la forme canonique d'une forme quadratique avec un grand nombre de variables.

La théorie des formes quadratiques est utilisée pour amener les équations des courbes et des surfaces du second ordre aux espèces canoniques.

Exemple. Conduire à des espèces canoniques

F (x 1, x 2) \u003d 27.

Les facteurs: A 11 \u003d 27, A 12 \u003d 5 et 22 \u003d 3.

Nous comprenons une équation caractéristique: ;

(27 - L) (3 - L) - 25 \u003d 0

l 2 - 30L + 56 \u003d 0

l 1 \u003d 2; L 2 \u003d 28;

Exemple. Conduire à l'équation de type canonique du deuxième ordre:

17x 2 + 12xy + 8Y 2 - 20 \u003d 0.

Les coefficients a 11 \u003d 17 et 12 \u003d 6, et 22 \u003d 8. a \u003d

Faire une équation caractéristique:

(17 - L) (8 - L) - 36 \u003d 0

136 - 8L - 17L + L 2 - 36 \u003d 0

l 2 - 25L + 100 \u003d 0

l 1 \u003d 5, l 2 \u003d 20.

Total: - Équation canonique ellipse.

Solution: faire une équation caractéristique d'une forme quadratique: quand

Décider cette équation, nous obtenons L 1 \u003d 2, L 2 \u003d 6.

Nous trouverons les coordonnées des propres vecteurs:

Propres vecteurs:

L'équation de ligne canonique dans le nouveau système de coordonnées examinera:

Exemple. En utilisant la théorie des formes quadratiques, entraînez l'équation canoniste de la ligne de seconde commande. Décrivent schématiquement le graphique.

Solution: faire une équation caractéristique d'une forme quadratique: quand

Décider cette équation, nous obtenons L 1 \u003d 1, L 2 \u003d 11.

Nous trouverons les coordonnées des propres vecteurs:

croyant m 1 \u003d 1, nous obtenons n 1 \u003d

croyant m 2 \u003d 1, nous obtenons n 2 \u003d

Ohwives:

Nous trouvons les coordonnées des vecteurs uniques de la nouvelle base.

Nous avons l'équation de ligne suivante dans le nouveau système de coordonnées:

L'équation de ligne canonique dans le nouveau système de coordonnées examinera:

Lors de l'utilisation d'une version informatique " Cours de mathématiques supérieures«Il est possible d'exécuter un programme qui résout l'apparence au-dessus des exemples de toutes les conditions initiales.

Pour démarrer le programme, double-cliquez sur l'icône:

Dans la fenêtre du programme qui s'ouvre, entrez les coefficients de la forme quadratique et appuyez sur Entrée.

Remarque: Pour démarrer le programme, il est nécessaire que l'érable (Ó Waterloo Maple Inc.) soit installé sur l'ordinateur (Ó Waterloo Maple Inc.) de n'importe quelle version commençant par la version 4 MAPLEV 4.