Beaucoup d'équation de racines valides. Équation algébrique, racines de l'équation, le nombre de racines valides de l'équation, le théorème d'assaut, la méthode Lobachevsky-Gherff. Racines rationnelles de polynômes avec des coefficients entiers. Régime de gorner
Etc. C'est une éducation générale et revêt une grande importance pour l'étude de l'ensemble du cours des mathématiques plus hautes. Aujourd'hui, nous répétons les équations «école», mais pas seulement «école» - et celles d'entre elles qui sont partout se trouvent dans diverses tâches de la question. Comme d'habitude, le récit ira à la clé appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions, les classifications, et je vais partager avec vous l'expérience personnelle de la décision. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus formés trouveront également de nombreux moments intéressants pour eux-mêmes. Et, bien sûr, il y aura un nouveau matériel qui va au-delà de l'école secondaire.
Alors l'équation .... Beaucoup avec des frissons se souviennent de ce mot. Quelles sont les équations «difficiles» avec des racines ... ... oubliez-les! Parce que vous rencontrerez plus avant les "représentants" les plus inoffensives de cette espèce. Ou alésez des équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de solution. Pour être honnête, je ne les ai pas vraiment aimés ... Sans panique! - Ensuite, vous êtes attendu principalement des "pissenlits" avec une solution évidente de 1-2 étapes. Bien que «returenik» s'accroche définitivement - vous devez être objectif.
Curieusement, dans des mathématiques plus élevées, il s'agit beaucoup plus souvent d'équations très primitives comme linéaire équations.
Qu'est-ce que cela signifie de résoudre cette équation? Cela signifie - pour trouver une telle valeur «x» (racine), ce qui le transforme en une égalité fidèle. Nous allons transférer la droite "Troika" avec le quart de signe:
et réinitialiser le "Deuce" dans le côté droit (ou la même - multiplier les deux parties sur)
:
Pour vérifier, nous substituons le trophée conquis à l'équation initiale: 
La bonne égalité est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est en effet la racine de cette équation. Ou, comme on dit, satisfait cette équation.
Veuillez noter que la racine peut être enregistrée sous la forme d'une fraction décimale:
Et essayez de ne pas coller à ce mauvais style! La raison pour laquelle j'ai répété à plusieurs reprises, en particulier, dans la première leçon sur algèbre supérieure.
Au fait, l'équation peut être résolue et "en arabe":
Et quelle est la chose la plus intéressante - cette entrée est complètement légale! Mais si vous n'êtes pas enseignant, il vaut mieux ne pas le faire, car l'originalité est punissable ici \u003d)
Et maintenant un peu sur
solution graphique Solution
L'équation a l'apparence et sa racine - là-bas Coordonnée "Iksova" point d'intersection graphiques de la fonction linéaire avec calendrier de fonction linéaire (Axis Abscissa):
Il semblerait qu'un exemple soit si élémentaire qu'il n'y a rien de plus élémentaire ici, il est toutefois possible de "presser" une autre nuance inattendue: imaginer la même équation sous la forme et construire des graphiques de fonctions: 
Où, s'il vous plaît ne confondez pas deux concepts.: L'équation est une équation et une fonction - Ceci est une fonctionnalité! Les fonctions seulement aider Trouvez les racines de l'équation. Koi peut être deux, trois, quatre et même infiniment beaucoup. L'exemple le plus proche dans ce sens est que tout le monde connu équation quadratique, l'algorithme de la solution dont a reçu un paragraphe distinct "Chaud" formules scolaires. Et ce n'est pas par hasard! Si vous savez comment résoudre une équation carrée et savoir théorème de Pythagora, alors, vous pouvez dire: "Le sol des plus hautes mathématiques est déjà dans sa poche" \u003d) exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité!
Et donc ils ne seront pas paresseux et rembobineront une certaine équation carrée sur algorithme standard:
Cela signifie que l'équation a deux différents valide Racine: 
Il est facile de vous assurer que les deux valeurs trouvées sont vraiment satisfaisantes à cette équation: 
Et si vous oubliez soudainement l'algorithme de solution, et il n'y a pas de fonds / main à portée de main? Cette situation peut survenir, par exemple, sur le test ou l'examen. Utilisez la méthode graphique! Et il y a deux manières: vous pouvez arrêt parabole 
, découvrant ainsi où il traverse l'axe (si traverse généralement). Mais il vaut mieux faire de la ruse: imaginez une équation sous la forme, dessinez les horaires de fonctions simples - et Coordonnées "ICS" Leurs points d'intersection, comme sur la paume! 
S'il s'avère que le direct est sur la parabole, l'équation a deux racines coïnées (multiples). S'il s'avère que le direct ne traverse pas la parabole, cela signifie qu'il n'y a pas de racines valides.
Pour cela, bien sûr, vous devez être capable de construire tableaux des fonctions élémentairesMais d'autre part, ces compétences sont même un écolier.
Et encore - l'équation est l'équation et les fonctions sont des fonctions qui juste aidé Résoudre l'équation!
Et ici, au fait, il conviendra de se souvenir d'une autre chose: si tous les coefficients de l'équation se multiplient à un nombre non nul, ses racines ne changeront pas.
Donc, par exemple, l'équation 
Il a les mêmes racines. Comme la "preuve" la plus simple, je soumets une constante pour les supports: 
Et retirez-le sans douleur (Je partage les deux parties sur "moins deux"):
MAIS! Si nous considérons la fonction 
, alors il est impossible de se débarrasser de la constante! Il est permis, sauf pour faire un multiplicateur pour les crochets: 
.
Beaucoup sous-estiment la méthode de décision graphique, le considérant avec quelque chose de "non corrogé", et certains oublient tout d'abord une telle opportunité. Et c'est dans la racine erronée, car la construction de graphiques évitent parfois la situation!
Un autre exemple: Supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l'équation trigonométrique la plus simple :. La formule générale est dans les manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur les mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas disponibles pour vous. Cependant, il est essentiel de résoudre l'équation (sinon "deux"). Il y a une sortie! - Construire des fonctionnalités: 
Après cela, nous écrivons calmement les coordonnées "ICS" de leurs points d'intersection: 
Les racines sont infiniment beaucoup et leur enregistrement tordu est adopté dans l'algèbre:
où ( – beaucoup d'entiers)
.
Et, pas de "sortir de la caisse enregistreuse", quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités avec une variable. Le principe est le même. Donc, par exemple, la solution d'inégalité est n'importe quel "X", car La sinusoïde se trouve presque complètement en ligne droite. La solution d'inégalité est une pluralité de lacunes sur lesquelles des sinusoïdes sinusoïdes se trouvent strictement au-dessus de la valeur directe (Axis Abscissa):
ou, si court:
Mais les nombreuses solutions d'inégalité - viderParce qu'aucun point de sinusoïdes est au-dessus de la droite.
Quelque chose n'est pas clair? Des leçons de toute urgence sur fixe et tableaux de fonctions!
Nous réchauffons:
Exercice 1
Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes:
Réponses à la fin de la leçon
Comme vous pouvez le constater, il n'est pas nécessaire d'aiguiser des formules et des répertoires pour étudier les sciences exactes! De plus, il s'agit d'une approche fondamentalement vicieuse.
Comme je vous ai déjà encouragé au tout début de la leçon, des équations trigonométriques complexes dans le cours standard de mathématiques plus hautes doivent être résolues extrêmement rarement. Toute la complexité, en règle générale, se termine par des équations telles que la solution des deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et 
. Avec la décision de ce dernier, ne vous inquiétez pas, regarde dans le livre ou trouvez sur Internet \u003d)
La méthode de la solution graphique peut aider et dans des cas moins triviaux. Considérez, par exemple, l'équation «différente» suivante:
Les perspectives de la décision de sa décision ... à tout ce qu'ils ne regardent pas, mais il vaut la peine de présenter une équation sous la forme, construire fonctions graphiques Et tout sera incroyablement facile. Le dessin est au milieu de l'article sur caractéristiques infiniment petites (s'ouvre sur l'onglet suivant).
La même méthode graphique que l'on peut découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles est nulle et l'autre, apparemment, irractionalen Et appartient au segment. Cette racine peut être calculée approximativement, par exemple, par tangentiel. Au fait, dans certaines tâches, cela se produit, vous n'avez pas besoin de trouver des racines, mais de découvrir sont-ils en général. Et ici aussi, le dessin peut également aider - si les graphiques ne se croisent pas, il n'y a pas de racines.
Racines rationnelles de polynômes avec des coefficients entiers.
Régime de gorner
Et maintenant, je vous suggère d'envelopper votre regard au Moyen Âge et de ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour une meilleure compréhension du matériel, je recommande au moins un peu familier avec nombres complexes.
Ils sont les plus. Polynômes.
L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de entier coefficients. Nombre naturel appelé degré de polynôme, le nombre est le coefficient avec un degré élevé (ou juste un coefficient senior)et coefficient - membre gratuit.
Ce polynôme je serai plié pour désigner.
Racines de polynôme Appelé équation racines
J'aime la logique de fer \u003d)
Pour des exemples, nous allons au tout début de l'article: 
Avec la découverte des racines des polynômes des 1er et 2e degrés, il n'y a aucun problème, mais comme cette tâche augmente, il devient de plus en plus difficile. Bien que d'autre part - plus et plus intéressant! Et cela sera juste consacré à la deuxième partie de la leçon.
Premièrement, littéralement le sol de l'écran de la théorie:
1) Selon l'enquête le théorème principal de l'algèbre, le diplôme a exactement complet les racines. Certaines racines (ou même tout) peuvent être notamment valide. Dans le même temps, parmi les racines valides, les mêmes racines (multiples) peuvent rencontrer (Deux morceaux minimum).
Si un nombre complexe est la racine du polynôme, alors conjuguer il est le nombre - aussi nécessairement la racine de ce polynôme (Les racines complexes combinées ont une vue).
L'exemple le plus simple est une équation carrée qui a d'abord rencontré B8 (Comme) classe, et que nous avons finalement "fini" dans le sujet nombres complexes. Je vous rappelle: l'équation carrée a deux racines valides différentes, soit plusieurs racines, ou des racines complexes conjuguées.
2) de théorems Bezu Il s'ensuit que si le nombre est la racine de l'équation, le polynôme correspondant peut être décomposé sur des multiplicateurs:
où - un degré polynomial.
Et encore une fois, notre ancien exemple: parce que - la racine de l'équation, alors. Après cela, il n'est pas difficile d'obtenir une bonne décomposition familière de «école».
La conséquence du théorème de la moutness a une grande valeur pratique: si nous connaissons la racine de l'équation de 3ème degré, nous pouvons le présenter comme 
Et de l'équation carrée, il est facile de trouver le reste des racines. Si nous connaissons la racine de l'équation du 4ème degré, c'est-à-dire la capacité de décomposer la partie gauche dans le travail, etc.
Et la question ici est deux:
Question d'abord. Comment trouver cette racine très root? Tout d'abord, décidons de sa nature: dans de nombreux défis des mathématiques plus élevées, il est nécessaire de trouver rationnel, en particulier ensembleles racines des polynômes et dans ce cadre seront plus intéressées par nous principalement .... ... ils sont si bons, tellement moelleux, qu'ils ont raison et je veux trouver! \u003d)
La première chose qui suggère est la méthode de sélection. Considérez, par exemple, l'équation. L'accrochage ici dans le député libre - que s'il était zéro, tout serait dans l'okra - nous endurons "X" pour les crochets et les racines elles-mêmes "tomber" à la surface: 
Mais notre membre libre est égal à la "Troika", et nous commençons donc à remplacer divers chiffres à l'équation, affirmant que le titre "racine". Tout d'abord, la substitution de valeurs simples. Remplacer: 
A reçu invalide L'égalité, par conséquent, l'unité "n'a pas tiré". Eh bien, d'accord, nous substituons: 
A reçu fidèle égalité! C'est-à-dire que la valeur est la racine de cette équation.
Trouver les racines du polynomial 3ème degré existent la méthode analytique (appelé des formules de Cardano)Mais maintenant, nous sommes intéressés par une tâche quelque peu différente.
Depuis - il y a une racine de notre polynôme, puis le polynôme peut être représenté comme et survient Deuxième question: Comment trouver un "junior"?
Les considérations algébriques les plus simples suggèrent qu'il est nécessaire de diviser pour cela. Comment diviser le polynôme sur le polynôme? La même méthode de l'école, quels nombres ordinaires partagent - "Stage"! J'ai désassemblé cette méthode dans les premiers exemples de la leçon. Limites difficileset maintenant nous allons regarder une autre façon de recevoir un nom régime de gorner.
Tout d'abord, écrivez le polynôme "senior" avec tout
, y compris les coefficients zéro:
, après quoi cela apportera ces coefficients (strictement dans l'ordre) à la ligne supérieure de la table:
À gauche, enregistrez la racine:
Effectuer une réservation immédiatement que le programme Gorner fonctionne et dans le cas où le numéro "rouge" ne pas C'est la racine du polynôme. Cependant, nous ne précipiterons pas les événements.
Phrase sur le coefficient principal:
Le processus de remplissage des cellules inférieures est comme une broderie, où "moins un" est une sorte d'aiguille ", qui imprègne les prochaines étapes. Le numéro "démoli" est multiplié par (-1) et ajoutez un numéro de la cellule supérieure:
La valeur trouvée est multipliée par "aiguille rouge" et ajoutez le coefficient d'équation suivant au travail:
Et enfin, la valeur a repris à nouveau "processus" "l'aiguille" et le coefficient supérieur:
Zéro dans la dernière cellule nous dit que le polynôme était divisé en sans résidus (Comment ça devrait être)Dans le même temps, les coefficients de décomposition sont «retirés» directement de la ligne inférieure du tableau:
Ainsi, de l'équation, nous sommes passés à une équation équivalente et avec deux racines restantes, tout est clair (Dans ce cas, des racines complexes conjuguées sont obtenues).
L'équation, au fait, peut être résolue et graphiquement: construire "Éclair" 
et voir que l'horaire traverse l'axe Abscissa ()
au point. Ou la même réception "ruse" - réécrire l'équation sous la forme, Blacksmith Graphiques élémentaires et détecter la coordonnée "Oscus" de leurs points d'intersection.
Au fait, le graphique de tout polynôme de fonctionnement du 3ème degré traverse l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins une valide racine. Ce fait est valable pour tout polynôme de fonction d'impair.
Et puis je veux rester sur un moment importantqui concerne la terminologie: polynôme et fonction multicoon – ce n'est pas pareil! Mais dans la pratique, on dit souvent, par exemple, sur les "graphismes d'un polynôme" qui, bien sûr, négligence.
Cependant, retour au programme Gunner. Comme je l'ai récemment mentionné, ce système fonctionne pour d'autres chiffres, mais si le nombre ne pas C'est la racine de l'équation, puis un additif non zéro apparaît dans notre formule (résidu):
"Rouler" selon le schéma de la valeur "infructueuse" de la ville. Il est pratique d'utiliser la même table - Notez la nouvelle "aiguille" à gauche, démolir le coefficient principal d'en haut (Flèche verte gauche)et s'est précipité: 
Pour vérifier avec un support et que nous donnons des termes similaires:
, D'ACCORD.
Il est facile de voir que le résidu (SIXER) est exactement la valeur du polynôme à. Et en fait - donc: 
et plus agréable - comme ceci:
Du calcul ci-dessus, il n'est pas difficile de comprendre que le schéma Gorner permet non seulement de décomposer les polynômes en multiplicateurs, mais également de réaliser une sélection "civilisée" de la racine. Je vous suggère de consolider de manière indépendante l'algorithme de calcul une petite tâche:
Tâche 2.
Utilisation du schéma de montagne, trouvez la racine entière de l'équation et décomposer le polynôme correspondant aux multiplicateurs.
En d'autres termes, vous devez ici vérifier systématiquement les chiffres 1, -1, 2, -2, ... - jusqu'à ce que le résidu zéro soit "Drew" dans la dernière colonne. Cela signifie que l'aiguille de cette chaîne est la racine du polynôme
Les calculs sont pratiques pour organiser dans une seule table. Une décision détaillée et une réponse à la fin de la leçon.
La méthode de sélection des racines est bonne pour des cas relativement simples, mais si les coefficients et / ou le degré de polynôme sont importants, le processus peut retarder. Et peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, -1, 2, -2 et aucun sens à considérer? Et, de plus, les racines peuvent également être fractionnaires, ce qui entraînera une abséquence de manière scientifique.
Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui vous permettent de réduire considérablement le buste des valeurs des "candidats" dans Rational Roots:
Théorème 1. Considérer instable fraction où. Si le nombre est la racine de l'équation, l'élément libre est divisé en et le coefficient principal est activé.
En particulierSi le coefficient d'aîné est alors cette racine rationnelle - un tout:
Et nous commençons à exploiter le théorème juste avec ce délicieux particulier:
Revenons à l'équation. Depuis son coefficient senior, les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières et le membre libre doit pouvoir partager ces racines sans résidus. Et la "troïka" ne peut être divisée qu'à 1, -1, 3 et -3. C'est-à-dire que nous n'avons que 4 "candidats aux racines". Et, selon Théorème 1.Les autres chiffres rationnels ne peuvent pas être des racines de cette équation en principe.
Dans l'équation "candidats" un peu plus: un membre libre est divisé en 1, -1, 2, - 2, 4 et -4.
Notez que les chiffres 1, -1 sont des "habitués" de la liste des racines possibles (conséquence évidente du théorème) Et le meilleur choix pour la vérification prioritaire.
Aller à des exemples plus informatifs:
Tâche 3.
Décision: Depuis le coefficient senior, les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être en entiers que des entiers, alors qu'ils doivent être des diviseurs membres libres. "Moins quarante" est divisé en paires de nombres suivants:
- total de 16 "candidats".
Et ici apparaît immédiatement une pensée tenante: s'il est impossible de couper toutes les racines négatives ou toutes les racines positives? Dans certains cas, vous pouvez! Formuler deux signes:
1) si tout Les coefficients du polynôme sont non négatifs ou tous sont non positifs, il ne peut pas avoir de racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (maintenant si nous recevions une équation - alors oui, lors de la substitution de toute valeur du polynôme est strictement positif, et donc tous les nombres positifs (et irrationnel aussi) Ne peut pas être des équations enracinées.
2) Si les coefficients de degrés étranges sont non négatifs et avec toutes les degrés de pièces (y compris un membre libre) - négatif, alors le polynôme ne peut pas avoir de racines négatives. Ou "miroir": les coefficients de degrés étranges sont non positifs et avec tout ce qui est positif.
C'est notre cas! Peu cherche un peu, on peut noter que, lors de la substitution dans l'équation de tout «X» négatif, la partie gauche sera strictement négative, et donc des racines négatives disparaissent
Ainsi, 8 chiffres sont restés pour la recherche:
Systématiquement "chargez" en fonction du schéma Horner. J'espère que vous avez déjà maîtrisé l'informatique orale: 
Bonne chance nous attendait lorsque vous testez "deux". Ainsi, il y a une racine de l'équation considérée et
Il reste à explorer l'équation 
. Il est facile de faire à travers le discriminant, mais je vais effectuer une vérification indicative par le même schéma. Tout d'abord, nous attirons l'attention qu'un membre libre est 20, et donc Théorème 1. De la liste des racines possibles, les numéros 8 et 40 tombent et les valeurs restent à l'étude (L'unité a chuté selon le schéma des tirants).
Enregistrer les coefficients du triple dans la ligne supérieure de la nouvelle table et nous commençons à vérifier parmi les mêmes "TwoS". Pourquoi? Et parce que les racines peuvent être plus de peintures, veuillez: - Cette équation a 10 racines identiques. Mais ne soyez pas distrait: 
Et ici, bien sûr, je me suis précipité un peu, sachant sciemment que les racines sont rationnelles. Après tout, s'ils étaient irrationnels ou complexes, je brillerais une vérification infructueuse de tous les chiffres restants. Par conséquent, dans la pratique, suivez le discriminant.
Réponse: Ratirs rationnels: 2, 4, 5
Dans la tâche désassemblée, nous étions accompagnés de chance, car: a) les valeurs négatives tombaient immédiatement, et b) nous avons très rapidement trouvé la racine (et théoriquement, elles pourraient vérifier la liste complète).
Mais en fait, la situation est bien pire. Je vous invite à regarder un jeu fascinant appelé "dernier héros":
Tâche 4.
Trouver une équation rationnelle des racines
Décision: par Théorème 1. Les chiffres de racines rationnelles hypothétiques doivent satisfaire la condition (Nous lisons "Douze divisé par El")et dénominateurs - condition. Basé sur cela, nous obtenons deux liste:
"Liste d'El":
et "EM List": (Bien, voici des chiffres naturels).
Maintenant, faites une liste de toutes les racines possibles. Premièrement, "liste de el" diviser. Il est clair que les mêmes numéros se révéleront. Pour plus de commodité, nous les amènes à la table:
Beaucoup de FRARATY ont décliné, entraînant une valeur existante dans la "liste des héros". Nous n'ajoutons que des "débutants": 
De même, nous divisons la même "liste d'El" sur: 
Et enfin, sur
Ainsi, une équipe de participants à notre jeu est équipée: 
Malheureusement, le polynôme de cette tâche ne satisfasse pas la caractéristique "positive" ou "négative", et nous ne pouvons donc pas supprimer la ligne supérieure ou inférieure. Nous devrons travailler avec tous les chiffres.
Comment est votre humeur? Allez, au-dessus du nez - il y a un autre théorème, qui peut être inscrit au figuré le "théorème tueur" .... ... "candidats", bien sûr \u003d)
Mais d'abord, vous devez faire défiler le schéma Horner au moins pour un ensemble Nombres. Traditionnellement, prenez une unité. Dans la ligne supérieure, nous écrivons les coefficients du polynôme et de tout comme d'habitude:
Étant donné que les quatre ne sont clairement pas nuls, la valeur n'est pas la racine du polynôme considéré. Mais elle nous aidera beaucoup.
Théorème 2. Si à certains ensemble La valeur du polynôme est différente de zéro: puis ses racines rationnelles (si ils sont) Satisfaire la condition
Dans notre cas, et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire la condition (Je l'appelle l'état de l'état 1). Ce quatre sera le "tueur" de nombreux "candidats". En démonstration, je vais envisager plusieurs chèques:
Vérifiez le "candidat". Pour ce faire, imaginez artificiellement sous la forme d'une fraction, où il est clairement vu cela. Nous calculons la différence de contrôle :. Quatre est divisé en "moins deux":, ce qui signifie que la racine possible passa le test.
Vérifiez la valeur. Ici et la différence de contrôle est: 
. Bien sûr, et donc le deuxième "sujet" reste également dans la liste.
Exemples (nombre de racines de l'équation algébrique)
1) x. 2 – 4x. + 5 \u003d 0 - équation algébrique du deuxième degré (équation carrée) 
2. 
\u003d 2. jE. - deux racines;
2) x. 3 + 1 \u003d 0 - équation algébrique du troisième degré (équation billante) 
;
3) P. 3 (x.) = x. 3 + x. 2 – x. - 1 \u003d 0 - l'équation algébrique du troisième degré;
numéro x. 1 \u003d 1 est sa racine, car P. 3 (1) 
0, donc par le théorème sans 
; Nous divisons le polynôme P. 3 (x.) sur le videur ( x. - 1) "Dans la colonne":
|
|
Équation source P. 3 (x.) = x. 3 + x. 2 – x. – 1 = 0 (x. – 1)(x. 2 + 2x. + 1) = 0 (x. – 1)(x. + 1) 2 = 0 x. 1 \u003d 1 - racine simple, x. 2 \u003d -1 - Tofold racine. |
|
Propriété 2 (sur les racines complexes d'une équation algébrique avec des coefficients valides) |
|
Si l'équation algébrique avec des coefficients valides a des racines complexes, ces racines sont toujours jumelées de conjugué de manière compréhensible, c'est-à-dire si le nombre |
c'est la racine de l'équation
, ensuite 
est également la racine de cette équation.Pour prouver, utiliser la définition et les propriétés suivantes facilement vérifiées de l'opération d'interface complète:
si un 
T. 
et égalité de validité:
,
,
,
,
si un 
- un nombre valide, alors 
.
Car 
c'est la racine de l'équation 
T. 
Où 
- nombres réels quand 
.
Prenez la conjugaison des deux parties de la dernière égalité et utilisez les propriétés énumérées de l'opération d'interface:
, c'est-à-dire le nombre 
Également satisfait à l'équation 
C'est donc sa racine
Exemples (algèbres de racines complexes. Équations avec coefficients valides.)
En conséquence de la propriété éprouvée d'une paire de racines complexes d'une équation algébrique avec des coefficients valides, une autre propriété de polynômes est obtenue.
Nous allons procéder de la décomposition (6) polynomial 
sur les multiplicateurs linéaires:
Laisser le numéro x. 0
= uNE.
+ bI - racine complexe du polynôme P. n. (x.), c'est-à-dire l'un des chiffres 
. Si tous les coefficients de ce polynôme sont des nombres valides, le nombre 
aussi sa racine, c'est-à-dire parmi les chiffres 
il y a aussi un nombre 
.
Nous calculons le travail de videur 
:
Il s'est avéré trois étapes carrées avec coefficients valides.
Ainsi, toute paire de bicculés avec des racines entièrement conjuguées dans la formule (6) conduit à une diminution carrée trois avec des coefficients valides.
Exemples (décomposition des polynômes pour des facteurs de coefficients valides.)
1) P. 3 (x.) = x. 3 + 1 = (x. + 1)(x. 2 – x. + 1);
2) P. 4 (x.) = x. 4 – x. 3 + 4x. 2 – 4x. = x.(x. –1)(x. 2 + 4).
|
Propriété 3 (sur des racines entier et rationnelles d'une équation algébrique avec des coefficients entiers valides) |
|
Laisser l'équation algébrique être donnée
 |
, tous les coefficients 
qui sont des entiers valides,1. Laisser un entier 
c'est la racine de l'équation
Comme un chislo 
présenté par le nombre entier 
et laissant cela a une valeur entière.
2. Laissez l'équation algébrique 
il a une racine rationnelle
, de plus, des chiffres p.
et q.sont mutuellement simples 
.
Cette identité peut être enregistrée en deux versions:
De la première version de l'enregistrement, il suit que 
et de la seconde - que 
Depuis les nombres p.
et q.sont mutuellement simples
Exemples (sélection de racines entières ou rationnelles d'une équation algébrique avec des coefficients entier)
Le projet traite de la méthode de recherche approximative des racines de l'équation algébrique - la méthode Lobachevsky-Haffe. Le travail définit l'idée de la méthode, son schéma de calcul, des conditions trouvées pour l'applicabilité de la méthode. La mise en œuvre de la méthode de Lobachevsky-Greff est donnée.
1 partie théorique 6
1.1 Déclaration de problème 6
1.2 équations algébriques 7
1.2.1 Concepts de base sur l'équation algébrique 7
1.2.2 Équation algébrique Kni 7
1.2.3 1.2.3 Roots de courant polynomial 9
1.3 Méthode LOBACHEVSKY-GREFE pour une solution approximative d'équations algébriques 11
1.3.1 Idée de méthode 11
1.3.2 Quadrings des racines 13
2.1 Tâche 1 16
2.2 Tâche 2 18
2.4 Analyse des résultats obtenus 20
Liste des liens 23.
INTRODUCTION
Le matériel informatique de nos jours est un moyen puissant d'effectuer le travail de comptage. En raison de cela, dans de nombreux cas, il est devenu possible d'abandonner l'interprétation approximative des problèmes appliqués et de passer à la résolution des problèmes de la formulation exacte. L'utilisation raisonnable de la technologie informatique moderne n'est pas concevable sans l'application habile des méthodes d'analyse approximative et numérique.
Les méthodes numériques visent à résoudre les tâches qui se posent dans la pratique. La solution du problème des méthodes numériques est réduite à des actions arithmétiques et logiques au-dessus des chiffres, ce qui nécessite l'utilisation d'équipements informatiques, tels que des processeurs de table des programmes de bureau modernes pour ordinateurs personnels.
Le but de la discipline "Méthodes numériques" est de rechercher la solution la plus efficace à une tâche spécifique.
La solution d'équations - algébrique - représente l'une des tâches essentielles de l'analyse appliquée, la nécessité pour laquelle on se produit dans de nombreuses couches de physique, de mécanique, de technologie et de sciences naturelles dans le sens large du terme.
Ce projet de cours est dédié à l'une des méthodes de résolution des équations algébriques - la méthode Lobachevsky-Gherff.
Le but de ce travail est de considérer l'idée de la méthode de Lobachevsky-Wherff pour résoudre algébrique, apporter le schéma de calcul de la recherche des racines réelles à l'aide de MS Office Excel. Le projet a examiné les principaux problèmes théoriques liés aux conclusions des racines d'équations algébriques, la méthode de Lobachevsky-gherff dans la partie pratique de ce travail, les solutions d'équations algébriques de Lobachevsky-GReff sont données.
1 partie théorique
1.1 Déclaration de problème
Laissez le réglage x des éléments x et le réglé y avec les éléments y. Supposons, d'ailleurs, l'opérateur est défini sur le jeu X, qui met en conformité avec chaque élément X de x certains éléments y de y. Prenez un élément
et vous mettre dans la recherche de tels éléments 
Pour qui 
est une image. Une telle tâche équivaut à résoudre l'équation
(1.1)
Pour lui, les problèmes suivants peuvent être livrés.
Les conditions de l'existence de la solution de l'équation.
La condition de l'unicité de la solution de l'équation.
L'algorithme de la décision, à la suite de laquelle, il serait possible de trouver, en fonction de la cible et des conditions, avec précision ou sur toutes les solutions d'équation (1.1) ou de toute solution, à l'avance ou à l'une des celles existantes.
Il y aura une certaine fonctionnalité. Dans ce cas, l'équation (1.1) peut être écrite comme 
(1.2)
Dans la théorie des méthodes numériques, ils cherchent à construire un processus de calcul, avec lequel il est possible de trouver la solution d'équation (1.2) avec une précision définie. Les processus convergents sont particulièrement importants pour résoudre l'équation avec n'importe quelle erreur arbitraire.
Notre tâche est de trouver, d'une manière générale, approximative, élément 
. À cette fin, un algorithme est développé, ce qui donne la séquence de solutions approximatives. 
, et donc que le ratio a lieu
1.2 équations algébriques
1.2.1 Concepts de base sur l'équation algébrique
Considérez l'équation algébrique N-ème degré
où les coefficients sont 
- nombres réels, et 
.
Théorem 1.1 (théorème de base de l'algèbre). L'équation algébrique N-ème degré (1.3) a exactement n racines, valide et complexe, à condition que chaque racine soit considérée autant de fois que sa multiplicité.
Dans le même temps, ils disent que la racine de l'équation (1.3) a une multiplicité S si
, 
.
Les racines complexes de l'équation (1.3) ont la propriété de la paire.
Théorème 1.2. Si les coefficients de l'équation algébrique (1.3) sont valides, les racines complexes de cette équation sont par paires de conjugué complexe, c'est-à-dire si un 
(
- nombres réels) Il y a la racine de l'équation (1.3), la multiplicité S, puis 
C'est aussi la racine de cette équation et a la même multiplicité s.
Corollaire. Une équation algébrique d'un degré étrange avec des coefficients valides a au moins une racine valide.
1.2.2. L'équation algébrique
Si un
- racines d'équation (1.3), puis pour la décomposition latérale gauche . (1.6)
En multipliant les bénomes dans la formule (1,6) et en assimilant les coefficients au même degrés X dans les parties gauche et droite de l'égalité (1,6), nous obtenons la relation entre les racines et les coefficients de l'équation algébrique (1.3):
(1.7)
Si vous prenez en compte les chiffres des racines, la décomposition (1.6) prend le formulaire
,
où
-Équation de racines (1) et 
- leur multiplicité, et 
.
Dérivé 
Il est exprimé comme suit:
où q (x) est un polynôme tel que
à k \u003d 1,2, ..., m Par conséquent, des polynômes
est le plus grand diviseur polynomial commun
et son dérivé 
et peut être trouvé à l'aide de l'algorithme d'euclidea. Activer privé 
,
et obtenir des polynômes
avec coefficients valides
, Et 1, a 2, ..., a m, dont les racines 
Différent. Ainsi, la solution de l'équation algébrique avec plusieurs racines est réduite à la solution d'une équation algébrique d'ordre inférieur avec diverses racines.
1.2.3 1.24 racines polynomiales 1.24
La vue d'ensemble du nombre de racines valides d'équation (1.3) sur l'intervalle (A, B) donne un graphique
où racines 
Les abscissions des points d'intersection du graphique avec l'axe de bœuf. Nous notons certaines propriétés du polynôme p (x):
Si p (a) p (b)
Si p (a) p (b)\u003e 0, alors sur l'intervalle (A, B), il y a un nombre pair ou n'existe pas dans toutes les racines polynomiales P (x).
Définition. Laissez un système fini commandé de nombres valides autres que zéro:
,
,…,
(1.9)
Ils disent que pour quelques éléments debout à proximité
, 
Systèmes (1.9) Il y a un changement de signe si ces éléments ont des signes opposés, c'est-à-dire 
,
et il n'y a pas de changement pour changer si leurs signes sont les mêmes, c'est-à-dire
.
Définition. Le nombre total de changements dans les signes de toutes paires d'éléments voisins
, 
Les systèmes (1.9) s'appellent le nombre de modifications des signes du système (1.9). Définition. Pour ce polynôme p (x), le système d'assaut est appelé système polynomial
,
, 
, 
,…, 
,
où 
- pris avec le signe opposé du résidu lors de la division du polynôme sur, - prise avec le signe opposé du résidu pendant la division du polynôme sur, etc.
Remarque 1. Si le polynome n'a pas de racines multiples, le dernier élément du système d'assaut est différent de zéro un nombre valide.
Remarque 2. Les éléments du système d'assaut peuvent être calculés avec une précision d'un facteur numérique positif.
Noter par N (c) le nombre de variations du système d'assaut sur x \u003d C, à condition que les éléments zéro de ce système soient franchis.
Théorème 1.5. (Théorème d'assaut). Si la polynina p (x) n'a pas de plusieurs chevaux et 
, 
, alors le nombre de ses racines valides 
À l'intervalle 
exactement égal au nombre de changements de signes perdus dans le système d'assaut polynomial 
Lors du déplacement de OT. 
avant que 
.
.
Corollaire 1. Si
, ensuite 
Positif et nombre 
Les racines polynomiales négatives sont respectivement égales 
,
.
COROLLAIRE 2. Pour que toutes les racines du degré Polynôme P (x) N, qui n'ont pas de racines multiples, étaient valables, il est nécessaire et suffisant à être effectué
.
Ainsi, dans l'équation (1.3), toutes les racines seront valides puis et seulement si:
Avec l'aide du système d'assaut, il est possible de séparer les racines d'une équation algébrique, de casser l'intervalle (A, B) contenant toutes les racines valides de l'équation au nombre final d'intervalles partiels.
tel que 
.
1.3 Méthode LOBACHEVSKY-HAFFE pour une solution approximative d'équations algébriques
1.3.1 Méthode d'idée
Considérons l'équation algébrique (1.3).Prétendons que
, (1.15)
ceux. Les racines sont différentes dans le module et le module de chaque racine précédente est beaucoup plus grand que le module suivant. En d'autres termes, supposons que l'attitude de deux racines voisines, comptant dans l'ordre de déclin de leur nombre, est la valeur, petite par module:
, (1.16)
où 
et 
- petite valeur. Ces racines sont appelées séparées.
(1.17)
où 
, 
,…, 
- Petite magnitude modulo par rapport à une. Négliger dans les valeurs du système (1.17) 
, Nous aurons des ratios approximatifs 
(1.18)
Où trouver des racines 
(1.19)
La précision des racines du système d'égalité (1.20) dépend de la façon dont le module est petit 
Dans les relations (1.16)
Pour atteindre la séparation des racines, basée sur l'équation (1.3), l'équation convertie est
, (1.20)
racines dont
, 
,…, 
sont m-e degrés de racines 
, 
,…, 
Équations (1.3). Si toutes les racines d'équation (1.3) sont différentes et que leurs modules répondent à la condition (1.17), puis avec une racine M suffisamment grande, ..., des équations (1.20) seront séparées, car
pour 
.
De toute évidence, il suffit de construire un algorithme pour trouver une équation dont les racines seront les carrés des racines d'une équation donnée. Ensuite, il sera possible d'obtenir l'équation, dont les racines seront égales aux racines de l'équation initiale dans la mesure où
.
1.3.2 Quadrings de racines
Polynôme (1.3) Nous écrivons sous la forme suivanteEt multipliez-le sur une vue polynomie
Alors nous obtenons
Faire un remplaçant
Et multiplier sur 
aura . (1.21)
Les racines du polynomial (1.21) sont associées aux racines du polynôme (1,3) le rapport suivant
.
Par conséquent, l'équation qui vous intéresse
,
dont les coefficients sont calculés par formule (1,22)
, (1.22)
où il est supposé que
pour 
.
Appliquer le processus KVading des racines sur le polynôme (1.3) séquentiellement (1.3), nous obtenons un polynôme
, (1.23)
où
, 
, etc. À suffisamment grande K, il peut être atteint de manière à ce que le système soit effectué pour les racines d'équation (1,23)
(1.24)
Nous définissons le nombre k pour lequel le système (1.24) est effectué avec une précision donnée.
Supposons que le K souhaité ait déjà été atteint et l'égalité (1.24) soit effectuée avec une précision acceptée. Nous ferons une autre conversion et trouverons un polynôme
,
qui a également effectué le système (1.24) à
.
Depuis par la vertu de formule (1,22)
, (1.25)
puis substituant (1.25) au système (1.24), nous obtenons que les valeurs absolues des coefficients
devrait être dans la précision prise égale aux carrés des coefficients 
. La mise en œuvre de ces égalités indiquera que la valeur requise de K a déjà été réalisée à l'étape K-M. Ainsi, les quadrements des racines de l'équation (1.3) doivent être interrompés si dans la précision acceptée dans le côté droit de la formule (1,24) uniquement les carrés des coefficients sont stockés et la double quantité de travaux sera inférieure à la limite de précision.
Ensuite, les racines valides de l'équation sont obtenues par séparé et leurs modules sont dans la formule
(1.26)
Le signe racine peut être défini par une capture approximative, substituant les valeurs 
et 
Dans l'équation (1.3).
2 partie pratique
2.1 Tâche 1.
. (2.1)
Premièrement, nous établissons le nombre de racines valides et complexes dans l'équation (2.1). Pour ce faire, nous utilisons le théorème d'assaut.
Le système d'assaut d'équation (2.1) aura la forme suivante:
Où as tu eu
Tableau 2.1.
|
Polynôme |
Points sur un axe valide |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Le nombre de changements des signes |
1 |
3 |
Ainsi, nous obtenons que le nombre de racines valides dans l'équation (2.1) est égale
,
ceux. L'équation (2.1) contient 2 racines valides et deux racines complexes.
Pour trouver les racines de l'équation, nous utilisons la méthode LOBACHEVSKY-WHERFF pour une paire de racines de conjugaison complexes.
Nous produisons une quotition des racines de l'équation. Les calculs de coefficients ont été faits selon la formule suivante 
, (2.2)
où 
, (2.3)
mais 
Il est considéré comme 0 quand 
.
Les résultats des calculs avec huit numéros significatifs sont présentés dans le tableau 2.2.
Tableau 2.2.
|
jE. |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3.8000000E + 01. |
3.5400000e + 02. |
3.8760000E + 03. |
0 |
 |
1 |
4.3000000E + 01. |
7.1500000e + 02. |
4.8370000E + 03. |
1.0404000e + 04. |
 |
|||||
 |
0 |
-1.4300000e + 03. |
-3,9517400e + 05. |
-1.4877720E + 07. |
0 |
 |
1 |
4.1900000E + 02. |
1.1605100E + 05. |
8.5188490E + 06. |
1.0824322e + 08. |
 |
|||||
 |
0 |
-2.3210200e + 05. |
-6.9223090E + 09. |
-2.5123467E + 13. |
0 |
 |
1 |
-5.6541000e + 04. |
6.5455256E + 09. |
4.7447321e + 13. |
1.1716594E + 16. |
 |
|||||
 |
0 |
-1.3091051e + 10. |
5.3888712E + 18. |
-1.5338253e + 26. |
0 |
 |
1 |
-9.8941665E + 09. |
4.8232776E + 19. |
2.0978658E + 27. |
1.3727857E + 32. |
 |
|||||
 |
0 |
-9.6465552E + 19. |
4.1513541E + 37. |
-1.3242653e + 52. |
0 |
 |
1 |
1.4289776E + 18. |
2.3679142E + 39. |
4.3877982E + 54. |
1.8845406E + 64. |
 |
|||||
 |
0 |
-4.7358285E + 39. |
-1.2540130E + 73. |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4.7337865E + 39. |
5.6070053E + 78. |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.1214011E + 79. |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E + 79. |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Comme on peut le voir à partir du tableau 2.2 sur la racine de 7ème étape 
, 
(Considérant que l'ordre décroissant des modules) peut être considéré comme séparé. Les modules racines sont trouvés par formule (1.27) et une attaque approximative déterminent leur signe:
Depuis le coefficient converti lorsque 
Modifie le signe, cette équation a des racines complexes, qui sont déterminées à partir de l'équation (1.31) à l'aide de formules (1.29) et (1.30):
je.
2.2 Tâche 2.
La méthode Lobachevsky-Grefe résolve l'équation:. (2.4)
Pour commencer, en utilisant le théorème d'assaut, nous définissons le nombre de racines valides et complexes dans l'équation (2.2).
Pour cette équation, le système d'assaut a la forme
Où as tu eu
Tableau 2.3.
|
Polynôme |
Points sur un axe valide |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Le nombre de changements des signes |
3 |
1 |
Ainsi, nous obtenons que le nombre de racines valides dans l'équation (2.2) est égale
,
ceux. L'équation (2.2) contient 2 racines valides et deux complexes.
Pour la découverte approximative des racines de l'équation, nous utilisons la méthode de Lobachevsky-Haffe pour une paire de racines de conjugaison complexes.
Nous produisons une quotition des racines de l'équation. Les calculs de coefficients produiront selon les formules (2.2) et (2.3).
Les résultats des calculs avec les huit numéros significatifs sont présentés dans le tableau 2.4
Tableau 2.4.
|
jE. |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.20000E + 00. |
-3.300000e + 01. |
1.3800000E + 02. |
0 |
.
et 
Dans l'équation (2.4), qui se traduit par les erreurs de diverses commandes (4.52958089E-11 et 4.222,97 89E-06, respectivement) avec le même nombre d'itérations.Les formules des racines de l'équation carrée. Les cas de racines valides et complexes sont considérées. Décomposition de multiplicateurs carrés à trois déchrures. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de la décomposition des multiplicateurs.
TeneurVoir également: Solution d'équations carrées en ligne
Formules de base
Considérons une équation carrée:
(1)
.
Équation Square Roots (1) sont déterminés par des formules:
;
.
Ces formules peuvent être combinées comme ceci:
.
Lorsque les racines de l'équation carrée sont connues, le polynôme du second degré peut être représenté comme une œuvre des facteurs (décomposer sur des multiplicateurs):
.
Ensuite, nous croyons que - les chiffres réels.
Considérer Équation carrée discriminante:
.
Si le discriminant est positif, l'équation carrée (1) présente deux racines valables différentes:
;
.
Ensuite, la décomposition de la carrée trois diminutions sur les facteurs a la forme:
.
Si le discriminant est égal à zéro, l'équation carrée (1) comporte deux racines valides multiples (égales):
.
Factorisation:
.
Si le discriminant est négatif, l'équation carrée (1) présente deux racines de manière complète conjuguée:
;
.
Ici - l'unité imaginaire;
Et - les parties réelles et imaginaires des racines:
;
.
Puis
.
Interprétation graphique
Si vous construisez une fonction de graphique
,
qui est parabole, puis le point d'intersection du graphique avec l'axe sera des racines de l'équation
.
Lorsque, l'horaire traverse l'axe d'abscisse (axe) à deux points ().
Lorsque, le graphique concerne l'axe Abscissa à un point ().
Lorsque, l'horaire ne traverse pas l'axe Abscisse ().
Formules utiles associées à l'équation carrée
(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .
La sortie de la formule pour les racines de l'équation carrée
Nous effectuons des transformations et appliquons des formules (F.1) et (F.3):
,
Où
;
.
Donc, nous avons eu une formule pour un polynôme du deuxième degré sous la forme:
.
D'ici on peut voir que l'équation
effectué à
et.
C'est-à-dire que les racines de l'équation carrée sont des racines
.
Exemples de détermination des racines de l'équation carrée
Exemple 1.
(1.1)
.
.
En comparant avec notre équation (1.1), nous trouvons les valeurs des coefficients:
.
Nous trouvons discriminants:
.
Comme le discriminant est positif, l'équation a deux racines valides:
;
;
.
De là, nous obtenons une décomposition d'une carrée trois enjeux sur les multiplicateurs:
.
Fonction de planification y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Traverse l'axe d'abscisse à deux points.
Nous construisons un calendrier de fonction
.
Le calendrier de cette fonction est parabole. Elle place l'axe Abscissa (Axis) à deux points:
et.
Ces points sont des racines de l'équation initiale (1.1).
;
;
.
Exemple 2.
Trouvez les racines de l'équation carrée:
(2.1)
.
Nous écrivons l'équation carrée sous la forme générale:
.
Comparaison avec l'équation initiale (2.1), nous trouvons les valeurs des coefficients:
.
Nous trouvons discriminants:
.
Comme le discriminant est zéro, l'équation comporte deux racines multiples (égales):
;
.
Ensuite, la décomposition de trois décisions sur les multiplicateurs a la forme:
.
Fonction graphique y \u003d x 2 - 4 x + 4 Demande l'axe Abscissa à un moment donné.
Nous construisons un calendrier de fonction
.
Le calendrier de cette fonction est parabole. Il concerne l'axe d'abscisse (axe) à un moment donné:
.
Ce point est la racine de l'équation initiale (2.1). Étant donné que cette racine entre deux fois sur l'expansion des multiplicateurs:
,
Que cette racine s'appelle plusieurs. C'est-à-dire qu'il est cru qu'il y a deux racines égales:
.
;
.
Exemple 3.
Trouvez les racines de l'équation carrée:
(3.1)
.
Nous écrivons l'équation carrée sous la forme générale:
(1)
.
Nous réécrivons l'équation initiale (3.1):
.
Comparez C (1), nous trouvons les valeurs des coefficients:
.
Nous trouvons discriminants:
.
Discriminant est négatif. Par conséquent, il n'y a pas de racines valides.
Vous pouvez trouver des racines complexes:
;
;
.
Puis
.
Le graphique de fonction ne traverse pas l'axe Abscisse. Il n'y a pas de racines valides.
Nous construisons un calendrier de fonction
.
Le calendrier de cette fonction est parabole. Il ne coupe pas l'axe d'abscisse (axe). Par conséquent, il n'y a pas de racines valides.
Il n'y a pas de racines valides. Les rouages \u200b\u200bsont intégrés:
;
;
.