Calculez l'intégrale curviligne des premiers aspects. Maigre Les intégrales curvilignes des premières entreprises et des intégrales de surface du premier type. Exemples de tâches

Objectif. Une calculatrice en ligne est conçue pour trouver le travail de force F lors de la déplacement de la ligne Arc L.

Intégrales curviligne et de surface du deuxième type

Considérer le collecteur σ. Soit τ (x, y, z) être une seule tangente vecteur à σ si σ est une courbe, un n (x, y, z) est un seul vecteur de normale à σ si σ est la surface de R3. Nous introduisons le vecteur dl \u003d τ τ · dl et ds \u003d n · DS, où DL et DS sont la longueur et la surface de la partie correspondante de la courbe ou de la surface. Nous supposerons que dσ \u003d dl, si σ est une courbe, et dσ \u003d DS, si σ est une surface. Appelons la mesure orientée Dσ de la section correspondante de la courbe ou de la surface.

Définition. Laissez le collecteur continu par morceaux et sur σ et sur σ - la fonction de vecteur F (x, y, z) \u003d p (x, y, z) i + q (x, y, z) + r (x, y, z) + r (x, y, y, z). Nous cassons la variété sur une partie des variétés d'une dimension plus petite (courbe - points, grange de surface), à \u200b\u200bl'intérieur de chaque collecteur élémentaire obtenu, nous choisissons au point M 0 (x 0, y 0, z 0), m 1 ( x 1, y 1, z 1), ..., m n (xn, yn, zn). Calculez les valeurs F (xi, yi, zi), i \u003d 1,2, ..., N Fonction de vecteur à ces points, multipliez ces valeurs sur la mesure orientée Dσ i de ce collecteur élémentaire (longueur orientée ou une zone du site de la diversité correspondante) et résumant. La limite des montants reçus si elle apparaît, ne dépend pas de la méthode de fractionnement d'un collecteur sur la pièce et de sélectionner des points dans chaque collecteur élémentaire, à condition que le diamètre de la section élémentaire a tendance à zéro, s'appelle une intégrale par collecteur ( Intégrale curviligne, si σ-à travers et superficielle, si σ - la surface) du deuxième type, collecteur orienté inventeur intégré, ou intégrale du vecteur f, et est indiqué dans le cas général, dans les cas d'intégral curvilinéaire et de surface respectivement.
Notez que si f (x, y, z) est la force, puis le travail de cette force pour déplacer le point de matériau le long de la courbe, si f (x, y, z) est stationnaire (indépendant du temps) le champ de vitesse du fluide flux, - la quantité de fluide traversant la surface s par unité de temps (flux vectoriel à travers la surface).
Si la courbe est réglée de manière paramétrique ou, qui est la même sous forme vectorielle,

cette

et pour l'intégrale curviligne du deuxième type, nous avons

Depuis DS \u003d N · DS \u003d (Cosα, Cosβ, Cosγ), où Cosα, Cosβ, Cosγ - guides de l'unité Vecteur de Normal N et Cosαds \u003d DYDZ, COSβDS \u003d DXDZ, COSγDS \u003d DXDZ, puis pour la surface intégrale de la Deuxième genre, nous obtenons

Si la surface est réglée sur paramétrical ou, qui est la même, sous forme de vecteur
R (u, v) \u003d x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k, (u, v) ∈d
cette

où - Jacobiens (déterminants des matrices Jacobi, ou, que les mêmes matrices sont dérivées) des fonctions de vecteur respectivement.

Si la surface peut être spécifiée simultanément par les équations, la surface intégrale du deuxième type est calculée par la formule

où D 1, D 2, D 3 - saillies de surface sur le plan de coordonnées Y0Z, X0Z, X0Y, respectivement et le signe "+" est pris si l'angle entre le vecteur de normal et axe, le long duquel la conception est maintenue et le signe "-", si cet angle est stupide.

Propriétés des intégrales curviligne et de surface du deuxième type

Nous notons certaines propriétés des intégrales curviligne et de surface du deuxième type.
Théorème 1. Les intégrales curviligne et de surface du 2e type dépendent de l'orientation de la courbe et de la surface, plus précisément
.

Théorème 2. Soit σ \u003d σ 1 ∪σ 2 et la dimension de l'intersection de DLIM (σ 1 ∩σ 2) \u003d N-1. Puis

Preuve.En allumant la diversité de la partition dans la définition de l'intégrale par la diversité du deuxième type, la limite globale σ 1 avec σ 2 est obtenue.

Exemple numéro 1. Trouvez le travail de force F lorsque vous déplacez le long de la ligne Arc L du point M 0 au point M 1.
F \u003d x 2 yi + yj; , L: couper m 0 m 1
M 0 (-1; 3), M 0 (0; 1)
Décision.
Nous trouvons l'équation droite le long du segment M 0 m 1.
ou y \u003d -2x + 1
dy \u003d -2dx

Limites du changement X: [-1; 0]

Si une intégrale curviligne est donnée et la courbe à laquelle l'intégration est fermée (appelée contour), une telle intégrale est appelée une partie intégrante sur un circuit fermé et est indiquée comme suit:

Contour L. Dénoter RÉ.. Si fonctionne P.(x., y.) , Q.(x., y.) et leurs dérivés privés et - fonctionne continu dans la zone RÉ.Pour calculer l'intégrale curviligne, vous pouvez utiliser la formule verte:

Ainsi, le calcul de l'intégrale curviligne sur un contour fermé est réduit au calcul de la double intégrale dans la région RÉ..

La formule verte reste juste pour toute zone fermée, qui peut être effectuée par des lignes supplémentaires à un nombre fini de régions fermées simples.

Exemple 1. Calculer l'intégrale curviligneaire

,

si un L. - contour du triangle Mouiller où SUR(0; 0) , UNE.(1; 2) et B.(Dix) . Direction de Circuit Crawl - Dans le sens antihoraire. La tâche consiste à résoudre de deux manières: a) calculer des intégrales curvilignes de chaque côté du triangle et plier les résultats; b) selon la formule verte.

a) Calculez les intégrales curvilignes de chaque côté du triangle. Côté Ob. Situé sur l'axe BŒUF. , donc son équation sera y. \u003d 0. donc dY. \u003d 0 et peut calculer l'intégrale curviligne à côté Ob. :

Équation de la partie Ba. sera x. \u003d 1. donc dx \u003d 0. Calculer l'intégrale curvilignee sur le côté Ba. :

Équation à travers AO. Nous allons utiliser la formule de l'équation directe qui passe en deux points:

.

De cette façon, dY. = 2dx . Calculer l'intégrale curvilignee sur le côté AO. :

Cette intégrale curviligne sera égale à la somme des intégrales le long des bords du triangle:

.

b) Appliquer la formule de Green. Car , T. . Nous avons tout pour calculer cette intégrale sur un contour fermé par la formule verte:

Comme nous pouvons le constater, le même résultat a été obtenu, mais selon la formule verte, le calcul de l'intégrale sur un contour fermé est beaucoup plus rapide.

Exemple 2.

,

où L. - Contour Mouiller , Ob. - Arc Parabola y. = x.², du point SUR(0; 0) au point UNE.(1; 1) , UN B et Bo. - coupes droites, B.(0; 1) .

Décision. Comme des fonctions et leurs dérivés privés ,, RÉ. - Zone limitée par le contour L. Nous avons tout pour profiter de la formule verte et calculer cette intégrale sur un contour fermé:

Exemple 3. En utilisant la formule verte, calculez l'intégrale curviligne

, si un L. - contour qui forme la ligne y. = 2 − |x.| et axe Oy. .

Décision. Doubler y. = 2 − |x.| Se compose de deux rayons: y. = 2 − x. , si un x. ≥ 0 I. y. = 2 + x. , si un x. < 0 .

Nous avons des fonctions et leurs dérivés privés et. Nous substituons tout dans la formule verte et nous obtenons le résultat.

Si la zone d'intégration est un segment de la courbe située dans le plan. Enregistrement général de l'intégrale curviligne comme suit:

où f.(x., y.) - fonction de deux variables, et L. - courbe, par segment UN B qui s'intègre. Si la fonction d'intégrande est égale à une, l'intégrale curviligne est égale à la longueur de l'arc AB .

Comme toujours dans le calcul intégral, l'intégrale curviligne est comprise comme la limite des quantités intégrées de certaines très petites parties de quelque chose de très grand. Qu'est-ce qui est résumé dans le cas d'intégrales curvilignes?

Laissez-le être coupé sur l'avion UN B Une courbe L.et la fonction de deux variables f.(x., y.) Défini aux points de la courbe L.. Laissez-nous effectuer l'algorithme suivant avec cette courbe de coupe.

1. Diviser la courbe UN B Parties sur les points (images ci-dessous).
2. Dans chaque partie, pour choisir librement un point M..
3. Trouvez la fonction dans les points sélectionnés.
4. Les valeurs de la fonction se multiplient sur
   • la longueur des pièces dans le cas de intégrale curviligne du premier type ;
   • pièces de projection sur l'axe de coordonnées au cas où l'intégrale curviligne du deuxième type .
5. Trouvez la somme de toutes les œuvres.
6. Trouvez la limite de la quantité intégrée trouvée, à condition que la longueur de la partie la plus longue de la courbe a tendance à zéro.

Si la limite mentionnée existe, alors cela la limite de la quantité intégrée est appelée une intégrale curviligne de la fonction f.(x., y.) Par krivoy UN B .

Premier genre

Cas d'intégrale curviligneaire
Deuxième course

Nous introduisons la correspondance suivante.

M.jE ( ζ jE; η jE) - point sélectionné avec les coordonnées sur chaque site.

f.jE ( ζ jE; η jE) - Valeur de la fonction f.(x., y.) Dans le point sélectionné.

Δ s.jE. - Durée de la partie du segment de la courbe (dans le cas d'une intégrale curviligne du premier type).

Δ x.jE. - Projection de la partie de la courbe de coupe sur l'axe BŒUF. (dans le cas d'une intégrale curviligne du deuxième type).

rÉ. \u003d Maxδ. s.jE. - la longueur de la partie la plus longue de la courbe de coupe.

Les intégrales curvilignes du premier type

Sur la base du montant intégré susmentionné, l'intégrale curviligne du premier type est écrite comme suit:

.

L'intégrale curviligne de la première forme a toutes les propriétés qui possèdent certaine intégrale . Cependant, il y a une différence importante. Dans une certaine intégrale lors de la modification des endroits dans des endroits les limites d'intégration, le signe passe à l'opposé:

Dans le cas de la intégrale curviligne du premier type, peu importe quel type de points de courbe UN B (UNE. ou B.) Considérons le début du segment, mais quelle fin, c'est-à-dire

.

Intégrales curvilignes du deuxième type

Sur la base du montant intégré décrit, l'intégrale curviligne du deuxième type est écrite comme suit:

.

Dans le cas d'une intégrale curviligne du deuxième type avec une modification du début et de la fin du segment de la courbe, le signe intégré change:

.

Lors de la compilation de la quantité intégrée de l'intégrale incurvée du deuxième type de valeur de fonction f.jE ( ζ jE; η jE) Vous pouvez également multiplier la projection des parties du segment de la courbe sur l'axe Oy.. Ensuite, nous faisons partie intégrante

.

En pratique, il est généralement utilisé pour combiner les intégrales curvilignes du deuxième type, c'est-à-dire deux fonctions. f. = P.(x., y.) et f. = Q.(x., y.) et des intégrales

,

et la somme de ces intégrales

appelé intégration commune curviligne du deuxième type .

Calcul des intégrales curvilignes du premier type

Le calcul des intégrales curvilignes du premier type est réduit au calcul de certaines intégrales. Considérer deux cas.

Laissez l'avion régler la courbe y. = y.(x.) et courbe de coupe UN B correspond à la variable de changement x. de uNE. avant que b.. Ensuite, au point de la courbe, la fonction d'intégrande f.(x., y.) = f.(x., y.(x.)) ("Igrek" devrait être exprimé par "x") et le différentiel de l'arc et une intégrale curviligne peut être calculée par la formule

.

Si l'intégrale est plus facile à intégrer par y.Puis de l'équation de la courbe, vous devez exprimer x. = x.(y.) ("IKS" à travers "igrek"), où et l'intégrale calculent la formule

.

Exemple 1.

où UN B - Couper droit entre les points UNE.(1; -1) et B.(2; 1) .

Décision. Faire une équation directe UN B En utilisant la formule (Equation directe passant à travers deux points de données UNE.(x.1 ; y.1 ) et B.(x.2 ; y.2 ) ):

De l'équation à exprimer y. par x. :

Ensuite, nous pouvons maintenant calculer l'intégrale, car nous avons quelques "ikers" à gauche:

Laissez la courbe aspirez dans l'espace

Ensuite, au point de la courbe, la fonction doit être exprimée à travers le paramètre t. () Et arc différentiel , donc l'intégrale curviligne peut être calculée par la formule

De même, si l'avion reçoit une courbe

,

ensuite, l'intégrale curviligne est calculée par la formule

.

Exemple 2. Calculer l'intégrale curviligneaire

où L. - une partie de la ligne de cercle

situé dans la première octetre.

Décision. Cette courbe est une ligne quart des lignes de cercle situées dans l'avion z. \u003d 3. Il correspond aux valeurs de paramètre. Car

puis Dougie Différentiel

Fonction intégrée express par le paramètre t. :

Maintenant que tout est prononcé à travers le paramètre t. Nous pouvons réduire le calcul de cette intégrale curviligne à une intégrale spécifique:

Calcul des intégrales curvilignes du deuxième type

De plus, comme dans le cas d'intégrales curvilignes de la première forme, le calcul des intégrales du deuxième type est réduit au calcul de certaines intégrales.

Curve Dana dans les coordonnées rectangulaires cartésiennes

Soit une courbe sur l'avion par l'équation de la fonction "cheerk", exprimée par "x": y. = y.(x.) et arc krivoy UN B correspond à changer x. de uNE. avant que b. . Ensuite, dans la fonction intégrée, nous substituera l'expression "jeux" à travers "x" et nous définissons le différentiel de cette expression "jeux" sur "ICSU" :. Maintenant que tout est exprimé par "X", l'intégrale curviligne du deuxième type est calculée comme une intégrale spécifique:

De même, l'intégrale curviligne du deuxième type est calculée lorsque la courbe est donnée par l'équation de la fonction "x", exprimée par "igrek": x. = x.(y.) . Dans ce cas, la formule de calcul de l'intégrale est la suivante:

Exemple 3. Calculer l'intégrale curviligneaire

, si un

mais) L. - Coupe droite Oa. où SUR(0; 0) , UNE.(1; −1) ;

b) L. - Arc Parabola y. = x.² ot. SUR(0; 0) à UNE.(1; −1) .

a) Calculez l'intégrale curviligne en ligne droite (sur la figure - bleu). Nous écrirons l'équation directe et express "IX" à travers "x":

.

Recevoir dY. = dx . Nous résolvons cette intégrale curviligne:

b) si L. - Arc Parabola y. = x.², nous obtenons dY. = 2xdx . Calculer l'intégrale:

Dans le même résultat, le même résultat a été obtenu dans deux cas. Et ce n'est pas une coïncidence, mais le résultat de la régularité, puisque cette intégrale satisfait aux conditions du théorème suivant.

Théorème. Si fonctionne P.(x.,y.) , Q.(x.,y.) et leurs dérivés privés - continu dans la région RÉ. Les fonctions et les points de cette zone de dérivés privés sont égaux, l'intégrale curviligne ne dépend pas du chemin d'intégration du chemin L. situé sur le terrain RÉ. .

La courbe est donnée sous forme paramétrique

Laisser entrer dans l'espace une courbe

.

et dans les fonctions intégratives, nous nous substituerons

expressions de ces fonctions via le paramètre t. . Nous obtenons une formule pour calculer une intégrale curviligne:

Exemple 4. Calculer l'intégrale curviligneaire

,

si un L. - une partie de l'ellipse

condition de conduite y. ≥ 0 .

Décision. Cette courbe fait partie de l'ellipse dans l'avion z. \u003d 2. Il correspond à la valeur du paramètre.

nous pouvons soumettre une intégrale curviligne sous la forme d'une intégrale spécifique et de le calculer:

Si l'intégrale curvilignee et L. - une ligne fermée, alors une telle intégrale s'appelle une intégrale sur un circuit fermé et il est plus facile de calculer formule verte .

Plus d'exemples de calcul des intégrales curvilignes

Exemple 5. Calculer l'intégrale curviligneaire

où L. - Coupez la ligne entre ses points d'intersection avec les axes de coordonnées.

Décision. Nous définissons les points d'intersection de la ligne avec les axes de coordonnées. Substituer à l'équation directe y. \u003d 0, nous obtenons. Sous-station x. \u003d 0, nous obtenons. Ainsi, le point d'intersection avec l'axe BŒUF. - UNE.(2; 0), avec axe Oy. - B.(0; −3) .

De l'équation à exprimer y. :

.

, .

Maintenant, nous pouvons présenter une intégrale curviligne sous la forme d'une certaine intégrale et de commencer à le calculer:

En intégrant, nous allouons le multiplicateur, nous le supportons pour le signe de l'intégrale. Dans l'expression initiale résultante s'appliquer résumant un signe différentiel Et enfin obtenir.

Département "Mathématiques supérieures"

Intégrales curvilignes

Instructions méthodiques

Volgograd

UDC 517.373 (075)

Critique:

conférencier principal du département "Mathématiques appliquées" N.I. Koltsova

Imprimé par la décision du conseil de rédaction et de publication

Université technique de l'État de Volgograd

Intégrales curviligne: méthode. Indications / SOST. M.I. andreeva,

O.e. Grigoriev; Volggtu. - Volgograd, 2011. - 26 p.

Les instructions méthodiques sont un guide pour la mise en œuvre de tâches individuelles sur la rubrique "Intégrales Curvoline et leurs applications à la théorie des champs".

La première partie des lignes directrices contient le matériau théorique nécessaire pour la mise en œuvre de tâches individuelles.

Dans la deuxième partie, des exemples de la mise en œuvre de tous types de tâches inclus dans les tâches individuelles sur le sujet contribuent à la meilleure organisation du travail indépendant des étudiants et à la réussite de l'assimilation du sujet.

Des instructions méthodiques sont conçues pour les étudiants des premier et deuxième cours.

© Etat Volgograd

université technique, 2011

1. Intégrale curviligne 1 type

Détermination de l'intégrale curviligne 1 type

Soit è. Autant - Courbe lisse à arc plat ou spatial morce L., f.(P.) - une fonction continue spécifiée sur cet arc, MAIS 0 = MAIS, MAIS 1 , MAIS 2 , …, UN. – 1 , UN. = B. Autant et P i. - points arbitraires sur les arcs partiels è I. – 1 I., dont la longueur d l I. (jE. = 1, 2, …, n.

pour n. ® ¥ et max d l I. ® 0, qui ne dépend pas de la façon de diviser l'arc è Autant Points I.ni de choisir des points P i. sur des arcs partiels è I. – 1 I. (jE. = 1, 2, …, n.). Cette limite est appelée une intégrale curviligne de 1 type de la fonction f.(P.) De Krivoy L. Et dénote

Calcul de l'intégrale curviligne 1 type

Le calcul de l'intégrale curviligne 1 du genre peut être réduit au calcul d'une intégrale spécifique de différentes manières de définir la courbe d'intégration.

Si l'arc è. Autant Une courbe plate est définie par des équations paramétriques où x.(t.) JE. y.(t. t., et x.(t. 1) = x A., x.(t. 2) = x B.T.

où - Différentiel de la longueur de la courbe d'arc.

Une formule similaire a lieu dans le cas d'une tâche paramétrique d'une courbe spatiale L.. Si l'arc è. Autantcourbé L.défini par des équations et x.(t.), y.(t.), z.(t.) - Fonctions de paramètres continuellement différentielles t.T.

où - différentiel la longueur de la courbe d'arc.

dans les coordonnées cartésiennes

Si l'arc è. Autant courbe plate L. Publié par équation Où y.(x.

et la formule de calcul de l'intégrale curviligne a la forme:

Lors de la spécification d'arc è Autant courbe plate L. comme x.= x.(y.), y. Î [ y. 1 ; y. 2 ],
Où x.(y.) - fonction continuellement différente,

et une intégrale curviligne est calculée par la formule

(1.4)

Définition de la courbe d'intégration par l'équation polaire

Si courbe plate L. défini par l'équation dans le système de coordonnées polaires r = r(j), J Î, où r(j) - une fonction continue différente, puis

et

(1.5)

Applications de l'intégrale curviligne 1 type

Avec l'aide d'une intégrale curviligne 1 du genre calculée: la longueur de la courbe d'arc, la zone de la surface cylindrique, la masse, les moments statiques, des moments d'inertie et les coordonnées du centre de la courbe de matériau de gravité avec une courbe donnée Densité linéaire.

1. Longueur l. Courbe plate ou spatiale L.situé par formule

2. Zone d'une surface cylindrique avec axe parallèle Oz. former et situé dans l'avion XOY. Guider L.conclu entre l'avion XOY. et la surface définie par l'équation z. = f.(x.; y.) (f.(P.) ³ 0 quand P. Î L.), égale

(1.7)

3. Massa m. courbe matérielle L. avec densité linéaire m ( P.) La formule est déterminée

(1.8)

4. Moments statiques par rapport aux axes BŒUF. et Oy. et coordonnées de la courbe de matériau plat du centre de gravité L.avec densité linéaire m ( x.; y.) sont égaux, respectivement:

(1.9)

5. Moments statiques par rapport aux avions Oxy, Oxz., Oyz. et coordonnées du centre de gravité d'une courbe de matériau spatial avec une densité linéaire m ( x.; y.; z) sont déterminés par des formules:

(1.11)

6. Pour une courbe de matériau plat L. avec densité linéaire m ( x.; y.) moments d'inertie par rapport aux axes BŒUF., Oy. et le début des coordonnées sont respectivement égaux:

(1.13)

7. Moments de la courbe de matériau spatial d'inertie L. avec densité linéaire m ( x.; y.; z) par rapport aux plans de coordonnées sont calculés par des formules

(1.14)

et des moments d'inertie par rapport aux axes de coordonnées sont égaux:

(1.15)

2. Krivolynoe Integral 2 genres

Détermination de l'intégrale curviligne de 2 genres

Soit è. Autant - Courbe orientée à arc par morceaux et une courbe orientée lisse L., = (un X.(P.); y.(P.); une Z.(P.)) - une fonction de vecteur continu spécifiée sur cet arc, MAIS 0 = MAIS, MAIS 1 , MAIS 2 , …, UN. – 1 , UN. = B. - fractionnement arbitraire de l'arc Autant et P i. - points arbitraires sur les arcs partiels I. – 1 I.. Laissez le vecteur avec les coordonnées D x I., RÉ. y I., RÉ. z I.(jE. = 1, 2, …, n.), et - le produit scalaire des vecteurs et ( jE. = 1, 2, …, n.). Ensuite, il y a une limite de la séquence de quantités intégrées

pour n. ® ¥ et max ÷ ç® 0, qui ne dépend pas du mode de division d'un arc Autant Points I.ni de choisir des points P i. sur des arcs partiels è I. – 1 I.
(jE. = 1, 2, …, n.). Cette limite est appelée une intégrale curviligne de 2 gengois de la fonction ( P.) De Krivoy L. Et dénote

Dans le cas où la fonction vectorielle est définie sur une courbe plate L.De même, nous avons:

Lorsque la direction de l'intégration est modifiée, l'intégrale curviligne de 2 génère des modifications du signe.

Les intégrales curvilignes des premier et second types sont associées à la relation

(2.2)

où est le vecteur unique tangent à la courbe orientée.

Utilisation d'une intégrale curviligne de 2 types, il est possible de calculer le travail de force lors du déplacement du point de matériau le long de l'arc de la courbe. L:

(2.3)

Direction positive par courbe fermée AVEC,reconnaître une zone reliée unique G.Ce qui suit doit être autour dans le sens antihoraire.

Integral curvilinéaire 2 type de courbe fermée AVEC appelé circulation et noté

(2.4)

Calcul de l'intégrale curviligne 2 genres

Le calcul de l'intégrale curviligne de 2 types est réduit pour calculer une intégrale spécifique.

Tâche paramétrique de la courbe d'intégration

Si è. Autant La courbe plate orientée est définie par des équations paramétriques où h.(t.) JE. y.(t.) - Fonctions de paramètres continuellement différentielles t., et cela

(2.5)

Une formule similaire a lieu dans le cas d'une tâche paramétrique d'une courbe orientée spatiale L.. Si l'arc è. Autantcourbé L. défini par des équations et - Fonctions de paramètres continuellement différentielles t.T.

(2.6)

Tâche explicite d'une courbe d'intégration plate

Si l'arc è. Autant L. placé dans les coordonnées cartésiennes par l'équation où y.(x.) - fonction continuellement différente, puis

(2.7)

Lors de la spécification d'arc è Autantcourbe orientée à plat L. comme
x.= x.(y.), y. Î [ y. 1 ; y. 2] où x.(y.) - fonction continuellement différente, la formule est valide

(2.8)

Laissez les fonctions continu avec leurs dérivés

dans une zone fermée à plat G.Limité par une courbe orientée auto-émouvante à la fois fermée par morceaux AVEC +. Puis la formule verte est la suivante:

Laisser G. - zone connectée à une seule

= (un X.(P.); y.(P.); une Z.(P.))

- Définir dans ce champ vectoriel de cette zone. Champ ( P.) est appelé potentiel s'il y a une telle fonction U.(P.), Quel

(P.) \u003d Grad. U.(P.),

Condition requise et suffisante pour le potentiel de champ vectoriel ( P.) Il cherche:

pourriture ( P.) \u003d, où (2.10)

(2.11)

Si le champ Vector est potentiel, l'intégrale curviligne de 2 types ne dépend pas de la courbe d'intégration et ne dépend que des coordonnées du début et de la fin de l'arc. M. 0 M.. Potentiel U.(M.) Le champ Vector est déterminé avec une précision du composant constant et est situé par la formule

(2.12)

où M. 0 M. - courbe arbitraire reliant un point fixe M. 0 et point variable M.. Pour simplifier l'informatique comme un chemin d'intégration peut être sélectionné cassé M. 0 M. 1 M. 2 M. Avec des liens parallèles aux axes de coordonnées, par exemple:

3. Exemples de tâches

Exercice 1

Calculer l'intégrale curviligne du genre

où L est un arc de courbe, 0 ≤ x. ≤ 1.

Décision.Selon la formule (1.3), les informations de l'intégrale curviligne du genre à une intégrale spécifique dans le cas d'une courbe lisse à plat clairement spécifiée:

où y. = y.(x.), x. 0 ≤ x. ≤ x. 1 - Équation d'arc L. courbe d'intégration. Dans cet exemple Trouver une dérivée de cette fonction

et longueur d'arc de courbe différentielle L.

,

puis mettez dans cette expression au lieu y.Recevoir

Nous transformons une intégrale curviligne à un spécifique:

Calculer cette intégrale par substitution. Puis
t. 2 = 1 + x., x. = t. 2 – 1, dx = 2t dt.; pour x \u003d. 0 t. \u003d 1; mais x. \u003d 1 correspond. Après transformation, nous obtenons

Tâche 2.

Calculer intégrale curviligne 1 type Autour de L. courbé L.: X. \u003d Cos 3. t., y. \u003d Péché 3. t., .

Décision. Car L. - un arc d'une courbe plate lisse donnée sous forme paramétrique, nous utilisons la formule (1.1) les informations de l'intégrale curviligne de 1 à la spécifiée:

.

Dans cet exemple

Trouver le différentiel de la longueur de l'arc

Exprimées trouvées que nous substituons une formule (1.1) et calculez:

Tâche 3.

Trouvez beaucoup de lignes d'arc L. Avec un plan linéaire m.

Décision. Lester m.dougi. L. avec densité m ( P.) est calculé par formule (1,8)

.

Il s'agit d'une intégrale curviligne de 1 du genre sur une courbe d'arc lisse définie paramétralement dans l'espace, elle est donc calculée par la formule (1.2) des informations de l'intégrale curviligne 1 du genre à une intégrale spécifique:

Nous trouvons des dérivés

et longueur de l'arc différentielle

Nous substituons ces expressions dans la formule de masse:

Tâche 4.

Exemple 1. Calculer une intégration curviligne 2 genres

autour de L.courbe 4. x. + y. 2 \u003d 4 du point UNE.(1; 0) au point B.(0; 2).

Décision. Arc plat L. défini sous forme implicite. Pour calculer l'intégrale, il est plus pratique d'exprimer x. par y.:

et trouver une intégrale selon la formule (2,8) convertir une intégrale curviligne de 2 genres à une intégrale spécifique par variable y.:

où un X.(x.; y.) = xy. – 1, y.(x.; y.) = xy. 2 .

Prise en compte de la tâche de la courbe

Par formule (2.8) nous obtenons

Exemple 2.. Calculer une intégration curviligne 2 genres

où L. - des meunes abc, UNE.(1; 2), B.(3; 2), C.(2; 1).

Décision. Par la propriété de l'additivité de l'intégrale curviligne

Chacun des termes intégrés calculer la formule (2,7)

où un X.(x.; y.) = x. 2 + y., y.(x.; y.) = –3xy..

L'équation coupée est directe UN B: y. = 2, y.¢ = 0, x. 1 = 1, x. 2 \u003d 3. Substitution de ces expressions dans la formule (2.7), nous obtenons:

Pour calculer l'intégrale

faire une équation directe AVANT JC. Selon la formule

où x B., y B., x C., y c - coordonnées du point B. et AVEC. Recevoir

y. – 2 = x. – 3, y. = x. – 1, y.¢ \u003d 1.

Nous substituons les expressions obtenues dans la formule (2.7):

Tâche 5.

Calculer intégrale curviligne 2 type d'arc L.

0 ≤ t. ≤ 1.

Décision. Depuis la courbe d'intégration est définie par des équations paramétriques x \u003d x.(t.), y \u003d y.(t.), t. Î [ t. 1 ; t. 2] où x.(t.) JE. y.(t.) - fonctions continuellement différentielles t. pour t. Î [ t. 1 ; t. 2], puis pour calculer l'intégrale curviligne du deuxième type, nous utilisons des informations de formule (2.5) de l'intégrale curviligne à une courbe définie par paramètre définie.

Dans cet exemple un X.(x.; y.) = y.; y.(x.; y.) = –2x..

C dans le but de la tâche de la courbe L. On a:

Nous substituons les expressions trouvées dans la formule (2.5) et calculez une intégrale spécifique:

Tâche 6.

Exemple 1. C. + Où AVEC : y. 2 = 2x., y. = x. – 4.

Décision. La désignation C. + Indique que le contournement de contour est effectué dans la direction positive, c'est-à-dire dans le sens antihoraire.

Vérifiez que la formule verte (2.9) peut être utilisée pour résoudre le problème.

Depuis les fonctions un X. (x.; y.) = 2y. – x. 2 ; y. (x.; y.) = 3x. + y. et leurs dérivés privés Continu dans une zone fermée à plat G.contour limité C., Tormula Green est applicable.

Calculer la double intégrale, décrivez la zone G., prédéfinir les points d'intersection des courbes d'arc y. 2 = 2x. et
y. = x. - 4 contour constituant C..

Les points d'intersection trouveront en résolvant le système d'équations:

La deuxième équation du système équivaut à l'équation x. 2 – 10x. + 16 \u003d 0, d'où x. 1 = 2, x. 2 = 8, y. 1 = –2, y. 2 = 4.

Donc, les points d'intersection des courbes: UNE.(2; –2), B.(8; 4).

Depuis la zone G.- droit dans la direction de l'axe BŒUF., alors pour les informations de la double intégrale de ré-décrire la zone G. sur l'axe Oy. Et nous utilisons la formule

.

Car uNE. = –2, b. = 4, x. 2 (y.) = 4+y.T.

Exemple 2. Calculer une intégrale curviligne 2 genres sur le contour fermé Où AVEC - contour du triangle avec des sommets UNE.(0; 0), B.(1; 2), C.(3; 1).

Décision. La désignation signifie que le contour du triangle coûte dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans le cas où l'intégrale curviligne est prise sur un contour fermé, la formule verte prend la vue

Zone de spectacle G.limité par le contour spécifié.

Les fonctions et dérivés privés et Continu dans la zone G.Par conséquent, vous pouvez appliquer la formule de Green. Puis

Région G. Ce n'est pas correct envers aucun des axes. Nous effectuons la coupe droite x. \u003d 1 et imaginez G. comme G. = G. 1 è. G. 2, où G. 1 I. G. 2 zones correctes dans la direction de l'axe Oy..

Puis

Pour chacune des doubles intégrales par G. 1 I. G. 2 Pour répéter la formule

où [ uNE.; b.] - Projection de la région RÉ. sur l'axe BŒUF.,

y. = y. 1 (x.) - L'équation de la courbe de délimitation inférieure,

y. = y. 2 (x.) - L'équation de la courbe de limitation supérieure.

Nous écrivons les équations des limites de la région G. 1 et trouver

UN B: y. = 2x., 0 ≤ x. ≤ 1; UN D: , 0 ≤ x. ≤ 1.

Faire une équation de la frontière AVANT JC. Région G. 2 Utilisation de la formule

AVANT JC.: Où 1 ≤ x. ≤ 3.

Dc: 1 ≤ x. ≤ 3.

Tâche 7.

Exemple 1. Trouver le travail de pouvoir L.: y. = x. 3 du point M.(0; 0) au point N.(1; 1).

Décision. Le fonctionnement de la force variable lors du déplacement du point de matériau sur l'arc de la courbe L. Déterminer par formule (2.3) (comme une intégrale curviligne du deuxième type de la fonction de courbe L.) .

Comme la fonction de vecteur est définie par l'équation et l'arc d'une courbe orientée à plat est déterminée explicitement par l'équation y. = y.(x.), x. Î [ x. 1 ; x. 2] où y.(x.) fonction continuellement différente, alors selon la formule (2.7)

Dans cet exemple y. = x. 3 , , x. 1 = x M. = 0, x. 2 = x N. \u003d 1. Donc donc

Exemple 2.. Trouver le travail de pouvoir Lors du déplacement du point de matériau le long de la ligne L.: x. 2 + y. 2 \u003d 4 du point M.(0; 2) au point N.(–2; 0).

Décision. En utilisant la formule (2.3), nous obtenons

.

Dans l'exemple d'un arc de la courbe L.(È Mn.) - il s'agit d'un quart du cercle défini par l'équation canonique x. 2 + y. 2 = 4.

Pour calculer l'intégrale curviligne du deuxième type, il est plus pratique de passer à la tâche paramétrique du cercle: x. = Rcos. t., y. = R péché. t. et profiter de la formule (2.5)

Car x. \u003d 2COS. t., y. \u003d 2Sin t., , Recevoir

Tâche 8.

Exemple 1.. Calculer le module de circulation de champ de vecteur Le long du contour G.:

Décision. Calculer la circulation du champ vectoriel le long d'un contour fermé G. Nous utilisons la formule (2.4)

Puisque le champ vectoriel spatial est défini et circuit fermé spatial G., passant de la forme de vecteur d'écriture d'une intégrale curviligne à la forme de coordonnées, obtenir

Courbe G. Comme l'intersection de deux surfaces est donnée: paraboloïde hyperbolique z \u003d x. 2 – y. 2 + 2 et cylindre x. 2 + y. 2 \u003d 1. Pour calculer l'intégrale curvilignee, il est pratique de passer aux équations de courbe paramétrique. G..

L'équation de surface cylindrique peut être écrite sous la forme:
x. \u003d Cos. t., y. Péché t., z. = z.. Expression z. Dans les équations paramétriques, la courbe est obtenue par substitution x. \u003d Cos. t., y. Péché t. Dans l'équation hyperbolique paraboloïde z \u003d. 2 + cos 2 t. - Sin 2. t. \u003d 2 + cos 2 t.. Alors, G.: x. \u003d Cos. t.,
y. Péché t., z. \u003d 2 + cos 2 t., 0 ≤ t. ≤ 2p.

Depuis la courbe incluse dans les équations paramétriques G. Les fonctions
x.(t.) \u003d Cos. t., y.(t.) \u003d Péché. t., z.(t.) \u003d 2 + cos 2 t. sont des fonctions de paramètres continuellement différentielles t. pour t. Î, alors l'intégrale curviligne est trouvée selon la formule (2,6)

16.3.2.1. Détermination de l'intégrale curviligne du premier type.Laisser entrer dans l'espace des variables x, y, z une courbe lisse par morceaux est définie sur laquelle la fonction est définie. f. (x. ,y. ,z. ). Courbe les courbes des points en pièces, sur chacun des arcs, choisissez un point arbitraire, trouver et la longueur de l'arc et s'élevait à la quantité intégrée. S'il y a une limite de la séquence de quantités intégrées, non dépendant du procédé de fractionnement de la courbe aux arcs, ni de la sélection des points, la fonction f. (x. ,y. ,z. ) est appelé une courbe intégrable et la valeur de cette limite est appelée intégrale curviligne du premier type, ou une intégrale curviligne de la longueur de l'arc de la fonction f. (x. ,y. ,z. ) Par courbe, et dénote (ou).

Théorème existant. Si la fonction f. (x. ,y. ,z. ) Continu sur une courbe lisse par morceaux, il est intégré à cette courbe.

Caisse close courbe. Dans ce cas, comme point initial et final, vous pouvez prendre un point arbitraire de la courbe. La courbe fermée sera appelée à l'avenir contour Et dénote la lettre AVEC . Le fait que la courbe sur laquelle l'intégrale est calculée est fermée, il est de coutume de désigner le cercle sur le signe intégré :.

16.3.2.2. Propriétés de l'intégrale curviligne du premier type.Pour cette intégrale, les six propriétés sont valables pour une double intégrale spécifique, double, à partir de linéarité avant que théorèmes moyens. Formuler et prouver les seul. Cependant, la septième propriété personnelle est juste pour cette intégrale:

L'indépendance de l'intégrale curviligne de la première forme sur la direction de la courbe:.

Preuve. Les sommes intégrées pour les intégrales debout dans les parties droite et gauche de cette égalité, avec toute courbe de fractionnement et le choix des points coïncident (toujours la longueur de l'arc), donc leurs limites sont égales à.

16.3.2.3. Calcul de l'intégrale curviligne du premier type. Exemples.Laissez la courbe est définie par des équations paramétriques, où - des fonctions continuellement différentielles et laissez les points qui définissent le fractionnement de la courbe correspondent à la valeur de paramètre, c'est-à-dire . Ensuite (voir la section 13.3. Calculez les longueurs des courbes). Par le théorème moyen, il y a un point tel que. Sélectionnez les points qui entraînent la valeur du paramètre :. Ensuite, le montant intégral d'une intégrale curviligne sera égal à une quantité intégrale pour une intégrale spécifique. Depuis, se tournant vers la limite quand dans l'égalité, nous obtenons

Ainsi, le calcul de l'intégrale curviligne du premier type est réduit au calcul d'une intégrale spécifique par paramètre. Si la courbe est définie de manière paramétrique, cette transition ne cause pas de difficultés; Si une description verbale qualitative de la courbe est donnée, la principale difficulté peut être l'introduction d'un paramètre sur la courbe. Nous soulignons une fois de plus que l'intégration conduit toujours à une augmentation du paramètre.

Exemples. 1. Calculez-vous là-bas - un tour de la spirale

Ici, la transition vers une intégrale spécifique des problèmes ne cause pas: trouver et.

2. Calculez la même intégrale dans le segment d'un point de connexion de ligne droite et.

Ici, il n'y a pas de courbe paramétrique paramétrique directe, donc Autant Vous devez entrer le paramètre. Les équations paramétriques droites ont une vue où - le vecteur de guide, le point est droit. En tant que point, nous prenons un point comme un vecteur de guide - Vecteur :. Il est facile de voir que le point correspond à la valeur, le point est la valeur.

3. Trouver, où - une partie de la section transversale du plan de cylindre z. =x. +1, couché dans la première octan.

Décision: Les équations paramétriques du cercle - Guide Cylindre sont visualisées x. \u003d 2COSJ, y. \u003d 2Sinj, et depuis z \u003d x. +1, T. z. \u003d 2COSJ + 1. Alors,

alors

16.3.2.3.1. Calcul de l'intégrale curviligne du premier type. Cas plate.Si la courbe réside dans un plan de coordonnées, par exemple, plan Ohu et défini comme une fonction, alors envisagez h. En tant que paramètre, nous obtenons la formule suivante pour calculer l'intégrale :. De même, si la courbe est définie par l'équation, alors.

Exemple. Calculez, où se trouve un quart du cercle couché dans le quatrième quadrant.

Décision.1. Considérant h. comme paramètre, nous obtenons, donc

2. Si pour le paramètre prend une variable w. , ensuite.

3. Naturellement, vous pouvez prendre des équations de cercle paramétrique classiques :.

Si la courbe est définie dans des coordonnées polaires, puis et.