Rangées avec des membres complets.

19.3.1. Rangées numériques avec des membres complets. Toutes les définitions majeures de la convergence, des propriétés de la série convergente, des signes de convergence pour des lignes complexes ne sont pas différentes de l'affaire réelle.

19.3.1.1. Définitions principales. Laissez une séquence infinie de nombres complexes. La partie réelle du nombre sera notée par imaginaire - (c.-à-d.

Rangée numérique - Vue record .

Sommes partielles de la rangée:

Définition. S'il y a une limite S. Les séquences de sommes partielles de la série avec son propre nombre intégré, ils disent qu'une série converge; numéro S. Appelez la somme de la ligne et écrivez ou.

Trouvez des parties valides et imaginaires de sommes partielles: où les caractères et les parties valides et imaginaires de la quantité partielle sont indiquées. La séquence numérique est convergée alors et uniquement si les séquences composées de ses pièces valides et imaginaires sont convergées. Ainsi, une rangée avec des membres complets converge alors et uniquement si les rangs formés par ses parties réelles et imaginaires sont convergées.

Exemple.

19.3.1.2. Convergence absolue.

Définition. Un nombre appelé absolument convergentSi un nombre converge compilé des valeurs absolues de ses membres.

Tout comme pour les lignes valides numériques avec des membres arbitraires, il est possible de prouver que si un nombre converge, un nombre converge. Si une série converge, et la rangée diverge, la plage est appelée convergence conditionnelle.

Un nombre est une série de membres non négatifs, toutes les caractéristiques connues peuvent donc être appliquées pour étudier sa convergence (des théorèmes de comparaison au signe intégral de Cauchy).

Exemple. Explorez la convergence de la ligne.

Nous allons former une rangée de modules () :. Cette série converge (signe de Cauchy ) La série initiale converge absolument.

19.1.3.4. Propriétés de la série convergente.Pour la série convergente avec des membres complets, toutes les propriétés de la série avec des membres valides sont valides:

Signe requis de la convergence de la série. Le membre général de la ligne concernée cherche à zéro.

Si un nombre converge, il converge l'un de ses soldes, le dos, si un résidu de la rangée converge, puis la rangée elle-même converge.

Si une série converge, alors la somme de son résidu aprèsn. -Ho membre cherche zéro avec.

Si tous les membres de la ligne convergente multiplient le même nombre avec, alors la convergence de la série se poursuivra et la quantité se multipliera sur avec.

Rangées convergentes ( MAIS) et ( À) Vous pouvez plier et soustraire le rachat; La série résultante convergera également et sa quantité est égale à.

Si des membres de la série convergente sont regroupés au hasard et élaborent une nouvelle ligne de membres des membres de chaque paire de parenthèses rondes, alors cette nouvelle ligne convergera également et son montant sera égal au montant de la série d'origine.

Si une série converge absolument, alors avec toute permutation de ses membres, la convergence est préservée et la quantité ne change pas.

Si des rangées ( MAIS) et ( À) converger absolument à votre montant et, alors leur travail avec un ordre aléatoire des membres converge également absolument et sa quantité est égale.

19.3.2. Rangées intégrées par central.

Définition.Poweraria à côté des membres complexes est appelé une série d'espèces.

lorsque - des nombres complexes constants (coefficients de la série) sont un nombre intégré fixe (centre du cercle de convergence). Pour toute valeur numérique z. La série se transforme en une série numérique avec des membres complets, qui se déplace ou consacré. Si une série converge au point z. , alors ce point s'appelle un point de convergence d'une série. La ligne électrique a au moins un point de convergence. L'ensemble des points de convergence s'appelle la zone de la convergence de la rangée.

En ce qui concerne la série puissante avec des membres valides, toutes les informations significatives sur la série Power sont contenues dans le théorème Abel.

Théorème Abel.Si la ligne d'alimentation converge au point, alors

1. Il est absolument convergé n'importe où dans le cercle. ;

2. Si cette série diverge au point, il dissipe n'importe où z. Inégalité satisfaisante (c'est-à-dire plus loin du point que).

La preuve répète littéralement la preuve de la section 18.2.4.2. Théorème abélien Pour un numéro avec des membres valides.

Le théorème d'Abel suit l'existence d'un nombre réel aussi négatif R qu'un certain nombre de convergent absolument dans n'importe quel point intérieur du cercle de rayon R Avec le centre au point et diverge n'importe où en dehors de ce cercle. Numéro R appelé rayon de convergence, un cercle - autour de la convergence. Aux points de la limite de ce cercle - le cercle du rayon R Avec le centre au point - la ligne peut converger et se disperser. A ces points, la ligne de modules a la forme. Il y a de tels cas:

1. Une série converge. Dans ce cas, à tout moment du cercle, la série converge absolument.

2. Une rangée diverse, mais son membre global . Dans ce cas, à certains endroits du cercle, la rangée peut classiquement, dans d'autres - se disperser, c'est-à-dire Chaque point nécessite une étude individuelle.

3. La ligne diverge et son membre global ne cherche pas zéro à. Dans ce cas, la ligne diverge à tout moment du cercle de frontières.

Méthodes standard, mais est venue à une impasse avec un autre exemple.

Quelle est la difficulté et où peut-on le chic? Nous reporterons dans la direction de la corde lavée, analysez calmement les raisons et se familiariser avec les techniques pratiques de la décision.

Premier et surtout: Dans la majorité écrasante des cas, il existe une manière familière d'étudier la convergence d'une série, mais le membre général de la rangée est bourré de ce qui n'est pas évident qu'il n'est pas nécessaire de le faire. Et vous allez dans un cercle: le premier signe ne fonctionne pas, la seconde ne convient pas, elle n'est pas obtenue par la troisième, quatrième, cinquième méthode, puis les brouillons sont rejetés sur le côté et tout recommence. Ceci est généralement associé à un manque d'expérience ou d'espaces dans d'autres sections d'analyse mathématique. En particulier, si elle courante limites des séquences et superficiellement démantelé limites des fonctions, alors il y aura serré.

En d'autres termes, une personne ne voit tout simplement pas la nécessité d'une décision en raison du manque de connaissances ou d'expérience.

"Eclipse" est de blâmer, par exemple, le signe nécessaire de la convergence d'une série, mais pour l'ignorance, l'inattention ou la négligence tombe à l'abri des regards. Et il s'avère dans ce vélo, où professeur de mathématiques a décidé d'un graphique d'un enfant avec des séquences récurrentes sauvages et des rangées numériques \u003d)

Dans les meilleures traditions en direct des exemples: des rangées et leurs proches - divergent, parce que dans la théorie s'est avéré limites des séquences . Très probablement, au premier semestre, l'âme de la preuve de 1-2-3 pages sera portée de votre part, mais il suffit maintenant de montrer le défaut de se conformer aux conditions nécessaires à la convergence d'un nombre, qui se réfère. aux faits bien connus. Célèbre? Si un étudiant sait que la racine d'un Ennoye - la chose est extrêmement puissante, alors disons des rangées Mettez-le dans une impasse. Bien que la solution, comme deux fois deux:, c'est-à-dire Pour une raison raisonnable, les deux rangées sont divergées. Le commentaire modeste "Ces limites sont prouvés dans la théorie" (ou même son absence du tout) est assez assez pour le test, après tout, les calculs sont assez lourds et ils appartiennent exactement à la division des rangées numériques.

Et ayant étudié les exemples à venir, vous ne serez surpris que par la brièveté et la transparence de nombreuses solutions:

Exemple 1.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Tout d'abord, vérifiez l'exécution signe requis de convergence. Ce n'est pas une formalité, mais une excellente chance de faire face à un exemple de «sang bas».

"Inspection de la scène" suggère un nombre divergent (cas d'une série harmonique généralisée), mais la question se pose encore une fois la question de prendre en compte le logarithme du numérateur?

Exemples d'échantillons de conception de tâches à la fin de la leçon.

Pas rare lorsque vous devez effectuer un raisonnement à deux sens (ou même à trois voies):

Exemple 6.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Premièrement, désassemblez soigneusement le taraboare du numérateur. Séquence - Limited:. Puis:

Comparez notre rangée à proximité. En vertu de la double inégalité, il suffit de recevoir, pour tous les "fr" seront effectués:

Maintenant, comparez une ligne avec un côté harmonique divergent.

Ranger Drobi. moins Conducteur de Dannel, donc sécurité elle-même – suite La fraci (remonte quelques premiers membres si non clairs). Ainsi, pour tout "fr":

Et donc, sur la base de la comparaison, un nombre diverger Avec un harmonieux à proximité.

Si un peu modifié le dénominateur: La première partie du raisonnement sera similaire: . Mais pour la preuve de la divergence d'un nombre, seul le signe limite de comparaison est déjà applicable, car l'inégalité est incorrecte.

La situation avec les lignes convergentes de "miroir", c'est-à-dire pour un numéro, vous pouvez utiliser les deux signes de comparaison (l'inégalité est vraie), et pour un nombre - seul le panneau de limite (l'inégalité est incorrecte).

Nous continuons nos safaris de la faune, où l'horizon a imprimé le troupeau d'antilope gracieuse et juteuse:

Exemple 7.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Le signe nécessaire de la convergence est effectué et nous demanderons à nouveau une question classique: que faire? Nous avons quelque chose qui ressemble à une rangée, cependant, il n'y a pas de règles claires ici - de telles associations sont souvent trompeuses.

Souvent, pas cette fois. Par signe maximum de comparaison Comparez notre rangée avec convergeing à proximité. Pendant le calcul de la limite que nous utilisons merveilleuse limite tandis que magnitude infiniment basse Haut-parleurs:

convergerensemble avec à proximité.

Au lieu de l'utilisation de la réception artificielle et de la division standard sur la "troïka", on pourrait initialement comparer avec convergeing à proximité.
Mais ici, la réservation est souhaitable que la constante de membre totale n'affecte pas la convergence d'un nombre. Et juste dans ce style, la décision de l'exemple suivant est émise:

Exemple 8.

Explorez la convergence de la ligne

Échantillon à la fin de la leçon.

Exemple 9.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Dans des exemples précédents, nous avons utilisé la limite de sinus, mais maintenant, cette propriété est hors du jeu. Pilote de canal plus élevé ordre de croissanceque le numérateur, donc quand l'argument des sinus et la bite entière infiniment petit. La condition nécessaire à la convergence, comme vous le comprenez, est remplie, ce qui ne nous permet pas de se pencher du travail.

Conduite: conformément à Équivalence merveilleuse , jetez mentalement des sinus et obtenez un numéro. Eh bien, une telle chose ....

Nous établissons une solution:

Comparez la rangée étudiée avec divergent. Nous utilisons un signe de marque de comparaison:

Nous allons remplacer l'équivalent infiniment petit: quand .

Un nombre fini est obtenu, différent de zéro, ce qui signifie la série à l'étude divergeravec un harmonieux à proximité.

Exemple 10.

Explorez la convergence de la ligne

Ceci est un exemple pour une solution indépendante.

Pour planifier d'autres actions dans de tels exemples, le rejet mental du sinus, de l'arksinus, de la tangente, des arctanènes, est grandement aidé. Mais rappelez-vous que cette possibilité n'existe que lorsque infiniment petitargument, il n'y a pas si longtemps, j'ai eu une série provocante:

Exemple 11.

Explorez la convergence de la ligne
.

Décision: Il est inutile d'utiliser les limitations d'arctgennes inutiles et l'équivalence ne fonctionne pas non plus. La sortie est simple de manière inattendue:


La série étudiée divergerPuisque le signe nécessaire de la convergence d'une série n'est pas effectué.

La deuxième raison «Le cuivre sur la tâche» consiste dans les troubles décents du membre général, qui provoque des difficultés techniques déjà techniques. À peine parlant, si les rangs discutés ci-dessus concernent la catégorie "Fig" devinera ", alors ceci - dans la catégorie" baise que vous déciderez. " En fait, cela s'appelle la complexité de la compréhension «ordinaire». Tout le monde ne détruira pas certainement plusieurs factoriels, degrés, racines et autres habitants de Savannah. Le plus de problèmes sont livrés, bien sûr, factoriels:

Exemple 12.

Explorez la convergence de la ligne

Comment construire factorielle dans la mesure? Facile. Selon la règle d'action avec degrés, il est nécessaire de construire chaque multiplicateur du travail:

Et, bien sûr, attention et encore une fois l'attention, une signature de Dalamber travaille traditionnellement:

Ainsi, la série étudiée converger.

Je rappelle à une méthode rationnelle d'élimination de l'incertitude: quand il est clair ordre de la hauteur Numérateur et dénominateur - ne souffrent pas nécessairement et divulguer des crochets.

Exemple 13.

Explorez la convergence de la ligne

La bête est très rare, mais elle se trouve, et il serait injuste de contourner son objectif de caméra.

Qu'est-ce qu'un factoriel avec une double marque d'exclamation? Le facteur "visser" le produit de nombres positifs:

De même, le «vis» factorial Le travail des nombres inélen positifs:

Analyser dans quelle est la différence entre et

Exemple 14.

Explorez la convergence de la ligne

Et dans cette tâche, essayez de ne pas être confondu avec degrés, merveilleuses équivalences et borders merveilleux.

Exemples de solutions et de réponses à la fin de la leçon.

Mais l'élève va nourrir non seulement les tigres - Cunning Leopards suit sa proie:

Exemple 15.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Presque instantanément, le signe nécessaire de convergence, signe marginal, signes de Dalambert et de Cauchy sont disparus. Mais la pire chose est qu'un signe d'inégalités nous a réservé à plusieurs reprises. En effet, la comparaison avec le divergenting à proximité est impossible, depuis l'inégalité Incorrectement - le multiplicateur du logarithme n'augmente que le dénominateur, réduisant ainsi la fraction elle-même Par rapport à la fraction. Et une autre question globale: pourquoi nous sommes généralement confiants que notre série est certainement obligé de se disperser et doit-il être comparé à tout autre côté divergent? Soudain, il est généralement convergé?

Signe intégré? Impliqué intégralement Tourne l'humeur en deuil. Maintenant si nous avions un numéro … alors oui. Arrêter! Les idées sont donc nées. Nous établissons une solution en deux étapes:

1) Tout d'abord, nous enquêtons sur la convergence de la ligne . Utilisant signe intégré:

Intégrant continu sur le

Ainsi, un nombre Divorces avec l'intégrale incompatible correspondante.

2) comparez notre rangée avec divergent . Nous utilisons un signe de marque de comparaison:

Un nombre fini est obtenu, différent de zéro, ce qui signifie la série à l'étude diverger avec près de .

Et dans cette décision, il n'y a rien d'inhabituel ou de créativité - il est nécessaire de résoudre!

Je propose de délivrer de manière indépendante les deux voies suivantes:

Exemple 16.

Explorez la convergence de la ligne

Un étudiant avec une certaine expérience dans la plupart des cas voit immédiatement un nombre ou des divergents, mais il arrive que le prédateur déguise habilement dans les buissons:

Exemple 17.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Au premier abord, il n'est pas clair que cette série se comporte. Et si nous sommes brouillard, il est logique de commencer par une vérification approximative de la condition nécessaire à la convergence d'une série. Afin d'éliminer l'incertitude, nous utilisons non attérobable méthode de multiplication et de division sur une expression conjuguée:

Le signe nécessaire de convergence n'a pas fonctionné, mais a porté à l'eau potable de notre camarade Tambov. À la suite de la transformation effectuée, une plage équivalente a été obtenue. qui à son tour ressemble fortement à une rangée.

Nous écrivons une solution finie:

Comparez cette série avec convergeing à proximité. Nous utilisons un signe de marque de comparaison:

Multiplier et diviser sur une expression conjuguée:

Un nombre fini est obtenu, différent de zéro, ce qui signifie la série à l'étude converger Ensemble avec à proximité.

Certains ont peut-être une question où les loups sont apparus sur notre safari africain? Je ne sais pas. Apporté, probablement. La prochaine peau du trophée vous obtient:

Exemple 18.

Explorez la convergence de la ligne

Solution d'échantillonnage approximative à la fin de la leçon

Et enfin, une autre pensée que dans le désespoir visit de nombreux étudiants: et ne pas utiliser plus de convergence de signe rare d'une série? Un signe de Raaba, un signe d'Abel, un signe de Gauss, un signe de Dirichle et d'autres animaux inconnus. L'idée est travaillée, mais dans de vrais exemples est effectuée très rarement. Personnellement, pour toutes mes années de pratique que 2 à 3 fois eu recours à signe de RaabeQuand cela n'a rien aidé à partir de l'arsenal standard. Reproduit entièrement le cours de sa quête extrême:

Exemple 19.

Explorez la convergence de la ligne

Décision: Sans aucun doute, un signe de Dalamber. Au cours des calculs, j'utilise activement les propriétés de degrés, ainsi que la deuxième merveilleuse limite:

Donc, une fois. Le signe de Dalamber n'a pas répondu, bien que rien a abandonné un tel résultat.

Livre de référence possibles, j'ai trouvé prouvé dans la théorie une limite peu connue et appliqué un signe radical plus fort Cauchy:

Ici vous êtes deux. Et, surtout, il n'est absolument pas clair, un nombre converge ou diverge (la situation est extrêmement rare pour moi). Signe de comparaison requise? Sans espoir spécial, même si un moyen impensable de faire face à l'ordre de croissance du numérateur et du dénominateur, cela ne garantit pas la rémunération.

Daember complet, mais la très mauvaise chose est que la ligne doit être résolue. Besoin de. Après tout, ce sera la première fois quand je me rends. Et puis je me suis souvenu qu'il semble avoir des signes plus plus puissants. Devant moi n'était plus un loup, pas un léopard et pas un tigre. C'était un énorme éléphant agitant d'un gros tronc. Je devais prendre un lance-grenade:

Signe de Raabe

Considérons une série numérique positive.
S'il y a une limite , ensuite:
a) avec un nombre diverger. Et la valeur résultante peut être zéro ou négative
b) avec un nombre converger. En particulier, la série converge à.
c) pour le signe Raabe ne donne pas de réponse.

Nous faisons une limite et simplifie délicatement la fraction:


Oui, une image, pour la mettre légèrement, un désagréable, mais je n'étais plus surpris. De telles limites sont divisées avec règles de lopitalEt la première idée, telle qu'elle s'est avérée, s'est avérée correcte. Mais au début, quelque part environ une heure se contractèrent les méthodes «ordinaires» limites, mais l'incertitude ne voulait pas résoudre. Et marcher dans un cercle, comme l'expérience dit - un signe typique que la mauvaise solution est choisie.

Je devais faire référence à la sagesse folklorique russe: "Si rien n'aide, lisez les instructions." Et quand j'ai ouvert le 2e Tom Fihtendulz, j'ai trouvé une étude identique à une grande joie. Puis allé sur l'échantillon.

Définition: Numérums proches de nombres intégrés z 1, Z 2, ..., Z N, ... appelé l'expression de la vue

z 1 + z 2 + ..., z n + ... \u003d,(3.1)

où z n s'appelle un membre commun de la série.

Définition: Numéro S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n appelé somme partielle de la rangée.

Définition: Un nombre (1) est appelé convergeant si la séquence (S n) de ses sommes partielles converge. Si la séquence des sommes partielles diverge, la ligne est appelée divergente.

Si une série converge, le nombre S \u003d est appelé la somme de la ligne (3.1).

z n \u003d x n + iy n,

ensuite, un nombre (1) est écrit sous la forme

= + .

Théorème: La série (1) converge ensuite et uniquement si les rangs sont convergés et compilés des parties réelles et imaginaires des membres de la rangée (3.1).

Ce théorème vous permet de transférer des signes de convergence à côté des membres valides vers les rangs avec des membres complets (le signe nécessaire, un signe de comparaison, un signe d'Asimer, Cauchi, etc.).

Définition. Un nombre (1) est appelé absolument convergent si un numéro est convergé des modules de ses membres.

Théorème. Pour la convergence absolue de la rangée (3.1), elle est nécessaire et suffisante pour converger complètement les rangées et.

Exemple 3.1. Découvrez la nature de la convergence de la série

Décision.

Considérer les rangs

Montrons que ces lignes convergent absolument. Pour ce faire, nous prouvons que les rangs

Converger.

Depuis, au lieu d'une rangée, prenez un numéro. Si la dernière ligne converge, le signe de comparaison converge et un nombre.

La convergence de la série et est prouvée à l'aide d'un signe intégré.

Cela signifie que les rangées et convergent absolument et, selon le dernier théorème, la série initiale converge absolument.

4. Rangées de puissance avec des membres complets. Théorème Abel sur les rangées de puissance. Cercle et rayon de convergence.

Définition.Le pouvoir à proximité est une série d'espèces

où ..., - nombre complexe appelé les coefficients du nombre.

La région de la convergence de la série (4.I) est un cercle.

Pour trouver le rayon de la convergence R de cette série, contenant toute la mesure, utilisez l'une des formules:

Si une ligne (4.1) ne contient pas tous les degrés, alors pour trouver, vous devez utiliser directement le signe d'Avimer ou Koschi.

Exemple 4.1. Trouvez un cercle de convergence des rangées:

Décision:

a) Trouver le rayon de la convergence de cette série, nous utilisons la formule

Dans notre cas

D'ici un cercle de convergence d'un nombre est donné l'inégalité

b) Trouver le rayon de la convergence de la série, nous utilisons le signe de l'avimère.

Pour calculer la limite, la règle lopital a été utilisée deux fois.

Sur la base d'Alfer, la ligne convergera si. De là, nous avons un cercle de convergence d'une série.

5. Fonctions indicatives et trigonométriques d'une variable complexe.

6. Théorème Euler. Formulas Euler. Forme indicative d'un nombre complexe.

7. Théorème d'addition. La fréquence de la fonction indicative.

Fonction indicative et fonctions trigonométriques et sont définies comme les sommes de la série de puissances de puissance correspondante, nommément:

Ces fonctions sont liées par des formules d'Euler:

réservé, respectivement, la cosinus hyperbolique et les sinus sont associés à des cosinus trigonométriques et de formules sinusières

Les fonctions ,,, sont définies comme dans l'analyse réelle.

Pour tout nombre intégré, le théorème d'addition a lieu:

Tout numéro complexe peut être enregistré sous une forme indicative:

- Son argument.

Exemple 5.1. Trouver

Décision.

Exemple 5.2. Imaginez un nombre sous une forme indicative.

Décision.

Nous trouvons le module et l'argument de ce numéro:

Alors nous obtenons

8. Limite, continuité et continuité uniforme des fonctions d'une variable complexe.

Laisser E. - Quelques points de l'avion complexe.

Définition. Ils disent que sur l'ensemble E.la fonction est spécifiée f.variable complète z, Si chaque point z. E par règle f.mettre en conformité avec un ou plusieurs nombres complexes w. (Dans le premier cas, la fonction est appelée sans ambiguïté, dans la deuxième-multivalue). Dénoter w \u003d f (z). E. - Zone de définition de la fonction.

Toute la fonction w \u003d f (z) (z \u003d x + iy) peut être écrit sous la forme

f (z) \u003d f (x + iy) \u003d u (x, y) + iv (x, y).

U (x, y) \u003d r f (z) se référer à la partie réelle de la fonction, et V (x, y) \u003d im f (z)- une partie imaginaire de la fonction f (z).

Définition. Laisser la fonction w \u003d f (z) déterminé et sans équivoque dans certains quartiers du point z 0, Exception peut-être le point lui-même z 0. Le numéro A s'appelle la limite de la fonction f (z) Au point z 0Si pour tout ε \u003e 0 Vous pouvez spécifier un tel numéro Δ\u003e 0 pour tous z \u003d z 0 et satisfaisant l'inégalité | Z - Z 0 |< δ , l'inégalité sera effectuée | f (z) - A |< ε.

Record

De la définition, il suit que z → z 0 au hasard.

Théorème. Exister la limite de la fonction w \u003d f (z) Au point z 0 \u003d x 0 + iy 0 Il est nécessaire et suffisamment existant des limites de la fonction U (x, y) et V (x, y) Au point (x 0, y 0).

Définition. Laisser la fonction w \u003d f (z) Il est déterminé et sans ambiguïté dans certains quartiers du point Z 0, y compris ce point lui-même. Une fonction f (z) appelé continu au point z 0 si

Théorème. Pour la fonction de continuité au point z 0 \u003d x 0 + iy 0il est nécessaire et assez pour fonctionner en permanence U (x, y) et V (x, y)au point (x 0, y 0).

Du théorème, il s'ensuit que les propriétés les plus simples relatives à la limite et à la continuité des fonctions de variables valides sont transférées sur les fonctions d'une variable complexe.

Exemple 7.1. Sélectionnez la partie réelle et imaginaire de la fonction.

Décision.

Dans une formule qui spécifie la fonction, nous nous substituerons

À zéro dans deux directions différentes, fonction U (x, y) Il a des limites différentes. Cela signifie que au point z \u003d 0. une fonction f (z) La limite n'a pas de limite. Suivant, fonction f (z)défini aux points où.

Laisser z 0 \u003d x 0 + iy 0, l'un de ces points.

Cela signifie qu'à des points z \u003d x + iypour y 0 fonction est continu.

9. Séquences et lignes des fonctions d'une variable complexe. Convergence uniforme. Continuité de la série Power.

Détermination d'une séquence convergente et d'une série convergente de fonctions d'une convergence variable variable complexe, des théories correspondantes sur la convergence égale, la continuité de la limite de séquence, les sommes du nombre sont formées et prouvées de la même manière que pour les séquences et les lignes de fonctions. de la variable réelle.

Nous donnons les faits nécessaires à la poursuite de la série fonctionnelle.

Laisser dans la zone RÉ. La séquence de fonctions sans ambiguïté de la variable complexe (FN (Z)) est déterminée. Alors symbole:

Appelé fonctionnel près de.

Si un z0. fait parti RÉ. Correction, puis rangée (1) Ce sera numérique.

Définition. Série fonctionnelle (1) appelé convergeing dans la zone RÉ.Si pour tout z.appartenant à RÉ. correspondant à la série numérique converge.

Si la rangée (1) converge dans la zone RÉ.Ensuite, dans cette zone, vous pouvez déterminer la fonctionnalité unique. f (z) dont la valeur à chaque point z. appartenant à RÉ.égal à la somme de la série numérique correspondante. Cette fonctionnalité est appelée somme de rangée (1) dans la région de RÉ. .

Définition. Si un

pour tout le monde z. appartenant à RÉ,l'inégalité est effectuée:

puis rangée (1) appelé convergent uniformément dans la région RÉ..

L'existence du concept de la limite de la séquence (1.5) nous permet de considérer les rangs de la région complexe (numérique et fonctionnel). Les sommes partielles, la convergence absolue et conditionnelle de lignes numériques sont normalement déterminées. Où la convergence d'un nombre implique la convergence de deux rangéesDont l'un consiste en valable et l'autre des parties imaginaires des membres de la série: par exemple, une série converge absolument, et une rangée - DIAIN à (au détriment de la partie imaginaire).

Si les parties réelles et imaginaires de la rangée convergent absolument, il est absolument convergé

rangée, parce que . Droite et inverse: de la convergence absolue d'une rangée complexe

il suit la convergence absolue de la partie réelle et imaginaire:

Semblable aux lignes fonctionnelles dans la région réelle sont déterminées par complexe

série fonctionnelle, la région de leur détective et de leur convergence uniforme. Sans changement

formulé et prouve signe de weierstrass Convergence uniforme. Sauvegarder

toutes les propriétés des rangées de convergence uniformément.

Dans l'étude de la série fonctionnelle, des intérêts particuliers sont pouvoir

lignes:, ou après le remplacement :. Comme dans le cas de valide

variable, Verne théorème abélien : Si la ligne d'alimentation (dernier) converge dans t. 0 ≠ 0, il converge, et plus précisément, pour toute inégalité satisfaisante

De cette façon, zone de convergence D. de cela la ligne de puissance est un cercle de rayon r avec le centre au début des coordonnéesoù R − rayon de convergence - la face supérieure exacte des valeurs (d'où ce terme est apparu). La ligne d'alimentation source convergera, à son tour, dans la gamme de rayon R avec le centre en t. z. 0. Dans le même temps, dans n'importe quel cercle fermé, la série de puissance converge absolument et uniformément (la dernière déclaration découle immédiatement du signe de Weierstrass (voir le cours "Row")).

Exemple . Trouvez un cercle de convergence et explorer la convergence en TT. z. 1 I. z. 2 rangées de puissance Décision. Zone de la région - Radius Cercle R\u003d 2 avec le centre en t. z. 0 = 1 − 2jE. . Z 1 se situe à l'extérieur du cercle de convergence et de divergence de la rangée. Quand, c'est-à-dire Le point réside sur la frontière du cercle de convergence. En substituant dans la rangée d'origine, conclure:

- La série converge conditionnellement sur la base du leubitus.

Si dans tous les points frontières, un nombre converge absolument ou divergé par l'attribut nécessaire, cela peut alors être installé immédiatement pour toute la bordure. Pour ce faire devrait être substitué dans une rangée

des modules de la valeur des composants R Au lieu d'expression et explorer la série résultante.

Exemple. Considérez un certain nombre de dernier exemple en changeant une usine:

La région de la convergence de la série est restée la même: Substitut dans une rangée de modules

le rayon de convergence résultant:

Si vous désignez la somme de la ligne à travers f.(z.), c'est à dire. f.(z.) \u003d (Naturellement, dans

régions de convergence), alors cette série appelle près de Taylor Les fonctions f.(z.) ou décomposition de la fonction f.(z.) Dans une série de Taylor. Dans un cas particulier, à Z 0 \u003d 0, un nombre appelé près de McLoreren Les fonctions f.(z.) .

1.7 Détermination des principales fonctions élémentaires. Formule Euler.

Considérer une rangée de puissance si z.- variable valide, alors elle représente

une décomposition d'une fonction d'une rangée de maclogène et satisfait donc

propriétés caractéristiques de la fonction indicative :,.e. . C'est la base de la détermination fonction exponentielle Dans la zone complexe:

Définition 1. .

De même définir des fonctions

Définition 2.

Les trois rangées convergent absolument et uniformément dans toute zone fermée limitée du plan complexe.

Des trois formules obtenues, la substitution simple est affichée formule Euler:

D'ici est immédiatement éteint indicatif Forme d'enregistrement numéros intégrés:

La formule d'Euler établit la relation entre la trigonométrie habituelle et hyperbolique.

Considérez, par exemple, une fonction: De même, les relations restantes sont obtenues. Alors:

Exemples. Présenter les expressions spécifiées

2. (L'expression entre parenthèses est un nombre jE. enregistré sous une forme indicative)

4. Trouver des solutions indépendantes linéaires de la 2e commande linéaire:

Les racines de l'équation caractéristique sont égales:

Puisque nous recherchons de véritables solutions de l'équation, alors comme système de solution fondamental, vous pouvez prendre des fonctions.

Nous définissons, en conclusion, la fonction logarithmique d'une variable complexe. Comme dans la région réelle, nous le considérerons vers l'indicatif. Pour la simplicité, nous ne considérons qu'une fonction exponentielle, c'est-à-dire Résoudre l'équation sur w.qui et appelons une fonction logarithmique. Pour cela, l'équation est prologie en présentant z.sous une forme indicative:

Si au lieu de Arg z. Écrire l'argument z. (1.2), alors nous obtenons une fonction infiniale

1.8 FCP dérivé. Fonctions analytiques. Conditions actuelles - Riemann.

Laisser w. = f.(z.) - fonction sans ambiguïté définie dans la zone.

Définition 1. Dérivé de la fonction f. (z.) Au point est la limite du rapport de la relation de la fonction à l'incrément de l'argument, lorsque ce dernier s'efforce de zéro:

Fonction avoir un dérivé au point z., appelé différentiel À ce point.

De toute évidence, toutes les propriétés arithmétiques des dérivés sont effectuées.

Exemple .

Avec l'aide de la formule de Newton Binoma, il est similaire à

Les rangées pour les exposants, les sinus et les cosinus répondent à toutes les conditions de la volonté de formidation. Vérification directe facile à obtenir ça:

Commenter. Bien que la définition du dérivé du FCP coïncide formellement avec la définition du FDP, mais est essentiellement plus complexe (voir la remarque au paragraphe 1.5).

Définition 2. Une fonction f.(z.), continuement différenable dans tous les points de la région G., appelé analytique ou ordinaire dans cette zone.

Théorème 1. . Si F. (z.) différentiel dans tous les points de la région G, alors c'est analytique dans cette zone. (B / D)

Commenter. En fait, ce théorème établit l'équivalence de la régularité et de la différentiabilité du FCP sur la région.

Théorème 2. La fonction différenciée dans certaines régions a infiniment de nombreux dérivés dans cette zone.. (B / D. Ci-dessous (à la clause 2.4), cette déclaration sera prouvée avec certaines hypothèses supplémentaires)

Imaginez une fonction sous la forme de la quantité de parties valides et imaginaires: Théorème 3. ( Conditions actuelles - Riemann). Laisser la fonction f. (z.) Différentiel à un moment donné. Alors fonctions u.(x.,y.) JE. v.(x.,y.) avoir des dérivés privés à ce stade et

Et appelé cauchy - Riemann .

Preuve . Comme la valeur de la dérivée ne dépend pas de la méthode du désir de la magnitude

Pour zéro, choisissez la prochaine façon: nous obtenons:

De même, pour On a: Cela prouve le théorème.

Déclaration directe et inverse:

Théorem4. Si fonctionne u. (x.,y.) JE. v.(x.,y.) avoir des dérivés privés continus qui répondent aux conditions de Cauchy - Riemann, puis la fonction elle-même f.(z.) - différentiel à ce stade. (B / D)

Les théorèmes 1 à 4 montrent la différence fondamentale entre le FCP du FDP.

Le théorème 3 vous permet de calculer la fonction dérivée selon l'une des formules suivantes:

Il peut être considéré h.et w. Nombres complexes arbitraires et calculer des dérivés par formules:

Exemples. Vérifiez la fonction sur la régularité. Si la fonction est régulière - calculez son dérivé.

Lignes

Rangées numériques

Laisser la séquence de nombres complexes à donner z N. = x P. + + It / n, n \u003d 1,2,... Numérique Suivant appelé l'expression de la vue

Numéros 21.2-2, ... appelé membres d'une série. Il convient de noter que l'expression (19.1), de manière générale, ne peut être considérée comme une quantité, car il est impossible d'accomplir l'ajout d'un nombre infini de termes. Mais si vous vous limitez au nombre final de membres de la série (par exemple, prenez la première p membres), puis le montant habituel, qui peut être réaliste à calculer (quoi qu'il soit p). Montant 5 "d'abord et Membres d'un nombre appelé p-TH Somme partielle (privée) de la série:

Rangée (19.1) appelée convergent S'il y a une limite finie p-h. Montants partiels p -? oo, c'est-à-dire exister

Le numéro 5 est appelé somme d'un nombre. Si lirn. S n. Il n'y a pas non plus

égal au système d'exploitation, puis un nombre (19.1) appelé dessiné.

Le fait qu'un nombre (19.1) converge et sa somme soit égale à 5, écrit sous la forme

Cette entrée ne signifie pas que tous les membres de la série ont été pliés (il est impossible de le faire). Dans le même temps, il y a plusieurs membres de la série, vous pouvez obtenir des sommes partielles, quelle est peu déviée de S.

Le théorème suivant établit la relation entre la convergence d'un nombre avec des membres complexes z N. = x P. + iy n. et des rangées avec des membres valides x P. et y et.

Théorème 19.1. Pour la convergence de la rangée (19.1) nécessaire et

positivement, converger deux rangées ? x p i. ? avec valide P \u003d 1.

ils sont yen. En même temps pour l'égalité ? z n \u003d (T + IR requis

et assez pour ? x P. =

Preuve. Nous introduisons la notation pour des sommes partielles de la série:

Puis S n \u003d o p + ir n. Nous utiliserons maintenant le théorème 4.1 de §4: afin de séquencer s n = + ir n eu la limite s \u003d\u003d Sg + ir, nécessaire et assez pour les séquences (et (T p) avait une limite et Liiri \u003d oh, lim t n \u003d t. D'où ce qui suit

p-yus L-\u003e oo

souffler la déclaration nécessaire, depuis l'existence de limites des séquences (S »), {(7 P) et (t P) équivaut à la convergence des rangées

OS "OS" OS "

? Z n, ? X P. et? eN HAUT. respectivement.

L \u003d 1 l \u003d 1 n \u003d 1

Avec l'aide du théorème 19.1, de nombreuses propriétés et approbation importantes, juste pour les lignes avec des membres valides, sont immédiatement transférées dans les rangs avec des membres complets. Énumérez certaines de ces propriétés.

1 °. Signe requis de convergence. Si une série? z N. converger

puis lim. z N. \u003d 0. (l'approbation inverse est incorrecte: du fait que LIM z N. =

l-yo i-\u003e oo

0, ne suit pas cela un nombre? Z N. converge.)

2 °. Laissez les rangées? Z N. et? wn. Les membres complets sont d'accord

et leur somme sont égales S. et sur respectivement. Puis rangée? (z n. + w n) aussi

il converge et sa quantité est égale S. + sur.

3 °. Laissez une série]? z N. Il converge et sa quantité est égale S. Puis pour

toute ligne de numéro de numéro intégrée? (UNE. z n) converge également sa quantité

4 °. Si vous déposez ou ajoutez un nombre fini de membres à une ligne convergente, une ligne est également.

5 °. Critère curieux Cauchy. Pour la convergence de la série? z N.

besoin et assez pour n'importe quel nombre e\u003e 0 existait un tel nombre N. (selon e) que du tout p\u003e N. et tout

r ^ 0 inégalité ^2 Z K.

Quant aux lignes avec des membres valides, le concept de convergence absolue est introduit.

Ligne Z N. appelé absolument convergent Si un nombre converge

71 - 1

compilé des modules des membres de cette série %2 Z N.

Théorème 19.2. Si un nombre converge ^ 2 | * P | " alors tige ^ 2 Z N.également

converge.

(En d'autres termes, si une série converge absolument, elle converge.)

Preuve. Depuis que le critère de convergence de Cauchy est applicable aux lignes avec des membres complets arbitraires, il

appliquer notamment aux lignes avec des membres valides. Prendre

mem libre e. \u003e 0. Depuis la série JZ I z "| converge, puis en raison de cristal

cauchy, appliquée à cette rangée, il y a un tel nombre N, que du tout p > N. et tout r ^ 0

Au § 1, il a été montré que z + W. ^ | h | + | W | Pour tout nombre intégré z. et w; Cette inégalité s'applique facilement à tout nombre fini de termes. donc

Donc pour tout e. \u003e 0 il y a un nombre N, tel que du tout p >

Donc pour tout e. \u003e 0 il y a un nombre N, tel que du tout p >

\u003e N. et tout r ^ 0 inégalité J2 Z K.

mais le critère de Cauchy, rangée Y2 Z N. Il converge qu'il était nécessaire de prouver.

Du cours de l'analyse mathématique, il est connu (voir, par exemple, ou)) que l'affirmation, l'inverse du théorème 19.2, est incorrecte même pour la série avec des membres valides. Nommerement: de la convergence d'un nombre ne suit pas sa convergence absolue.

Ligne J2 G P. appelé convergent conditionnellementSi cette série est construite

souriant et rangée ^ 2 z n i Compilé des modules de ses membres, diverge.

Ligne Z N. est à côté de valide non négatif

mi membres. Par conséquent, les signes de convergence connus de l'analyse mathématique sont applicables à cette rangée. Rappeler sans preuve certains d'entre eux.

Signes de comparaison. Laissez les chiffres z u et w n à partir de certains nombre n satisfaire les inégalités z n ^ | W n |, n \u003d n, n + 1,... Puis:

1) si un numéro ^ 2 | W n | converger, que et le nombre z n converge:

2) si un numéro ^ 2 est assis, puis et un nombre ^ 2 1 w "1 divorces.

Signe de Dalamber. Laisser là une limite

Puis:

si je 1, la série Y2 Z N converge absolument:

si je. > 1, ensuite, la plage ^ 2 z n diverge.

Pour / = 1 "P. adikaln" signe de Cauchy. Laisser exister

limite Lim. / z n. = /. Puis:

si je 1, alors la plage z n converge absolument;

si je. > 1, puis rangée 5z z n diverge.

Avec moi = 1 le signe ne répond pas à la question de la convergence de la série.Exemple 19.3. Explorez la convergence des rangs

Résolu et e. A) par définition de cosinus (voir (12.2))

donc

00 1 (E P.

Appliquer un signe de Dalamber à une rangée Y1 O. (sur) :

Cela signifie qu'une rangée ^ - (-) diverge. (La divergence de cette série suit

n \u003d 1 2 " 2 "

Également du fait que ses membres ne sont pas d'art!\u003e Email à zéro et, par conséquent, la condition nécessaire à la convergence n'est pas remplie. Vous pouvez utiliser le fait que les membres de la ligne forment une progression géométrique

avec dénominateur q. \u003d E / 2\u003e 1.) Par signe de comparaison, rangée 51 0

aussi consommation et TSYA.

b) Nous montrerons que les valeurs COS (? -F p) Limité par le même numéro. Vraiment,

| Cos (g 4- p) \u003d | cos. jE. Cos n - péché jE. Sin 7i | ^

^ | cos. jE.|| Cos 7? | 4-1 chante || Sin 7? | ^ | COSI | 4-1 Sin i | \u003d A /, où M. - Constante positive. D'ici

5Z CX ° a une ligne. Donc, sur la base de la comparaison, un nombre

cos. (JE. 4 "II)

converge également. Par conséquent, la plage initiale de 51 - ~ ^ t 1 - ~ ~ converger

ft.-1 2 ”

tout à fait.

Rangée 5z. z ki. obtenu de la gamme de 51 Z K. En éliminant le premier p

k \u003d n + 1 à=1

les membres ont appelé rESIDENCE (PM REMOTE) Rangée 51. z k- Lorsque

la convergence est également appelée la quantité

Il est facile de voir que 5 = 5 "+ g", où 5 - quantité, a S n - Somme partielle

rangée ^. Zf (- D'ici, il suit immédiatement que si une série converger, puis il

p-ème résidu a tendance à faire une balle avec -\u003e OO. En effet, laissez

ligne U2 Z K. converge, c'est-à-dire Lirn 5 "\u003d 5. Alors Lim g n \u003d lim (5 - 5") =

ft-i. P-\u003e 00 p-\u003e 00 "-\u003e 00