Sont tout droit parallèle. Comment prouver le parallélisme de direct. Parallèle directement dans la vie

Instruction

Avant de commencer la preuve, assurez-vous que la droite réside dans le même plan et peut être représentée dessus. Le moyen le plus simple des preuves est la méthode de mesure de la règle. Pour ce faire, en utilisant une règle, mesurez la distance entre directement dans plusieurs endroits dans la mesure du possible les unes des autres. Si la distance reste inchangée, les données sont directement parallèles. Mais cette méthode n'est pas assez précise, il est donc préférable d'utiliser d'autres moyens.

Passez la troisième droite, de sorte qu'il traverse les deux parallèles droit. Il forme avec eux quatre coins externes et quatre coins internes. Considérer les angles internes. Ceux qui se situent à travers le direct demandé sont appelés cross-country. Ceux qui se trouvent d'un côté sont appelés unilatéral. Avec l'aide du transporteur, mesurez deux angles de passage internes. S'ils sont égaux les uns aux autres, alors direct sera parallèle. Si des doutes restent, mesurez des angles internes unilatéraux et de plier les valeurs résultantes. La droite sera parallèle si la somme d'angles internes unilatéraux sera de 180º.

S'il n'y a pas de transport, prenez le carbone avec un angle de 90º. Avec elle, construisez une perpendiculaire à l'une des lignes droites. Après cela, continuez cette perpendiculaire pour que cela traverse un autre direct. Avec l'aide du même carré, vérifiez à quel angle cette croix perpendiculaire. Si cet angle est également de 90º, alors tout droit parallèle.

Dans le cas où Direct sont définis dans le système de coordonnées cartésiennes, trouvez leurs guides ou leurs vecteurs normaux. Si ces vecteurs, respectivement, les uns avec les autres collinese, puis droit parallèlement. Donnez à l'équation directement au type général et trouvez les coordonnées du vecteur normal de chacune des personnes directes. Ses coordonnées sont égales aux coefficients A et V. dans le cas où le rapport des coordonnées respectives des vecteurs normaux est identique, ils sont colinéaires et directement parallèles.

Par exemple, des lignes droites sont données par des équations 4x-2AU + 1 \u003d 0 et X / 1 \u003d (U-4) / 2. La première équation est un type commun, le second - canonique. Donnez la deuxième équation à l'esprit général. Utilisez la règle de conversion des proportions pour cela, en conséquence, obtenez 2x \u003d Y-4. Après avoir apporté au type général, vous obtenez 2x-y + 4 \u003d 0. Étant donné que l'équation de la forme générale pour tout droit est écrite sur AH + W + C \u003d 0, puis pour le premier direct: A \u003d 4, B \u003d 2, et pour le second direct A \u003d 2, B \u003d 1. Pour les premières coordonnées directes du vecteur normal (4; 2), et pour le second - (2; 1). Trouvez le rapport des coordonnées correspondantes des vecteurs normaux 4/2 \u003d 2 et 2/1 \u003d 2. Ces chiffres sont égaux, ce qui signifie le vecteur de collinear. Depuis le vecteur colinéaire, droit parallèle.

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Dans le plan, sont directement appelés parallèlement, s'ils ne disposent pas de points communs, ils ne se croisent pas. Pour indiquer le parallélisme, utilisez une icône spéciale || (lignes droites parallèles A || b).

Pour mentir direct dans l'espace, les exigences de l'absence de points commun ne suffisent pas - de sorte qu'elles soient dans l'espace parallèle, elles doivent appartenir au même plan (sinon ils se croisent).

Pour des exemples de lignes droites parallèles, il n'est pas nécessaire d'aller, ils nous accompagnent partout, dans la chambre sont des lignes d'intersection du mur avec un plafond et un sol, sur une feuille de cahier - des bords opposés, etc.

Il est clair que, ayant le parallélisme de deux lignes droites et le troisième direct, parallèle l'un des deux premiers, il sera parallèle et le second.

Les lignes droites parallèles sur le plan sont associées à une affirmation qui n'est pas prouvée à l'aide d'un axiome de planimétrie. Il est considéré comme un fait qu'un axiome: pour tout point d'un avion qui ne se trouve pas sur la ligne, il y a une seule ligne droite qui la passe parallèlement à cela. Cet axiome connaît chaque sixième niveleuse.

Sa généralisation spatiale, c'est-à-dire que l'affirmation est que, pour tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur la ligne, il existe une seule ligne droite qui la passe parallèlement à cela, il est facilement prouvé à l'aide des axiomes de parallélisme dans l'avion.

Propriétés des lignes parallèles

• Si l'un des deux parallèles est directement parallèle au troisième, ils sont mutuellement parallèles.

Par cette propriété, des lignes droites parallèles et sur l'avion et dans l'espace sont possédées.
À titre d'exemple, considérons sa raison de la stéréométrie.

Supposons que le parallélisme de direct B et direct a.

Le cas où tous les mensonges droites dans le même plan quitteront la planimétrie.

Supposons que A et B appartiennent au plan du betta, et le gamma est un avion appartenant à A et C (par définition du parallélisme dans l'espace, le direct devrait appartenir au même plan).

Si nous supposons que les avions du betta et de la gamma sont différents et notés sur une ligne droite B du plan du betta, un point B, l'avion passé à travers le point B et direct c devrait traverser le plan de la bette dans un ligne droite (nous l'indiquons B1).

Si la ligne droite obtenue B1 a traversé le plan de la gamma, puis, d'une part, le point d'intersection devrait s'allonger sur A, car B1 appartient au plan du betta, et de l'autre, il devrait également appartenir à et c parce que B1 appartient au troisième avion.
Mais après tout, les lignes droites parallèles et la persécution ne devraient pas.

Ainsi, la droite B1 devrait appartenir au plan de Betta et à la même temps à ne pas avoir de points communs avec A, par conséquent, selon l'axiome du parallélisme, il coïncide avec b.
Nous avons obtenu le coïncidant avec une ligne droite directe B1, qui appartient au même plan avec une ligne droite avec et en même temps qu'il ne se croisit pas, c'est-à-dire, b et c-parallèle

• À travers un point qui ne ment pas sur une ligne droite donnée, un seul est la seule ligne droite peut passer le parallèle à cela.

• Couché sur le plan perpendiculaire aux deux troisièmes parallèles directs.

• Sous réserve de l'intersection du plan de l'un des deux points directs parallèles, les mêmes plans et la deuxième ligne droite.

• Les angles internes correspondants et plus proches formés par l'intersection du troisième direct parallèle, sont égaux, la quantité d'unilatérale interne est de 180 ° formée en même temps.

Des allégations étrangères pouvant être prises pour des signes de parallélisme de deux lignes droites.

État du parallélisme direct

Les propriétés et les caractéristiques ci-dessus sont les conditions de parallélisme de direct et peuvent être prouvées par des méthodes de géométrie. En d'autres termes, pour prouver le parallélisme de deux directs disponibles, il suffit de prouver leur parallèle de la troisième ligne droite ou d'égalité des angles, qu'ils soient appropriés ou responsables, etc.

Pour la preuve, utilisez principalement la méthode «du contraire», c'est-à-dire avec l'hypothèse que les non-parallèles directs. Sur la base de cette hypothèse, on peut facilement démontrer que dans ce cas, les conditions spécifiées sont violées, par exemple, les angles internes mentionnés s'avèrent inégal, ce qui prouve l'incorrect de l'hypothèse faite.

Cet article concerne le parallèle direct et sur le parallélisme direct. Au début, la définition de parallèle direct sur l'avion et dans l'espace, la notation a été introduite, des exemples et des illustrations graphiques de lignes droites parallèles sont données. Ensuite, démontait ensuite les signes et conditions du parallélisme de direct. La conclusion montre les solutions des tâches caractéristiques sur la preuve du parallélisme de direct, qui sont données par certaines équations de la ligne droite dans le système de coordonnées rectangulaires sur l'avion et dans un espace en trois dimensions.

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Direct parallèle - informations de base.

Définition.

Deux avions droit sont appelés parallèleS'ils n'ont pas de points communs.

Définition.

Deux étoiles dans l'espace tridimensionnel sont appelées parallèleS'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Veuillez noter que la réservation "s'ils se trouvent dans le même avion" dans la définition de parallèle direct dans l'espace est très importante. Expliquons ce moment: deux étoiles dans un espace en trois dimensions qui n'ont pas de points communs et ne sont pas situés dans le même plan ne sont pas parallèles, mais se croisent.

Voici quelques exemples de lignes droites parallèles. Les bords opposés de la feuille de portable se trouvent sur des lignes droites parallèles. Direct, par lequel le plan du mur de la maison traverse le plan du plafond et du sol, sont parallèles. Les rails ferroviaires sur un terrain plat peuvent également être considérés comme parallèlement droit.

Pour indiquer une utilisation directe parallèle le symbole "". C'est-à-dire que si direct A et B sont parallèles, vous pouvez enregistrer brièvement un b.

Remarque: Si Direct A et B sont parallèles, nous pouvons dire que le direct A est parallèle à la ligne droite B et que la droite B est parallèle à diriger une.

Voici la déclaration qui joue un rôle important dans l'étude des lignes droites parallèles dans l'avion: à travers un point qui ne ment pas sur ce direct, la seule ligne droite, parallèle à cela. Cette déclaration est adoptée comme un fait (elle ne peut être prouvée sur la base de la planimétrie par l'axe), et elle s'appelle axiome de lignes droites parallèles.

Pour le cas dans l'espace, le théorème est valide: à travers n'importe quel point d'espace qui ne se trouve pas sur une ligne droite donnée, la seule ligne droite, parallèle à cela. Ce théorème est facilement prouvé à l'aide de l'axiome ci-dessus parallèle direct (sa preuve que vous pouvez trouver dans le manuel de géométrie 10-11, qui est spécifiée à la fin de l'article sur la littérature).

Pour le cas dans l'espace, le théorème est valide: à travers n'importe quel point d'espace qui ne se trouve pas sur une ligne droite donnée, la seule ligne droite, parallèle à cela. Ce théorème est facilement prouvé en utilisant les lignes droites ci-dessus axiom parallèles.

Parallélisme des signes directs et des conditions de parallélisme.

Un signe de parallélisme direct Il s'agit d'une condition suffisante pour le parallélisme de Direct, c'est-à-dire une telle condition, dont l'exécution garantit le parallèle de direct. En d'autres termes, la mise en œuvre de cette condition suffit à indiquer le fait du parallélisme de direct.

Il existe également des conditions suffisantes et suffisantes pour le parallélisme direct sur l'avion et dans un espace en trois dimensions.

Expliquons le sens de la phrase "nécessaire et suffisante de la condition de parallélisme de direct".

Avec une condition suffisante de parallélisme, nous avons déjà compris. Et quelle est la "condition nécessaire du parallélisme de direct"? Par le nom "nécessaire", il est clair que l'exécution de cette condition est nécessaire au parallélisme de direct. En d'autres termes, si la condition requise du parallélisme direct n'est pas remplie, les lignes droites ne sont pas parallèles. De cette façon, condition requise et suffisante parallélisme - Cette condition, dont l'exécution est à la fois nécessaire et suffisante pour le parallélisme des lignes droites. C'est-à-dire, d'une part, il s'agit d'un signe de parallélisme direct et, d'autre part, il s'agit d'une propriété parallèle.

Avant de formuler la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de direct, il est conseillé de rappeler à plusieurs définitions auxiliaires.

Chantant droit - Il s'agit d'une ligne droite qui traverse chacune des deux lignes droites décontracances définies.

Lors du passage à deux sécants directs, huit non verminés. Dans le libellé de la condition nécessaire et suffisante du parallélisme de la participation directe, appelée lED, respectivement et coins unilatéraux. Montrez-les dans le dessin.

Théorème.

Si deux personnes directes sur le plan sont croisées par l'unité, alors pour leur parallèle, il est nécessaire et suffisant pour que les angles sous-jacents soient égaux ou les angles correspondants étaient égaux, ou la somme des coins unilatéraux était de 180 degrés.

Nous montrons l'illustration graphique de cette condition nécessaire et suffisante de parallélisme directement sur l'avion.

La preuve de ces conditions de parallélisme direct peut être trouvée dans les manuels de géométrie pour 7 -9 classes.

Notez que ces conditions peuvent également être utilisées dans un espace en trois dimensions - la principale chose est que deux droits droits et sécants dans le même plan.

Nous donnons quelques théorèmes souvent utilisés dans la preuve de parallélisme de direct.

Théorème.

Si deux lignes droites sur le plan sont parallèles à la troisième droite, elles sont parallèles. La preuve de cette fonctionnalité découle de l'axiome de parallèle direct.

Il existe une condition similaire pour le parallélisme de direct dans l'espace tridimensionnel.

Théorème.

Si les deux droites dans l'espace sont parallèles au troisième droit, ils sont parallèles. La preuve de cette fonctionnalité est considérée dans les leçons de la géométrie au cours de la 10e année.

Nous illustrons les théorèmes exprimés.

Nous donnons un autre théorème qui vous permet de prouver le parallélisme de direct dans l'avion.

Théorème.

Si deux droites sont perpendiculaires à la troisième droite, ils sont parallèles.

Il y a un théorème similaire pour direct dans l'espace.

Théorème.

Si deux points directs dans un espace tridimensionnel sont perpendiculaires à un plan, ils sont parallèles.

Je vais décrire les dessins correspondant à ces théorèmes.

Tous les théorèmes formulés ci-dessus, les signes et les conditions nécessaires et suffisantes sont parfaitement adaptés à la preuve du parallélisme des méthodes de géométrie directe. C'est-à-dire de prouver le parallélisme des deux directs spécifiés pour montrer qu'ils sont parallèles à la troisième ligne droite ou à montrer l'égalité du passage des angles de mensonge, etc. Beaucoup de telles tâches sont résolues dans les leçons de la géométrie au lycée. Cependant, il convient de noter que dans de nombreux cas, il est pratique d'utiliser la méthode de coordonnée pour prouver le parallélisme de direct sur l'avion ou dans un espace en trois dimensions. Nous formulons les conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme de direct, qui sont spécifiées dans le système de coordonnées rectangulaires.

Parallélisme de direct dans le système de coordonnées rectangulaires.

Dans ce paragraphe de l'article, nous formulerons conditions requises et suffisantes de parallélisme direct Dans un système de coordonnées rectangulaires, en fonction du type d'équations qui déterminent ces personnes directes et donnent également des solutions détaillées aux tâches caractéristiques.

Commençons par la condition du parallélisme de deux directs sur l'avion dans le système de coordonnées oxy rectangulaire. La base de sa preuve est la définition du vecteur de guidage direct et la définition des vecteurs normaux dans l'avion.

Théorème.

Pour la parallélélity des deux lignes droites incohérentes sur l'avion, il est nécessaire et suffisamment que les vecteurs de guidage de ces lignes étaient colinéar, ou les vecteurs normaux de ces lignes droites ont été colinéar, ou le directeur d'une ligne droite était perpendiculaire à la normale. Vecteur du deuxième direct.

Évidemment, la condition de parallélisme de deux lignes droites sur le plan est réduite à (guides de vecteurs de vecteurs directs ou normaux de lignes droites) ou de k (vecteur de guidage d'une deuxième ligne de vecteur droit et normal). Ainsi, si les deux deux - vecteurs directs de directs A et B, et et - des vecteurs normaux de lignes droites A et B, respectivement, les conditions nécessaires et suffisantes de parallélisme de Direct A et B seront enregistrées comme , ou , ou où T est un nombre valide. À son tour, les coordonnées du guide et (ou) des vecteurs normaux des lignes droites A et B sont situés selon les équations bien connues de direct.

En particulier, si dirigé A dans le système rectangulaire de coordonnées oxy sur le plan définit l'équation générale de type direct et droite b - , Les vecteurs normaux de ces directs ont des coordonnées et, en conséquence, et la condition de parallélisme de A et B direct seront enregistrées comme.

Si le direct A correspond à l'équation d'une ligne droite avec un coefficient angulaire de l'espèce et que direct B -, les vecteurs normaux de ces directions ont des coordonnées et et la condition du parallélisme de ces directs prendra la forme . Par conséquent, si directement sur l'avion dans le système de coordonnées rectangulaires est parallèle et peut être réglé par des équations de coefficients angulaires, les coefficients d'angle seront égaux. Et retour: si les lignes droites de coordonnées sur l'avion dans le système de coordonnées rectangulaires peuvent être données par les équations de manière directe avec des coefficients angulaires égaux, alors de manière directe sont parallèles.

Si direct A et droit B dans un système de coordonnées rectangulaires définissent des équations canoniques directement sur le plan de l'espèce et ou des équations paramétriques directement sur le plan de l'espèce et En conséquence, les vecteurs de guidage de ces directs ont des coordonnées et, et la condition du parallélisme de direct A et B est enregistrée comme.

Nous analyserons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Si des lignes droites sont parallèles et?

Décision.

Je réécris l'équation est directement dans des segments sous la forme d'une équation directe générale: . Maintenant on peut voir que - le vecteur normal droit et - vecteur normal droit. Ces vecteurs ne sont pas colinéar, car il n'y a pas de tel numéro valide pour lequel l'égalité est vraie ( ). Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante de parallélisme de direct sur le plan n'est pas effectuée, par conséquent, les lignes droites spécifiées ne sont pas parallèles.

Réponse:

Non, le droit n'est pas parallèle.

Exemple.

Sont le droit et parallèle?

Décision.

Nous donnons directement l'équation canonique à l'équation directe avec le coefficient angulaire :. Il est évident que les équations de direct et non identiques (dans ce cas, les lignes droites spécifiées coïncideraient) et les coefficients angulaires du direct sont égaux, par conséquent, les parallèles droits initiaux.

Ils ne se croisent pas, peu importe combien ils continuent. Le parallélisme de la lettre directe sur la lettre est noté: UN B|| AVECE.

La possibilité d'existence d'un tel théorème prouve un tel direct.

Théorème.

Après toutes sortes de points, sorties de ce direct, vous pouvez passer parallèlement à ce direct.

Laisser UN B Ce direct I. AVEC Un point retiré de celui-ci. Il est nécessaire de prouver que par AVEC Vous pouvez dépenser directement parallèleUN B. Omettre UN B De ce point AVEC perpendiculaireAVECRÉ. Puis dépenser AVECE.^ AVECRÉ., ce qui est possible. Droit CE Parallèle UN B.

Pour la preuve, nous disons méchant, c'est-à-dire que CE intersects UN B À un moment donné M.. Puis du point M. à diriger AVECRÉ. Nous aurions deux différents perpendiculaires M.RÉ. et MMEC'est impossible. Ça veut dire CE ne peut pas croiser avec UN B. AVECE. Parallèle UN B.

Corollaire.

Deux perpendiculaires (avecE. etDB) à une ligne droite (avecRÉ.) Parallèle.

Lignes parallèles axiom.

Après le même point, deux lignes droites différentes, parallèlement à la même ligne droite, ne peuvent être tenues.

Donc, si simple AVECRÉ.Parlant AVEC Direct parallèle UN B, alors tous les autres droits AVECE.passé à travers le même point AVECne peut pas être parallèle UN B. Elle continue acheteravec UN B.

La preuve de cette vérité pas assez évidente n'est impossible. Il est accepté sans preuve comme hypothèse nécessaire (postulatum).

Conséquences.

1. Si droit(AVECE.) intersecte avec l'un des Parallèle(St.), alors il se coupe avec l'autre ( UN B) Parce que sinon à travers le même point AVEC Il y aurait deux droits différents, parallèles UN BC'est impossible.

2. Si chacun des deux direct (UNE. etB.) Parallèlement à la même troisième ligne droite ( AVEC) , puis ils parallèle Entre elles.

En effet, en supposant que UNE. et B. intersecter à un moment donné M., puis à travers ce point, il y avait deux autres droits différents, parallèles AVECC'est impossible.

Théorème.

Si un perpendiculaire directà l'une des lignes droites parallèles, il est perpendiculaire à un autre parallèle.

Laisser UN B || AVECRÉ. et Ef. ^ UN BCrée pour prouver que Ef. ^ AVECRÉ..

PerpendiculaireE.F.Traversant S. UN Bva certainement croiser et AVECRÉ.. Laisser le point d'intersection être H..

Supposons maintenant que AVECRÉ. Pas perpendiculaire à K. Hein. Puis un autre droit, par exemple Hk.sera perpendiculaire à Hein Et, par conséquent, à travers le même point H. Deux aura lieu droit parallèle UN B: une AVECRÉ., par condition et l'autre Hk. Selon le prouvé précédemment. Comme il est impossible, il est impossible de supposer que St. n'était pas perpendiculaire à Hein.